Номер 762, страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 18. Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 762, страница 131.

Условие.

762. Преобразуйте в квадрат двучлена выражение:

1) $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m)$

2) $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y)$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Преобразуем данное выражение $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m)$.

Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3m - 2n)^2 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2n + (2n)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$.

Для второго слагаемого раскроем скобки, умножив $5m$ на каждый член в скобках:

$5m(4n - m) = 5m \cdot 4n - 5m \cdot m = 20mn - 5m^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(9m^2 - 12mn + 4n^2) + (20mn - 5m^2) = 9m^2 - 12mn + 4n^2 + 20mn - 5m^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9m^2 - 5m^2) + (-12mn + 20mn) + 4n^2 = 4m^2 + 8mn + 4n^2$.

Полученное выражение является полным квадратом. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае $a^2 = 4m^2 = (2m)^2$, $b^2 = 4n^2 = (2n)^2$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2m \cdot 2n = 8mn$, что соответствует среднему члену нашего выражения.

Следовательно, $4m^2 + 8mn + 4n^2 = (2m + 2n)^2$.

Ответ: $(2m + 2n)^2$.

2)

Преобразуем данное выражение $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y)$.

Сначала раскроем скобки. Для уменьшаемого используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(9x + 2y)^2 = (9x)^2 + 2 \cdot 9x \cdot 2y + (2y)^2 = 81x^2 + 36xy + 4y^2$.

Далее раскроем скобки в вычитаемом, перемножив два двучлена:

$(8x + 3y)(4x - 4y) = 8x \cdot 4x + 8x \cdot (-4y) + 3y \cdot 4x + 3y \cdot (-4y) = 32x^2 - 32xy + 12xy - 12y^2$.

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$32x^2 - 20xy - 12y^2$.

Теперь вычтем второе выражение из первого, не забывая поменять знаки у членов вычитаемого:

$(81x^2 + 36xy + 4y^2) - (32x^2 - 20xy - 12y^2) = 81x^2 + 36xy + 4y^2 - 32x^2 + 20xy + 12y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(81x^2 - 32x^2) + (36xy + 20xy) + (4y^2 + 12y^2) = 49x^2 + 56xy + 16y^2$.

Полученное выражение является полным квадратом. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае $a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, $b^2 = 16y^2 = (4y)^2$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 7x \cdot 4y = 56xy$, что соответствует среднему члену нашего выражения.

Следовательно, $49x^2 + 56xy + 16y^2 = (7x + 4y)^2$.

Ответ: $(7x + 4y)^2$.