Страница 131 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

758. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выполнялось тождество:

1) $n^2 + 60n + * = (* + 30)^2;$

2) $25c^2 - * + * = (* - 8k)^2;$

3) $225a^2 - * + 64b^4 = (* - *)^2;$

4) $0,04x^2 + * + * = (* + 0,3y^3)^2.$

1) Данное тождество $n^2 + 60n + * = (* + 30)^2$ основано на формуле квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Раскроем скобки в правой части тождества, используя эту формулу: $(* + 30)^2 = (*)^2 + 2 \cdot * \cdot 30 + 30^2 = (*)^2 + 60 \cdot * + 900$. Теперь сравним полученное выражение с левой частью тождества: $n^2 + 60n + * = (*)^2 + 60 \cdot * + 900$. Сравнивая первые члены, видим, что $n^2$ должно быть равно $(*)^2$, значит, звёздочка в скобках — это одночлен $n$. Сравнивая вторые члены, $60n$ и $60 \cdot *$, мы подтверждаем, что звёздочка в скобках — это $n$. Сравнивая третьи члены, мы видим, что звёздочка в левой части тождества должна быть равна $900$.
Ответ: $n^2+60n+900=(n+30)^2$

2) Для решения тождества $25c^2 - * + * = (* - 8k)^2$ используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. В правой части нам известен второй член $b=8k$. В левой части нам известен первый член $a^2=25c^2$. Из $a^2=25c^2$ находим $a=\sqrt{25c^2}=5c$. Этот одночлен заменяет звёздочку в скобках в правой части. Теперь, зная $a=5c$ и $b=8k$, мы можем найти недостающие члены в левой части: Первая звёздочка — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 5c \cdot 8k = 80ck$. Вторая звёздочка — это квадрат второго члена: $b^2 = (8k)^2 = 64k^2$.
Ответ: $25c^2 - 80ck + 64k^2 = (5c - 8k)^2$

3) В тождестве $225a^2 - * + 64b^4 = (* - *)^2$ применяется формула квадрата разности: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$. Левая часть представляет собой полный квадрат. Мы можем определить первый и второй члены из их квадратов: $a^2 = 225a^2 \Rightarrow a = \sqrt{225a^2} = 15a$. $b^2 = 64b^4 \Rightarrow b = \sqrt{64b^4} = 8b^2$. Эти два одночлена, $15a$ и $8b^2$, заменяют звёздочки в скобках в правой части. Звёздочка в левой части — это удвоенное произведение $2ab$: $* = 2 \cdot 15a \cdot 8b^2 = 240ab^2$.
Ответ: $225a^2 - 240ab^2 + 64b^4 = (15a - 8b^2)^2$

4) Для тождества $0.04x^2 + * + * = (* + 0.3y^3)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. В правой части нам известен второй член $b=0.3y^3$. В левой части нам известен первый член $a^2=0.04x^2$. Из $a^2=0.04x^2$ находим $a=\sqrt{0.04x^2}=0.2x$. Этот одночлен заменяет звёздочку в скобках. Теперь, зная $a=0.2x$ и $b=0.3y^3$, мы можем найти недостающие члены в левой части: Первая звёздочка — это удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0.2x \cdot 0.3y^3 = 0.12xy^3$. Вторая звёздочка — это квадрат второго члена: $b^2 = (0.3y^3)^2 = 0.09y^6$.
Ответ: $0.04x^2 + 0.12xy^3 + 0.09y^6 = (0.2x + 0.3y^3)^2$

759. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-8x + 16 + x^2;$

2) $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6;$

3) $2x - 25 - 0.04x^2;$

4) $25m^2 - 15mn + 9n^2;$

5) $81c^2 - 54b^2c + 9b^4;$

6) $b^{10} - a^2b^5 + 0.25a^4;$

7) $\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2;$

8) $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4.$

1) Переставим члены многочлена $-8x + 16 + x^2$ в порядке убывания степеней переменной x, чтобы получить $x^2 - 8x + 16$. Данный трёхчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В нашем случае $a^2 = x^2$, следовательно $a=x$, и $b^2 = 16$, следовательно $b=4$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot x \cdot 4 = 8x$. Таким образом, выражение $x^2 - 8x + 16$ можно представить как $(x-4)^2$.
Ответ: $(x-4)^2$.

2) Рассмотрим трёхчлен $a^8 + 4a^4b^3 + 4b^6$. Он соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = a^8$, следовательно $a=a^4$. $b^2 = 4b^6$, следовательно $b=2b^3$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot a^4 \cdot 2b^3 = 4a^4b^3$. Так как все члены совпадают, выражение можно представить как $(a^4 + 2b^3)^2$.
Ответ: $(a^4 + 2b^3)^2$.

3) Рассмотрим трёхчлен $2x - 25 - 0,04x^2$. Переставим члены и вынесем знак минус за скобки: $-(0,04x^2 - 2x + 25)$. Выражение в скобках $0,04x^2 - 2x + 25$ проверим на соответствие формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = 0,04x^2 = (0,2x)^2$, следовательно $a=0,2x$. $b^2 = 25 = 5^2$, следовательно $b=5$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot 0,2x \cdot 5 = 2x$. Выражение в скобках равно $(0,2x - 5)^2$. Следовательно, исходное выражение является противоположным квадрату двучлена: $-(0,2x - 5)^2$.
Ответ: $-(0,2x - 5)^2$.

4) Рассмотрим трёхчлен $25m^2 - 15mn + 9n^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности $(a-b)^2$. Пусть $a^2 = 25m^2$, тогда $a=5m$. Пусть $b^2 = 9n^2$, тогда $b=3n$. Удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot 5m \cdot 3n = 30mn$. Однако в исходном выражении средний член равен $15mn$. Поскольку $15mn \neq 30mn$, данный трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

5) Рассмотрим трёхчлен $81c^2 - 54b^2c + 9b^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности $(a-b)^2$. Кандидаты на квадраты членов: $a^2 = 81c^2$, откуда $a=9c$, и $b^2 = 9b^2$, откуда $b=3b$. Тогда удвоенное произведение должно быть $2ab = 2 \cdot 9c \cdot 3b = 54bc$. Средний член в исходном выражении равен $54b^2c$. Поскольку $54bc \neq 54b^2c$ (степени переменной b не совпадают), данный трёхчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.
Ответ: Невозможно представить в виде квадрата двучлена.

6) Рассмотрим трёхчлен $b^{10} - a^2b^5 + 0,25a^4$. Он соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = b^{10}$, следовательно $a=b^5$. $b^2 = 0,25a^4$, следовательно $b=0,5a^2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot b^5 \cdot 0,5a^2 = a^2b^5$. Так как все члены совпадают, выражение можно представить как $(b^5 - 0,5a^2)^2$.
Ответ: $(b^5 - 0,5a^2)^2$.

7) Рассмотрим трёхчлен $\frac{1}{16}x^2 - xy + 4y^2$. Он соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = \frac{1}{16}x^2$, следовательно $a=\frac{1}{4}x$. $b^2 = 4y^2$, следовательно $b=2y$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot \frac{1}{4}x \cdot 2y = xy$. Таким образом, выражение можно представить как $(\frac{1}{4}x - 2y)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x - 2y)^2$.

8) Рассмотрим трёхчлен $-\frac{9}{64}n^6 - 3mn^5 - 16m^2n^4$. Вынесем знак минус за скобки: $-(\frac{9}{64}n^6 + 3mn^5 + 16m^2n^4)$. Выражение в скобках проверим на соответствие формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Здесь $a^2 = \frac{9}{64}n^6$, следовательно $a=\frac{3}{8}n^3$. $b^2 = 16m^2n^4$, следовательно $b=4mn^2$. Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot \frac{3}{8}n^3 \cdot 4mn^2 = \frac{24}{8}mn^5 = 3mn^5$. Выражение в скобках равно $(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$. Следовательно, исходное выражение равно $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.
Ответ: $-(\frac{3}{8}n^3 + 4mn^2)^2$.

760. Представьте, если это возможно, в виде квадрата двучлена или в виде выражения, противоположного квадрату двучлена, трёхчлен:

1) $-a^4 - 0.8a^6 - 0.16a^8;$

2) $121m^2 - 44mn + 16n^2;$

3) $-a^6 + 4a^3b - 4b^2;$

4) $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12};$

5) $80xy + 16x^2 + 25y^2;$

6) $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2.$

1) Для того чтобы представить трёхчлен $-a^4 - 0,8a^6 - 0,16a^8$ в виде, противоположном квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$ и расположим слагаемые в порядке убывания степени переменной $a$:
$-a^4 - 0,8a^6 - 0,16a^8 = -(0,16a^8 + 0,8a^6 + a^4)$.
Проверим, является ли выражение в скобках полным квадратом суммы по формуле $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x^2 = 0,16a^8 = (0,4a^4)^2$, значит $x = 0,4a^4$.
$y^2 = a^4 = (a^2)^2$, значит $y = a^2$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot (0,4a^4) \cdot (a^2) = 0,8a^6$.
Средний член трёхчлена в скобках совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$0,16a^8 + 0,8a^6 + a^4 = (0,4a^4 + a^2)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(0,4a^4 + a^2)^2$.
Ответ: $-(0,4a^4 + a^2)^2$.

2) Рассмотрим трёхчлен $121m^2 - 44mn + 16n^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = 121m^2 = (11m)^2$, значит $a = 11m$.
Третий член: $b^2 = 16n^2 = (4n)^2$, значит $b = 4n$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $-44mn$.
$2ab = 2 \cdot (11m) \cdot (4n) = 88mn$.
Поскольку $88mn \ne 44mn$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

3) Для того чтобы представить трёхчлен $-a^6 + 4a^3b - 4b^2$ в виде, противоположном квадрату двучлена, вынесем за скобки $-1$:
$-a^6 + 4a^3b - 4b^2 = -(a^6 - 4a^3b + 4b^2)$.
Проверим, является ли выражение в скобках полным квадратом разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В нашем случае, $x^2 = a^6 = (a^3)^2$, значит $x = a^3$.
$y^2 = 4b^2 = (2b)^2$, значит $y = 2b$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot a^3 \cdot (2b) = 4a^3b$.
Средний член трёхчлена в скобках совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$a^6 - 4a^3b + 4b^2 = (a^3 - 2b)^2$.
Таким образом, исходное выражение равно $-(a^3 - 2b)^2$.
Ответ: $-(a^3 - 2b)^2$.

4) Рассмотрим трёхчлен $\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12}$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Первый член: $x^2 = \frac{25}{49}a^8 = (\frac{5}{7}a^4)^2$, значит $x = \frac{5}{7}a^4$.
Третий член: $y^2 = 49b^{12} = (7b^6)^2$, значит $y = 7b^6$.
Проверим удвоенное произведение: $2xy = 2 \cdot (\frac{5}{7}a^4) \cdot (7b^6) = 2 \cdot 5a^4b^6 = 10a^4b^6$.
Средний член трёхчлена совпадает с удвоенным произведением, следовательно, выражение является полным квадратом.
$\frac{25}{49}a^8 - 10a^4b^6 + 49b^{12} = (\frac{5}{7}a^4 - 7b^6)^2$.
Ответ: $(\frac{5}{7}a^4 - 7b^6)^2$.

5) Рассмотрим трёхчлен $80xy + 16x^2 + 25y^2$. Переставим слагаемые для удобства: $16x^2 + 80xy + 25y^2$. Попробуем представить его в виде квадрата суммы по формуле $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = 16x^2 = (4x)^2$, значит $a = 4x$.
Третий член: $b^2 = 25y^2 = (5y)^2$, значит $b = 5y$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $80xy$.
$2ab = 2 \cdot (4x) \cdot (5y) = 40xy$.
Поскольку $40xy \ne 80xy$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

6) Рассмотрим трёхчлен $b^{10} - \frac{1}{3}b^5c + \frac{1}{9}c^2$. Попробуем представить его в виде квадрата разности по формуле $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Первый член: $a^2 = b^{10} = (b^5)^2$, значит $a = b^5$.
Третий член: $b^2 = \frac{1}{9}c^2 = (\frac{1}{3}c)^2$, значит $b = \frac{1}{3}c$.
Проверим, равно ли удвоенное произведение $2ab$ среднему члену $\frac{1}{3}b^5c$.
$2ab = 2 \cdot b^5 \cdot (\frac{1}{3}c) = \frac{2}{3}b^5c$.
Поскольку $\frac{2}{3}b^5c \ne \frac{1}{3}b^5c$, данный трёхчлен не является полным квадратом двучлена.
Ответ: Представить в виде квадрата двучлена невозможно.

761. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:

1) $(4a + 3b)^2 – 8b(4a + b)$;

2) $(10x + 3y)^2 – (8x + 4y)(8x – 4y)$.

1) Чтобы представить выражение $(4a+3b)^2 - 8b(4a+b)$ в виде квадрата двучлена, сначала упростим его, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.

Сначала раскроем первую скобку, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$:

$(4a+3b)^2 = (4a)^2 + 2 \cdot 4a \cdot 3b + (3b)^2 = 16a^2 + 24ab + 9b^2$.

Теперь раскроем вторую часть выражения, умножив $-8b$ на многочлен в скобках:

$-8b(4a+b) = -8b \cdot 4a - 8b \cdot b = -32ab - 8b^2$.

Объединим полученные результаты:

$(16a^2 + 24ab + 9b^2) + (-32ab - 8b^2) = 16a^2 + 24ab + 9b^2 - 32ab - 8b^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$16a^2 + (24ab - 32ab) + (9b^2 - 8b^2) = 16a^2 - 8ab + b^2$.

Полученное выражение $16a^2 - 8ab + b^2$ является полным квадратом разности, который можно свернуть по формуле $x^2 - 2xy + y^2 = (x-y)^2$.

Здесь $x^2 = 16a^2 \Rightarrow x=4a$, $y^2 = b^2 \Rightarrow y=b$, а удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot 4a \cdot b = 8ab$, что соответствует нашему выражению.

Следовательно, $16a^2 - 8ab + b^2 = (4a-b)^2$.

Ответ: $(4a-b)^2$.

2) Чтобы представить выражение $(10x+3y)^2 - (8x+4y)(8x-4y)$ в виде квадрата двучлена, также начнем с упрощения.

Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(10x+3y)^2 = (10x)^2 + 2 \cdot 10x \cdot 3y + (3y)^2 = 100x^2 + 60xy + 9y^2$.

Вторую часть выражения $(8x+4y)(8x-4y)$ раскроем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2-b^2$:

$(8x+4y)(8x-4y) = (8x)^2 - (4y)^2 = 64x^2 - 16y^2$.

Теперь подставим полученные выражения в исходное:

$(100x^2 + 60xy + 9y^2) - (64x^2 - 16y^2) = 100x^2 + 60xy + 9y^2 - 64x^2 + 16y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(100x^2 - 64x^2) + 60xy + (9y^2 + 16y^2) = 36x^2 + 60xy + 25y^2$.

Полученный трехчлен $36x^2 + 60xy + 25y^2$ является полным квадратом суммы, который можно свернуть по формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

Здесь $a^2 = 36x^2 \Rightarrow a=6x$, $b^2 = 25y^2 \Rightarrow b=5y$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 6x \cdot 5y = 60xy$, что соответствует нашему выражению.

Следовательно, $36x^2 + 60xy + 25y^2 = (6x+5y)^2$.

Ответ: $(6x+5y)^2$.

762. Преобразуйте в квадрат двучлена выражение:

1) $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m)$

2) $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y)$

1)

Преобразуем данное выражение $(3m - 2n)^2 + 5m(4n - m)$.

Сначала раскроем скобки. Для первого слагаемого используем формулу квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(3m - 2n)^2 = (3m)^2 - 2 \cdot 3m \cdot 2n + (2n)^2 = 9m^2 - 12mn + 4n^2$.

Для второго слагаемого раскроем скобки, умножив $5m$ на каждый член в скобках:

$5m(4n - m) = 5m \cdot 4n - 5m \cdot m = 20mn - 5m^2$.

Теперь сложим полученные выражения:

$(9m^2 - 12mn + 4n^2) + (20mn - 5m^2) = 9m^2 - 12mn + 4n^2 + 20mn - 5m^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(9m^2 - 5m^2) + (-12mn + 20mn) + 4n^2 = 4m^2 + 8mn + 4n^2$.

Полученное выражение является полным квадратом. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае $a^2 = 4m^2 = (2m)^2$, $b^2 = 4n^2 = (2n)^2$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 2m \cdot 2n = 8mn$, что соответствует среднему члену нашего выражения.

Следовательно, $4m^2 + 8mn + 4n^2 = (2m + 2n)^2$.

Ответ: $(2m + 2n)^2$.

2)

Преобразуем данное выражение $(9x + 2y)^2 - (8x + 3y)(4x - 4y)$.

Сначала раскроем скобки. Для уменьшаемого используем формулу квадрата суммы $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(9x + 2y)^2 = (9x)^2 + 2 \cdot 9x \cdot 2y + (2y)^2 = 81x^2 + 36xy + 4y^2$.

Далее раскроем скобки в вычитаемом, перемножив два двучлена:

$(8x + 3y)(4x - 4y) = 8x \cdot 4x + 8x \cdot (-4y) + 3y \cdot 4x + 3y \cdot (-4y) = 32x^2 - 32xy + 12xy - 12y^2$.

Приведем подобные слагаемые в полученном выражении:

$32x^2 - 20xy - 12y^2$.

Теперь вычтем второе выражение из первого, не забывая поменять знаки у членов вычитаемого:

$(81x^2 + 36xy + 4y^2) - (32x^2 - 20xy - 12y^2) = 81x^2 + 36xy + 4y^2 - 32x^2 + 20xy + 12y^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(81x^2 - 32x^2) + (36xy + 20xy) + (4y^2 + 12y^2) = 49x^2 + 56xy + 16y^2$.

Полученное выражение является полным квадратом. Чтобы представить его в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$.

В нашем случае $a^2 = 49x^2 = (7x)^2$, $b^2 = 16y^2 = (4y)^2$, а удвоенное произведение $2ab = 2 \cdot 7x \cdot 4y = 56xy$, что соответствует среднему члену нашего выражения.

Следовательно, $49x^2 + 56xy + 16y^2 = (7x + 4y)^2$.

Ответ: $(7x + 4y)^2$.

763. Пользуясь преобразованием выражений в квадрат суммы или разности двух чисел, найдите значение данного выражения:

1) $1.02^2 - 1.02 \cdot 1.96 + 0.98^2$;

2) $24^2 + 96 \cdot 38 + 76^2$.

1)

Данное выражение $1,02^2 - 1,02 \cdot 1,96 + 0,98^2$ соответствует формуле квадрата разности двух чисел: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В этом выражении можно заметить, что $a = 1,02$ и $b = 0,98$.

Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $2ab$.

$2ab = 2 \cdot 1,02 \cdot 0,98 = 1,02 \cdot (2 \cdot 0,98) = 1,02 \cdot 1,96$.

Это совпадает со средним членом в исходном выражении. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата разности:

$1,02^2 - 1,02 \cdot 1,96 + 0,98^2 = (1,02 - 0,98)^2$.

Вычислим значение выражения:

$(1,02 - 0,98)^2 = (0,04)^2 = 0,0016$.

Ответ: $0,0016$.

2)

Данное выражение $24^2 + 96 \cdot 38 + 76^2$ соответствует формуле квадрата суммы двух чисел: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

В этом выражении можно заметить, что $a = 24$ и $b = 76$.

Проверим средний член. По формуле он должен быть равен $2ab = 2 \cdot 24 \cdot 76$.

Средний член в исходном выражении: $96 \cdot 38$. Выполним преобразование, чтобы увидеть, совпадает ли он с $2ab$:

$96 \cdot 38 = (4 \cdot 24) \cdot (\frac{76}{2}) = \frac{4}{2} \cdot 24 \cdot 76 = 2 \cdot 24 \cdot 76$.

Средний член совпадает с $2ab$. Следовательно, мы можем применить формулу квадрата суммы:

$24^2 + 96 \cdot 38 + 76^2 = 24^2 + 2 \cdot 24 \cdot 76 + 76^2 = (24 + 76)^2$.

Вычислим значение выражения:

$(24 + 76)^2 = (100)^2 = 10000$.

Ответ: $10000$.

764. Вычислите:

1) $203^2 - 406 \cdot 103 + 103^2;$

2) $1,58^2 + 1,58 \cdot 2,84 + 1,42^2.$

1) $203^2 - 406 \cdot 103 + 103^2$

Для решения этого примера воспользуемся формулой сокращенного умножения "квадрат разности": $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Заметим, что данное выражение соответствует правой части этой формулы. Определим значения $a$ и $b$:

Пусть $a = 203$ и $b = 103$. Тогда $a^2 = 203^2$ и $b^2 = 103^2$.

Средний член выражения $406 \cdot 103$ можно представить как $2 \cdot 203 \cdot 103$, что соответствует $2ab$ из формулы.

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$203^2 - 2 \cdot 203 \cdot 103 + 103^2 = (203 - 103)^2$

Теперь выполним вычисления:

$(203 - 103)^2 = 100^2 = 10000$

Ответ: $10000$.

2) $1,58^2 + 1,58 \cdot 2,84 + 1,42^2$

В этом примере применим формулу сокращенного умножения "квадрат суммы": $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Сравним наше выражение с формулой. Пусть $a = 1,58$ и $b = 1,42$. Тогда $a^2 = 1,58^2$ и $b^2 = 1,42^2$.

Проверим средний член выражения $1,58 \cdot 2,84$. Заметим, что $2,84 = 2 \cdot 1,42$.

Тогда средний член можно переписать как $1,58 \cdot (2 \cdot 1,42) = 2 \cdot 1,58 \cdot 1,42$. Это в точности соответствует члену $2ab$ из формулы.

Следовательно, исходное выражение можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$1,58^2 + 2 \cdot 1,58 \cdot 1,42 + 1,42^2 = (1,58 + 1,42)^2$

Выполним вычисления в скобках, а затем возведем в квадрат:

$(1,58 + 1,42)^2 = 3^2 = 9$

Ответ: $9$.

765. Какое число надо прибавить к многочлену $81a^2b^2 - 36ab + 9$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Для того чтобы выражение было тождественно равно квадрату двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$ или $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.
Рассмотрим исходный многочлен $81a^2b^2 - 36ab + 9$. Обозначим число, которое нужно прибавить, через $k$. Получим выражение $81a^2b^2 - 36ab + 9 + k$.
Поскольку в выражении присутствует член $-36ab$ со знаком "минус", мы будем приводить его к виду $(x-y)^2$.
В формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ сопоставим члены с нашим выражением:
Первый член $x^2$ должен соответствовать $81a^2b^2$. Отсюда:
$x^2 = (9ab)^2 \implies x = 9ab$.
Средний член $-2xy$ должен соответствовать $-36ab$. Подставим найденное значение $x$:
$-2 \cdot (9ab) \cdot y = -36ab$
$-18ab \cdot y = -36ab$
Отсюда находим $y$:
$y = \frac{-36ab}{-18ab} = 2$.
Теперь мы можем определить, каким должен быть третий член $y^2$ в формуле полного квадрата:
$y^2 = 2^2 = 4$.
Значит, итоговое выражение должно иметь вид $(9ab - 2)^2 = 81a^2b^2 - 36ab + 4$.
В нашем выражении $81a^2b^2 - 36ab + 9 + k$ постоянная часть равна $9+k$. Эта часть должна быть равна 4:
$9 + k = 4$
$k = 4 - 9$
$k = -5$
Таким образом, к исходному многочлену необходимо прибавить число -5.

Ответ: -5

766. Какое число надо прибавить к многочлену $100m^4 + 120m^2 + 40$, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Для того чтобы выражение стало квадратом двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ или $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Рассмотрим данный многочлен: $100m^4 + 120m^2 + 40$. Поскольку все его коэффициенты положительны, будем приводить его к виду $(a+b)^2$.

Сравним наш многочлен с формулой $a^2 + 2ab + b^2$.

Первый член $100m^4$ должен соответствовать $a^2$. Отсюда находим $a$:

$a^2 = 100m^4 = (10m^2)^2$

Следовательно, $a = 10m^2$.

Средний член $120m^2$ должен соответствовать удвоенному произведению $2ab$. Подставим в это выражение найденное значение $a$:

$2ab = 120m^2$

$2 \cdot (10m^2) \cdot b = 120m^2$

$20m^2 \cdot b = 120m^2$

Теперь найдем $b$, разделив обе части равенства на $20m^2$:

$b = \frac{120m^2}{20m^2} = 6$

Для того чтобы выражение было полным квадратом, его третий член должен быть равен $b^2$. Вычислим его:

$b^2 = 6^2 = 36$

Таким образом, многочлен, являющийся полным квадратом, имеет вид $100m^4 + 120m^2 + 36$, что тождественно равно $(10m^2 + 6)^2$.

В исходном многочлене свободный член равен 40. Чтобы из 40 получить 36, необходимо найти число $x$, которое удовлетворяет равенству:

$40 + x = 36$

Решим это уравнение относительно $x$:

$x = 36 - 40$

$x = -4$

Значит, к исходному многочлену нужно прибавить число -4.

Ответ: -4.

767. Решите уравнение:

1) $x^2 - 16x + 64 = 0$;

2) $81x^2 + 126x + 49 = 0$.

1) $x^2 - 16x + 64 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Левую часть уравнения можно представить в виде полного квадрата разности, используя формулу сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае, первый член $x^2$ является квадратом $x$, а третий член $64$ является квадратом $8$. Проверим средний член: $2 \cdot x \cdot 8 = 16x$.

Таким образом, выражение $x^2 - 16x + 64$ является полным квадратом разности $(x-8)$.

Перепишем уравнение:

$(x - 8)^2 = 0$

Уравнение имеет единственное решение, когда основание степени равно нулю:

$x - 8 = 0$

Перенесем $8$ в правую часть:

$x = 8$

Ответ: $8$

2) $81x^2 + 126x + 49 = 0$

Это также квадратное уравнение. Левая часть уравнения является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном уравнении первый член $81x^2$ является квадратом $9x$, а третий член $49$ является квадратом $7$. Проверим средний член: $2 \cdot (9x) \cdot 7 = 126x$.

Следовательно, выражение $81x^2 + 126x + 49$ является полным квадратом суммы $(9x+7)$.

Перепишем уравнение:

$(9x + 7)^2 = 0$

Решаем полученное уравнение:

$9x + 7 = 0$

Перенесем $7$ в правую часть, изменив знак:

$9x = -7$

Разделим обе части на $9$:

$x = -\frac{7}{9}$

Ответ: $-\frac{7}{9}$

768. Решите уравнение:

1) $x^2 + 12x + 36 = 0;$

2) $25x^2 - 30x + 9 = 0.$

1) $x^2 + 12x + 36 = 0$

Данное уравнение является квадратным. Заметим, что левая часть уравнения представляет собой полный квадрат суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x$ и $b = 6$, так как $(x)^2 = x^2$, $6^2 = 36$ и $2 \cdot x \cdot 6 = 12x$.

Таким образом, мы можем переписать исходное уравнение в следующем виде:

$(x+6)^2 = 0$

Это уравнение имеет единственное решение, когда выражение в скобках равно нулю:

$x+6 = 0$

Перенесем 6 в правую часть уравнения:

$x = -6$

Ответ: -6

2) $25x^2 - 30x + 9 = 0$

Это также квадратное уравнение. Левая часть уравнения является полным квадратом разности. Применим формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В этом уравнении $a = 5x$ и $b = 3$, поскольку $(5x)^2 = 25x^2$, $3^2 = 9$ и $2 \cdot (5x) \cdot 3 = 30x$.

Свернем левую часть уравнения по формуле:

$(5x-3)^2 = 0$

Данное уравнение справедливо только тогда, когда основание степени равно нулю:

$5x-3 = 0$

Решим полученное линейное уравнение. Перенесем -3 в правую часть:

$5x = 3$

Разделим обе части на 5, чтобы найти $x$:

$x = \frac{3}{5}$

Ответ: $\frac{3}{5}$