Номер 778, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 778, страница 132.

Условие.

778. Какое наименьшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:

1) $x^2 - 28x + 200$;

2) $9x^2 + 30x - 25?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы найти наименьшее значение выражения $x^2 - 28x + 200$, нужно преобразовать его, выделив полный квадрат. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), график этой квадратичной функции — парабола, ветви которой направлены вверх, а значит, у выражения есть наименьшее значение в вершине параболы.

Метод выделения полного квадрата заключается в представлении выражения в виде $a(x-h)^2+k$.

$x^2 - 28x + 200 = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 14) + 200$

Для создания полного квадрата $(x-14)^2 = x^2 - 28x + 196$, нам нужно добавить и отнять $14^2 = 196$:

$(x^2 - 28x + 196) - 196 + 200 = (x - 14)^2 + 4$

Квадрат любого действительного числа неотрицателен, поэтому $(x - 14)^2 \ge 0$. Наименьшее значение этого слагаемого равно 0. Оно достигается, когда основание степени равно нулю:

$x - 14 = 0$, то есть $x = 14$.

При этом значении $x$ все выражение принимает свое наименьшее значение: $0 + 4 = 4$.

Ответ: наименьшее значение равно 4 при $x = 14$.

2) Чтобы найти наименьшее значение выражения $9x^2 + 30x - 25$, также выделим полный квадрат. Коэффициент при $x^2$ равен 9, что больше нуля, поэтому парабола направлена ветвями вверх и выражение имеет наименьшее значение.

Вынесем коэффициент 9 за скобки из первых двух слагаемых:

$9x^2 + 30x - 25 = 9(x^2 + \frac{30}{9}x) - 25 = 9(x^2 + \frac{10}{3}x) - 25$

Теперь выделим полный квадрат для выражения в скобках. Для этого представим $\frac{10}{3}x$ как удвоенное произведение: $2 \cdot x \cdot \frac{5}{3}$. Чтобы получить полный квадрат, добавим и вычтем квадрат второго члена, то есть $(\frac{5}{3})^2 = \frac{25}{9}$:

$9\left(x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{5}{3} + \left(\frac{5}{3}\right)^2 - \left(\frac{5}{3}\right)^2\right) - 25 = 9\left(\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - \frac{25}{9}\right) - 25$

Теперь раскроем внешние скобки:

$9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 9 \cdot \frac{25}{9} - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 25 - 25 = 9\left(x + \frac{5}{3}\right)^2 - 50$

Слагаемое $9(x + \frac{5}{3})^2$ всегда неотрицательно. Его наименьшее значение равно 0 и достигается при $x + \frac{5}{3} = 0$, то есть при $x = -\frac{5}{3}$.

При этом значении $x$ все выражение принимает свое наименьшее значение: $0 - 50 = -50$.

Ответ: наименьшее значение равно -50 при $x = -\frac{5}{3}$.