Номер 770, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 770, страница 132.

Условие.

770. Докажите тождество:

1) $(a-1)^2 + 2(a-1) + 1 = a^2$;

2) $(a+b)^2 - 2(a+b)(a-b) + (a-b)^2 = 4b^2$;

3) $(a-8)^2 + 2(a-8)(3-a) + (a-3)^2 = 25$;

4) $(x^n - 2)^2 - 2(x^n - 2)(x^n + 2) + (x^n + 2)^2 = 16$,

где $n$ – произвольное натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем тождество $(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Пусть $x = (a-1)$ и $y=1$. Тогда левая часть примет вид:
$((a-1)+1)^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a-1+1)^2 = a^2$
Получили, что левая часть равна правой: $a^2 = a^2$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-1)^2+2(a-1)+1=a^2$ доказано.

2) Докажем тождество $(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.
Пусть $x = (a+b)$ и $y=(a-b)$. Тогда левая часть примет вид:
$((a+b)-(a-b))^2$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(a+b-a+b)^2 = (2b)^2 = 4b^2$
Получили, что левая часть равна правой: $4b^2 = 4b^2$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a+b)^2-2(a+b)(a-b)+(a-b)^2=4b^2$ доказано.

3) Докажем тождество $(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$.
Преобразуем левую часть равенства. Заметим, что $(a-3)^2 = (-(3-a))^2 = (3-a)^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(3-a)^2$
Теперь выражение представляет собой формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.
Пусть $x = (a-8)$ и $y=(3-a)$. Тогда левая часть примет вид:
$((a-8)+(3-a))^2$
Упростим выражение в скобках:
$(a-8+3-a)^2 = (-5)^2 = 25$
Получили, что левая часть равна правой: $25 = 25$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(a-8)^2+2(a-8)(3-a)+(a-3)^2=25$ доказано.

4) Докажем тождество $(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$, где $n$ – произвольное натуральное число.
Преобразуем левую часть равенства. Данное выражение представляет собой формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2-2AB+B^2$.
Пусть $A = (x^n-2)$ и $B=(x^n+2)$. Тогда левая часть примет вид:
$((x^n-2)-(x^n+2))^2$
Раскроем внутренние скобки и упростим выражение:
$(x^n-2-x^n-2)^2 = (-4)^2 = 16$
Получили, что левая часть равна правой: $16 = 16$. Тождество доказано.
Ответ: Тождество $(x^n-2)^2-2(x^n-2)(x^n+2)+(x^n+2)^2=16$ доказано.