Номер 772, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 772, страница 132.

Условие.

772. Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) $x^2 - 14x + 52 = 0;$

2) $4x^2 - 2x + 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Чтобы доказать, что квадратное уравнение не имеет действительных корней, достаточно показать, что его дискриминант отрицателен. Дискриминант $D$ для уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

1) $x^2 - 14x + 52 = 0$

Это квадратное уравнение, где коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -14$, $c = 52$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 52 = 196 - 208 = -12$.

Так как дискриминант $D = -12$, что меньше нуля ($D < 0$), то уравнение не имеет действительных корней.

Дополнительный способ (выделение полного квадрата):

Преобразуем левую часть уравнения:

$x^2 - 14x + 52 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 49) - 49 + 52 = (x - 7)^2 + 3$.

Уравнение принимает вид:

$(x - 7)^2 + 3 = 0$,

что равносильно

$(x - 7)^2 = -3$.

Квадрат любого действительного числа является неотрицательной величиной (то есть $ \ge 0 $), поэтому он не может быть равен отрицательному числу $-3$. Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.

2) $4x^2 - 2x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение с коэффициентами: $a = 4$, $b = -2$, $c = 1$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12$.

Поскольку $D = -12 < 0$, данное уравнение не имеет действительных корней.

Дополнительный способ (выделение полного квадрата):

Преобразуем левую часть уравнения:

$4x^2 - 2x + 1 = (2x)^2 - 2 \cdot (2x) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + 1 = (2x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} + 1 = (2x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$.

Уравнение принимает вид:

$(2x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4} = 0$,

что равносильно

$(2x - \frac{1}{2})^2 = -\frac{3}{4}$.

Выражение в левой части не может быть отрицательным, так как является полным квадратом. Следовательно, равенство невозможно, и уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: доказано, что уравнение не имеет корней.