Номер 769, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 769, страница 132.

Условие.

769. Является ли тождеством равенство: $(a - 2)(a - 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 - 6)^2?$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для проверки того, является ли данное равенство тождеством, необходимо преобразовать его левую и правую части и убедиться, что они равны для любых значений переменной $a$.

Рассмотрим левую часть равенства: $(a-2)(a-3)(a+3)(a+2) + a^2$.

Сгруппируем множители для удобства, используя переместительный закон умножения:

$( (a-2)(a+2) ) \cdot ( (a-3)(a+3) ) + a^2$

Применим формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ к каждой паре скобок:

$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

$(a-3)(a+3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$

Подставим полученные выражения обратно в левую часть:

$(a^2 - 4)(a^2 - 9) + a^2$

Теперь раскроем скобки, перемножив многочлены:

$a^2 \cdot a^2 + a^2 \cdot (-9) - 4 \cdot a^2 - 4 \cdot (-9) + a^2 = a^4 - 9a^2 - 4a^2 + 36 + a^2$

Приведем подобные слагаемые:

$a^4 + (-9a^2 - 4a^2 + a^2) + 36 = a^4 - 12a^2 + 36$

Таким образом, левая часть равенства равна $a^4 - 12a^2 + 36$.

Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(a^2 - 6)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^2 - 6)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 6 + 6^2 = a^4 - 12a^2 + 36$

Правая часть равенства также равна $a^4 - 12a^2 + 36$.

Поскольку левая и правая части равенства после преобразований тождественно равны одному и тому же выражению ($a^4 - 12a^2 + 36$), исходное равенство является тождеством.

Ответ: да, равенство является тождеством.