Номер 777, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 777, страница 132.

Условие.

777. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) $-x^2 - 16x + 36$;

2) $2 - 16x^2 + 24x?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Данное выражение $-x^2 - 16x + 36$ является квадратичной функцией $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = -1$, $b = -16$, $c = 36$.

Графиком этой функции является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = -1$ отрицательный, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Абсцисса (координата $x$) вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Подставим значения коэффициентов $a$ и $b$:

$x_0 = -\frac{-16}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-16}{-2} = -8$

Таким образом, выражение принимает свое наибольшее значение при $x = -8$.

Для нахождения наибольшего значения подставим $x = -8$ в исходное выражение:

$y_{max} = -(-8)^2 - 16(-8) + 36 = -64 + 128 + 36 = 64 + 36 = 100$.

Другой способ решения — выделение полного квадрата:

$-x^2 - 16x + 36 = -(x^2 + 16x) + 36 = -(x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 - 8^2) + 36 = -((x + 8)^2 - 64) + 36 = -(x + 8)^2 + 64 + 36 = 100 - (x + 8)^2$.

Так как $(x + 8)^2 \ge 0$ для любого $x$, то выражение $100 - (x + 8)^2$ достигает своего максимума, когда вычитаемое $(x + 8)^2$ равно нулю. Это происходит при $x = -8$, и максимальное значение равно $100$.

Ответ: наибольшее значение равно 100 при $x = -8$.

2) Рассмотрим выражение $2 - 16x^2 + 24x$. Для удобства запишем его в стандартном виде: $-16x^2 + 24x + 2$.

Это также квадратичная функция $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = -16$, $b = 24$, $c = 2$.

Поскольку $a = -16 < 0$, ветви параболы направлены вниз, и функция достигает своего наибольшего значения в вершине.

Найдем абсциссу вершины по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{24}{2 \cdot (-16)} = -\frac{24}{-32} = \frac{24}{32} = \frac{3}{4}$.

Выражение принимает наибольшее значение при $x = \frac{3}{4}$.

Найдем это наибольшее значение, подставив $x = \frac{3}{4}$ в выражение:

$y_{max} = -16\left(\frac{3}{4}\right)^2 + 24\left(\frac{3}{4}\right) + 2 = -16\left(\frac{9}{16}\right) + \frac{24 \cdot 3}{4} + 2 = -9 + 6 \cdot 3 + 2 = -9 + 18 + 2 = 11$.

Альтернативное решение через выделение полного квадрата:

$-16x^2 + 24x + 2 = -16\left(x^2 - \frac{24}{16}x\right) + 2 = -16\left(x^2 - \frac{3}{2}x\right) + 2 = -16\left(x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{3}{4} + \left(\frac{3}{4}\right)^2 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right) + 2 = -16\left(\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 - \frac{9}{16}\right) + 2 = -16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 16 \cdot \frac{9}{16} + 2 = -16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 + 9 + 2 = 11 - 16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2$.

Максимальное значение достигается, когда $16\left(x - \frac{3}{4}\right)^2 = 0$, то есть при $x = \frac{3}{4}$. Это значение равно $11$.

Ответ: наибольшее значение равно 11 при $x = \frac{3}{4}$.