Номер 775, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 775, страница 132.

Условие.

775. Докажите, что данное выражение принимает отрицательные значения при всех значениях x. Укажите, какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении x:

1) $-x^2 + 4x - 12$;

2) $22x - 121x^2 - 2$;

3) $-56 - 36x^2 - 84x$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Рассмотрим выражение $-x^2 + 4x - 12$. Это квадратичная функция $y = -x^2 + 4x - 12$, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Чтобы доказать, что выражение всегда принимает отрицательные значения, достаточно найти его наибольшее значение и убедиться, что оно отрицательно. Для этого преобразуем выражение, выделив полный квадрат:

$-x^2 + 4x - 12 = -(x^2 - 4x) - 12 = -(x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 - 2^2) - 12 = -((x-2)^2 - 4) - 12 = -(x-2)^2 + 4 - 12 = -(x-2)^2 - 8$.

Выражение $(x-2)^2$ всегда неотрицательно для любого значения $x$, то есть $(x-2)^2 \ge 0$.

Соответственно, выражение $-(x-2)^2$ всегда неположительно, то есть $-(x-2)^2 \le 0$.

Таким образом, наибольшее значение выражения $-(x-2)^2 - 8$ достигается, когда $-(x-2)^2 = 0$, что происходит при $x=2$. Это наибольшее значение равно $0 - 8 = -8$.

Поскольку наибольшее значение выражения равно $-8$, что является отрицательным числом, то при всех значениях $x$ данное выражение принимает отрицательные значения. Наибольшее значение выражения равно $-8$ и достигается при $x=2$.

Ответ: наибольшее значение равно $-8$ при $x=2$.

2)

Рассмотрим выражение $22x - 121x^2 - 2$. Запишем его в стандартном виде: $-121x^2 + 22x - 2$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-121$). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем наибольшее значение, выделив полный квадрат:

$-121x^2 + 22x - 2 = -(121x^2 - 22x) - 2 = -((11x)^2 - 2 \cdot 11x \cdot 1 + 1^2 - 1^2) - 2 = -((11x - 1)^2 - 1) - 2 = -(11x - 1)^2 + 1 - 2 = -(11x - 1)^2 - 1$.

Выражение $(11x-1)^2$ всегда неотрицательно: $(11x-1)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(11x-1)^2$ всегда неположительно: $-(11x-1)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(11x-1)^2 - 1$ достигается, когда $-(11x-1)^2 = 0$. Это происходит, когда $11x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{11}$.

Наибольшее значение равно $0 - 1 = -1$.

Так как наибольшее значение выражения равно $-1$, оно всегда отрицательно. Наибольшее значение выражения равно $-1$ и достигается при $x = \frac{1}{11}$.

Ответ: наибольшее значение равно $-1$ при $x = \frac{1}{11}$.

3)

Рассмотрим выражение $-56 - 36x^2 - 84x$. Запишем его в стандартном виде: $-36x^2 - 84x - 56$. Это квадратичная функция, график которой — парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-36$). Следовательно, функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Найдем наибольшее значение, выделив полный квадрат:

$-36x^2 - 84x - 56 = -(36x^2 + 84x) - 56 = -((6x)^2 + 2 \cdot 6x \cdot 7 + 7^2 - 7^2) - 56 = -((6x+7)^2 - 49) - 56 = -(6x+7)^2 + 49 - 56 = -(6x+7)^2 - 7$.

Выражение $(6x+7)^2$ всегда неотрицательно: $(6x+7)^2 \ge 0$.

Значит, выражение $-(6x+7)^2$ всегда неположительно: $-(6x+7)^2 \le 0$.

Наибольшее значение выражения $-(6x+7)^2 - 7$ достигается, когда $-(6x+7)^2 = 0$. Это происходит, когда $6x+7 = 0$, то есть $x = -\frac{7}{6}$.

Наибольшее значение равно $0 - 7 = -7$.

Так как наибольшее значение выражения равно $-7$, оно всегда отрицательно. Наибольшее значение выражения равно $-7$ и достигается при $x = -\frac{7}{6}$.

Ответ: наибольшее значение равно $-7$ при $x = -\frac{7}{6}$.