Страница 130 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

750. Какое из данных равенств является тождеством:

1) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2;$

2) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2;$

3) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2;$

4) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2?$

Тождество — это равенство, которое верно при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы определить, какое из предложенных равенств является тождеством, необходимо проверить, совпадает ли левая часть с правой.

Во всех вариантах левая часть одинакова: $a^2 + 8ab + 16b^2$. Это выражение можно попытаться свернуть в полный квадрат, используя формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$.

В нашем случае $x^2 = a^2$, значит $x=a$. Третий член $16b^2 = (4b)^2$, значит $y=4b$. Проверим средний член (удвоенное произведение): $2xy = 2 \cdot a \cdot (4b) = 8ab$. Он совпадает со средним членом исходного выражения. Таким образом, $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$.

Теперь проверим каждое из предложенных равенств.

1) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 8b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства, используя формулу квадрата суммы:

$(a + 8b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (8b) + (8b)^2 = a^2 + 16ab + 64b^2$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2 + 16ab + 64b^2$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

2) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 4b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(a + 4b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (4b) + (4b)^2 = a^2 + 8ab + 16b^2$.

Правая часть полностью совпадает с левой частью. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (ab + 4)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(ab + 4)^2 = (ab)^2 + 2 \cdot (ab) \cdot 4 + 4^2 = a^2b^2 + 8ab + 16$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2b^2 + 8ab + 16$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

4) $a^2 + 8ab + 16b^2 = (a + 2b)^2$

Раскроем скобки в правой части равенства:

$(a + 2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Сравнивая с левой частью, видим, что $a^2 + 8ab + 16b^2 \neq a^2 + 4ab + 4b^2$. Следовательно, это не тождество.

Ответ: не является тождеством.

751. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $c^2 + 2cd + d^2;$

2) $p^2 - 2pq + q^2;$

3) $x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2.$

Чтобы представить трёхчлен в виде квадрата двучлена, мы используем формулы сокращённого умножения:

• Формула квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Формула квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Применим эти формулы к каждому из заданных выражений.

1) $c^2 + 2cd + d^2$

Данный трёхчлен представляет собой квадрат первого члена ($c^2$), плюс удвоенное произведение первого члена на второй ($2cd$), плюс квадрат второго члена ($d^2$). Эта структура полностью соответствует формуле квадрата суммы $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.

В нашем случае, $a = c$ и $b = d$.

Следовательно, мы можем записать:

$c^2 + 2cd + d^2 = (c + d)^2$.

Ответ: $(c + d)^2$

2) $p^2 - 2pq + q^2$

Этот трёхчлен состоит из квадрата первого члена ($p^2$), минус удвоенное произведение первого члена на второй ($2pq$), плюс квадрат второго члена ($q^2$). Такая структура соответствует формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

Здесь $a = p$ и $b = q$.

Применяя формулу, получаем:

$p^2 - 2pq + q^2 = (p - q)^2$.

Ответ: $(p - q)^2$

3) $x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2$

Выражение $x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2$ также является полным квадратом. Оно состоит из квадрата первого члена ($x^2$), минус удвоенное произведение первого члена ($x$) на второй ($7$), плюс квадрат второго члена ($7^2$). Это соответствует формуле квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.

В данном случае, $a = x$ и $b = 7$.

Таким образом, сворачиваем трёхчлен по формуле:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = (x - 7)^2$.

Ответ: $(x - 7)^2$

752. Разложите на множители многочлен:

1) $m^2 + 2mn + n^2$;

2) $b^2 - 2bc + c^2$;

3) $11^2 - 2 \cdot 11 \cdot p + p^2$.

1) Для разложения многочлена $m^2 + 2mn + n^2$ на множители воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$. В данном выражении в качестве $a$ выступает $m$, а в качестве $b$ выступает $n$. Таким образом, подставляя наши значения в формулу, получаем: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.
Ответ: $(m+n)^2$.

2) Для разложения многочлена $b^2 - 2bc + c^2$ на множители используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. В данном случае $a=b$ и $b=c$. Применяя формулу, получаем: $b^2 - 2bc + c^2 = (b-c)^2$.
Ответ: $(b-c)^2$.

3) Выражение $11^2 - 2 \cdot 11 \cdot p + p^2$ также является полным квадратом и для его разложения на множители подходит формула квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$. Здесь $a=11$ и $b=p$. Следовательно, выражение можно представить в виде: $11^2 - 2 \cdot 11 \cdot p + p^2 = (11-p)^2$.
Ответ: $(11-p)^2$.

753. Представьте многочлен в виде квадрата суммы или квадрата разности двух выражений:

1) $a^2 + 2a + 1;$

2) $x^2 - 12x + 36;$

3) $y^2 - 18y + 81;$

4) $100 - 20c + c^2;$

5) $a^2 - 6ab + 9b^2;$

6) $9a^2 - 30ab + 25b^2;$

7) $b^4 - 2b^2c + c^2;$

8) $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4;$

9) $36a^2b^2 - 12ab + 1;$

10) $x^4 + 2x^2 + 1;$

11) $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6;$

12) $0.01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7.$

1) Чтобы представить многочлен $a^2 + 2a + 1$ в виде квадрата суммы, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
В нашем выражении первый член $A^2 = a^2$, следовательно, $A=a$.
Третий член $B^2 = 1$, следовательно, $B=1$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$, что совпадает со вторым членом многочлена.
Таким образом, выражение является полным квадратом суммы.
$a^2 + 2a + 1 = (a+1)^2$.
Ответ: $(a+1)^2$.

2) Для многочлена $x^2 - 12x + 36$ применим формулу квадрата разности: $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^2$, значит $A=x$.
$B^2 = 36$, значит $B=6$.
Проверим удвоенное произведение со знаком минус: $-2AB = -2 \cdot x \cdot 6 = -12x$. Это соответствует второму члену многочлена.
Следовательно, $x^2 - 12x + 36 = (x-6)^2$.
Ответ: $(x-6)^2$.

3) Многочлен $y^2 - 18y + 81$ соответствует формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
В этом случае $A^2 = y^2$, откуда $A=y$.
$B^2 = 81$, откуда $B=9$.
Средний член: $-2AB = -2 \cdot y \cdot 9 = -18y$. Он совпадает с данным.
Значит, $y^2 - 18y + 81 = (y-9)^2$.
Ответ: $(y-9)^2$.

4) Рассмотрим многочлен $100 - 20c + c^2$. Он также подходит под формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 100$, поэтому $A=10$.
$B^2 = c^2$, поэтому $B=c$.
Удвоенное произведение с минусом: $-2AB = -2 \cdot 10 \cdot c = -20c$. Это соответствует второму члену.
Таким образом, $100 - 20c + c^2 = (10-c)^2$.
Ответ: $(10-c)^2$.

5) Для многочлена $a^2 - 6ab + 9b^2$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = a^2$, значит $A=a$.
Третий член $B^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $B=3b$.
Проверяем средний член: $-2AB = -2 \cdot a \cdot (3b) = -6ab$. Совпадает.
Следовательно, $a^2 - 6ab + 9b^2 = (a-3b)^2$.
Ответ: $(a-3b)^2$.

6) Многочлен $9a^2 - 30ab + 25b^2$ преобразуем по формуле квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = 9a^2 = (3a)^2$, откуда $A=3a$.
$B^2 = 25b^2 = (5b)^2$, откуда $B=5b$.
Проверка среднего члена: $-2AB = -2 \cdot (3a) \cdot (5b) = -30ab$. Совпадает.
Поэтому $9a^2 - 30ab + 25b^2 = (3a-5b)^2$.
Ответ: $(3a-5b)^2$.

7) Для многочлена $b^4 - 2b^2c + c^2$ применим формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = b^4 = (b^2)^2$, значит $A=b^2$.
$B^2 = c^2$, значит $B=c$.
Средний член: $-2AB = -2 \cdot b^2 \cdot c = -2b^2c$. Совпадает.
Таким образом, $b^4 - 2b^2c + c^2 = (b^2-c)^2$.
Ответ: $(b^2-c)^2$.

8) Многочлен $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4$ представим в виде квадрата суммы по формуле $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = m^8 = (m^4)^2$, следовательно $A=m^4$.
$B^2 = \frac{1}{4}n^4 = (\frac{1}{2}n^2)^2$, следовательно $B=\frac{1}{2}n^2$.
Проверим удвоенное произведение: $2AB = 2 \cdot m^4 \cdot (\frac{1}{2}n^2) = m^4n^2$. Соответствует среднему члену.
Значит, $m^8 + m^4n^2 + \frac{1}{4}n^4 = (m^4+\frac{1}{2}n^2)^2$.
Ответ: $(m^4+\frac{1}{2}n^2)^2$.

9) Для многочлена $36a^2b^2 - 12ab + 1$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 36a^2b^2 = (6ab)^2$, откуда $A=6ab$.
Третий член $B^2 = 1$, откуда $B=1$.
Проверяем средний член: $-2AB = -2 \cdot (6ab) \cdot 1 = -12ab$. Совпадает.
Таким образом, $36a^2b^2 - 12ab + 1 = (6ab-1)^2$.
Ответ: $(6ab-1)^2$.

10) Многочлен $x^4 + 2x^2 + 1$ соответствует формуле квадрата суммы $(A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = x^4 = (x^2)^2$, значит $A=x^2$.
$B^2 = 1$, значит $B=1$.
Удвоенное произведение $2AB = 2 \cdot x^2 \cdot 1 = 2x^2$. Совпадает со средним членом.
Следовательно, $x^4 + 2x^2 + 1 = (x^2+1)^2$.
Ответ: $(x^2+1)^2$.

11) Для многочлена $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6$ используем формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Здесь $A^2 = \frac{1}{16}x^4 = (\frac{1}{4}x^2)^2$, значит $A=\frac{1}{4}x^2$.
$B^2 = 16y^6 = (4y^3)^2$, значит $B=4y^3$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (\frac{1}{4}x^2) \cdot (4y^3) = -2x^2y^3$. Совпадает.
Таким образом, $\frac{1}{16}x^4 - 2x^2y^3 + 16y^6 = (\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.
Ответ: $(\frac{1}{4}x^2 - 4y^3)^2$.

12) Переставим члены многочлена $0,01a^8 + 25b^{14} - a^4b^7$ для удобства: $0,01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14}$. Применим формулу квадрата разности $(A-B)^2 = A^2 - 2AB + B^2$.
Первый член $A^2 = 0,01a^8 = (0,1a^4)^2$, следовательно $A=0,1a^4$.
Третий член $B^2 = 25b^{14} = (5b^7)^2$, следовательно $B=5b^7$.
Проверим средний член: $-2AB = -2 \cdot (0,1a^4) \cdot (5b^7) = -1 \cdot a^4b^7 = -a^4b^7$. Совпадает.
Значит, $0,01a^8 - a^4b^7 + 25b^{14} = (0,1a^4 - 5b^7)^2$.
Ответ: $(0,1a^4 - 5b^7)^2$.

754. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена:

1) $b^2 - 2b + 1;$

2) $4 + 4n + n^2;$

3) $x^2 - 14x + 49;$

4) $4a^2 + 4ab + b^2;$

5) $9x^2 - 24xy + 16y^2;$

6) $a^6 - 2a^3 + 1;$

7) $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10};$

8) $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}.$

1) Чтобы представить трёхчлен $b^2 - 2b + 1$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В нашем выражении первый член $a^2 = b^2$, откуда $a = b$. Третий член $1$ можно представить как $1^2$, откуда $b = 1$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов со знаком минус. $-2 \cdot b \cdot 1 = -2b$. Так как все условия выполняются, получаем: $b^2 - 2b + 1 = (b-1)^2$.

Ответ: $(b-1)^2$

2) Чтобы представить трёхчлен $4 + 4n + n^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$. В нашем выражении первый член $a^2 = 4$, откуда $a = 2$. Третий член $b^2 = n^2$, откуда $b = n$. Проверим средний член: он должен быть равен удвоенному произведению первого и второго членов. $2 \cdot 2 \cdot n = 4n$. Так как все условия выполняются, получаем: $4 + 4n + n^2 = (2+n)^2$.

Ответ: $(2+n)^2$

3) Чтобы представить трёхчлен $x^2 - 14x + 49$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. В данном выражении $a^2 = x^2$, значит $a = x$. Третий член $49 = 7^2$, значит $b = 7$. Проверим средний член: $-2 \cdot x \cdot 7 = -14x$. Все условия выполняются, следовательно: $x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$.

Ответ: $(x-7)^2$

4) Чтобы представить трёхчлен $4a^2 + 4ab + b^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата суммы: $x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2$. Здесь первый член $x^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $x = 2a$. Третий член $y^2 = b^2$, значит $y = b$. Проверим средний член: $2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$. Все условия выполняются, следовательно: $4a^2 + 4ab + b^2 = (2a+b)^2$.

Ответ: $(2a+b)^2$

5) Чтобы представить трёхчлен $9x^2 - 24xy + 16y^2$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь $a^2 = 9x^2 = (3x)^2$, значит $a = 3x$. Третий член $b^2 = 16y^2 = (4y)^2$, значит $b = 4y$. Проверим средний член: $-2 \cdot (3x) \cdot (4y) = -24xy$. Все условия выполняются, следовательно: $9x^2 - 24xy + 16y^2 = (3x-4y)^2$.

Ответ: $(3x-4y)^2$

6) Чтобы представить трёхчлен $a^6 - 2a^3 + 1$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$. Здесь первый член $x^2 = a^6 = (a^3)^2$, значит $x = a^3$. Третий член $y^2 = 1 = 1^2$, значит $y = 1$. Проверим средний член: $-2 \cdot a^3 \cdot 1 = -2a^3$. Все условия выполняются, следовательно: $a^6 - 2a^3 + 1 = (a^3-1)^2$.

Ответ: $(a^3-1)^2$

7) Чтобы представить трёхчлен $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10}$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2$. Здесь первый член $x^2 = 36a^6 = (6a^3)^2$, значит $x = 6a^3$. Третий член $y^2 = 49b^{10} = (7b^5)^2$, значит $y = 7b^5$. Проверим средний член: $-2 \cdot (6a^3) \cdot (7b^5) = -84a^3b^5$. Все условия выполняются, следовательно: $36a^6 - 84a^3b^5 + 49b^{10} = (6a^3 - 7b^5)^2$.

Ответ: $(6a^3 - 7b^5)^2$

8) Чтобы представить трёхчлен $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12}$ в виде квадрата двучлена, используем формулу квадрата разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$. Здесь первый член $a^2 = 81x^4y^8 = (9x^2y^4)^2$, значит $a = 9x^2y^4$. Третий член $b^2 = 4z^{12} = (2z^6)^2$, значит $b = 2z^6$. Проверим средний член: $-2 \cdot (9x^2y^4) \cdot (2z^6) = -36x^2y^4z^6$. Все условия выполняются, следовательно: $81x^4y^8 - 36x^2y^4z^6 + 4z^{12} = (9x^2y^4 - 2z^6)^2$.

Ответ: $(9x^2y^4 - 2z^6)^2$

755. Найдите значение выражения, представив его предварительно в виде квадрата двучлена:

1) $y^2 - 8y + 16$, если $y = -4$;

2) $c^2 + 24c + 144$, если $c = -10$;

3) $25x^2 - 20xy + 4y^2$, если $x = 3$, $y = 5,5$;

4) $49a^2 + 84ab + 36b^2$, если $a = 1\frac{1}{7}$, $b = 2\frac{5}{6}$.

1) Представим выражение $y^2 - 8y + 16$ в виде квадрата двучлена. Это выражение является полным квадратом разности, который соответствует формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = y$ и $b = 4$. Проверим средний член: $2 \cdot y \cdot 4 = 8y$.
Следовательно, выражение можно записать как $(y - 4)^2$.
Теперь подставим значение $y = -4$ в полученное выражение:
$(y - 4)^2 = (-4 - 4)^2 = (-8)^2 = 64$.
Ответ: 64

2) Представим выражение $c^2 + 24c + 144$ в виде квадрата двучлена. Это выражение является полным квадратом суммы, который соответствует формуле $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$.
Здесь $a = c$ и $b = 12$. Проверим средний член: $2 \cdot c \cdot 12 = 24c$.
Следовательно, выражение можно записать как $(c + 12)^2$.
Подставим значение $c = -10$ в полученное выражение:
$(c + 12)^2 = (-10 + 12)^2 = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

3) Представим выражение $25x^2 - 20xy + 4y^2$ в виде квадрата двучлена. Это выражение является полным квадратом разности $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$.
В данном случае $a = \sqrt{25x^2} = 5x$ и $b = \sqrt{4y^2} = 2y$. Проверим средний член: $2 \cdot (5x) \cdot (2y) = 20xy$.
Следовательно, выражение можно записать как $(5x - 2y)^2$.
Подставим значения $x = 3$ и $y = 5,5$ в полученное выражение:
$(5x - 2y)^2 = (5 \cdot 3 - 2 \cdot 5,5)^2 = (15 - 11)^2 = 4^2 = 16$.
Ответ: 16

4) Представим выражение $49a^2 + 84ab + 36b^2$ в виде квадрата двучлена. Это выражение является полным квадратом суммы $A^2 + 2AB + B^2 = (A+B)^2$.
В данном случае $A = \sqrt{49a^2} = 7a$ и $B = \sqrt{36b^2} = 6b$. Проверим средний член: $2 \cdot (7a) \cdot (6b) = 84ab$.
Следовательно, выражение можно записать как $(7a + 6b)^2$.
Прежде чем подставлять значения, переведем смешанные дроби в неправильные:
$a = 1\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{8}{7}$
$b = 2\frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$
Теперь подставим значения в полученное выражение:
$(7a + 6b)^2 = (7 \cdot \frac{8}{7} + 6 \cdot \frac{17}{6})^2 = (8 + 17)^2 = 25^2 = 625$.
Ответ: 625

756. Найдите значение выражения:

1) $b^2 - 30b + 225$, если $b = 6$;

2) $100a^2 + 60ab + 9b^2$, если $a = 0,8$, $b = -3$.

1) Для того чтобы найти значение выражения $b^2 - 30b + 225$ при $b = 6$, можно заметить, что данное выражение является полным квадратом разности. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В нашем случае $x^2 = b^2$, что означает $x=b$. Также $y^2 = 225$, что означает $y=15$. Проверим, совпадает ли удвоенное произведение с нашим средним членом: $2xy = 2 \cdot b \cdot 15 = 30b$.

Таким образом, выражение можно представить в виде квадрата разности:

$b^2 - 30b + 225 = (b - 15)^2$

Теперь подставим заданное значение $b = 6$ в полученное выражение:

$(6 - 15)^2 = (-9)^2 = 81$

Ответ: 81

2) Чтобы найти значение выражения $100a^2 + 60ab + 9b^2$ при $a = 0,8$ и $b = -3$, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В нашем выражении $x^2 = 100a^2 = (10a)^2$, следовательно, $x=10a$. Также $y^2 = 9b^2 = (3b)^2$, следовательно, $y=3b$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (10a) \cdot (3b) = 60ab$.

Значит, исходное выражение можно свернуть в квадрат суммы:

$100a^2 + 60ab + 9b^2 = (10a + 3b)^2$

Теперь подставим заданные значения $a = 0,8$ и $b = -3$:

$(10 \cdot 0,8 + 3 \cdot (-3))^2 = (8 - 9)^2 = (-1)^2 = 1$

Ответ: 1

757. Какой одночлен следует подставить вместо звёздочки, чтобы можно было представить в виде квадрата двучлена выражения:

1) $*-56a+49;$

2) $9c^2-12c+*;$

3) $*-42xy+49y^2;$

4) $0,01b^2+*+100c^2;$

5) $a^2b^2-4a^3b^5+*;$

6) $1,44x^2y^4- * +0,25y^6;$

7) $64-80y^{20}+*;$

8) $\frac{9}{25}a^6b^2-a^5b^5+*?;$

Чтобы представить выражение в виде квадрата двучлена, оно должно соответствовать одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом пункте мы будем определять, какие члены из формулы нам известны, и находить недостающий член.

1) * - 56a + 49

Данное выражение похоже на формулу квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2$. В этом выражении мы можем опознать квадрат второго члена $y^2 = 49$, откуда $y=7$. Удвоенное произведение первого и второго членов равно $-2xy = -56a$. Подставим известное значение $y=7$: $-2 \cdot x \cdot 7 = -56a$, что упрощается до $-14x = -56a$. Найдем первый член $x$: $x = \frac{-56a}{-14} = 4a$. Недостающий одночлен, обозначенный звездочкой, это квадрат первого члена $x^2$. $* = x^2 = (4a)^2 = 16a^2$. Проверка: $16a^2 - 56a + 49 = (4a)^2 - 2 \cdot (4a) \cdot 7 + 7^2 = (4a - 7)^2$.
Ответ: $16a^2$.

2) 9c² - 12c + *

Это выражение также соответствует формуле квадрата разности $x^2 - 2xy + y^2$. Здесь известен квадрат первого члена $x^2 = 9c^2$, значит $x=3c$. Удвоенное произведение равно $-2xy = -12c$. Подставим $x=3c$: $-2 \cdot (3c) \cdot y = -12c$, или $-6cy = -12c$. Найдем второй член $y$: $y = \frac{-12c}{-6c} = 2$. Недостающий одночлен — это квадрат второго члена $y^2$. $* = y^2 = 2^2 = 4$. Проверка: $9c^2 - 12c + 4 = (3c)^2 - 2 \cdot (3c) \cdot 2 + 2^2 = (3c - 2)^2$.
Ответ: $4$.

3) * - 42xy + 49y²

Выражение имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$. Известен квадрат второго члена $b^2 = 49y^2$, откуда $b=7y$. Удвоенное произведение $-2ab = -42xy$. Подставим $b=7y$: $-2 \cdot a \cdot (7y) = -42xy$, или $-14ay = -42xy$. Найдем первый член $a$: $a = \frac{-42xy}{-14y} = 3x$. Искомый одночлен — это квадрат первого члена $a^2$. $* = a^2 = (3x)^2 = 9x^2$. Проверка: $9x^2 - 42xy + 49y^2 = (3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot (7y) + (7y)^2 = (3x - 7y)^2$.
Ответ: $9x^2$.

4) 0,01b² + * + 100c²

Это выражение может быть как квадратом суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$, так и квадратом разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Известны квадраты первого и второго членов: $x^2 = 0,01b^2$, откуда $x=0,1b$, и $y^2=100c^2$, откуда $y=10c$. Недостающий член — это удвоенное произведение $2xy$ (или $-2xy$). Найдем его: $2xy = 2 \cdot (0,1b) \cdot (10c) = 2bc$. Таким образом, вместо звездочки можно подставить как $2bc$, так и $-2bc$. Если $*=2bc$, получим $(0,1b + 10c)^2$. Если $*=-2bc$, получим $(0,1b - 10c)^2$.
Ответ: $\pm2bc$.

5) a²b² - 4a³b⁵ + *

Предположим, что выражение имеет вид $x^2 - 2xy + y^2$. Пусть $x^2 = a^2b^2$, тогда $x=ab$. Средний член $-2xy = -4a^3b^5$. Подставим $x=ab$: $-2 \cdot (ab) \cdot y = -4a^3b^5$. Найдем $y$: $y = \frac{-4a^3b^5}{-2ab} = 2a^2b^4$. Искомый одночлен — это $y^2$. $* = y^2 = (2a^2b^4)^2 = 4a^4b^8$. Проверка: $a^2b^2 - 4a^3b^5 + 4a^4b^8 = (ab)^2 - 2 \cdot (ab) \cdot (2a^2b^4) + (2a^2b^4)^2 = (ab - 2a^2b^4)^2$.
Ответ: $4a^4b^8$.

6) 1,44x²y⁴ - * + 0,25y⁶

Выражение имеет вид $a^2 - 2ab + b^2$. Звездочка скрывает положительный одночлен $2ab$. Определим $a$ и $b$ из известных квадратов: $a^2 = 1,44x^2y^4 \implies a = \sqrt{1,44}x^{2/2}y^{4/2} = 1,2xy^2$. $b^2 = 0,25y^6 \implies b = \sqrt{0,25}y^{6/2} = 0,5y^3$. Теперь найдем удвоенное произведение $2ab$: $* = 2ab = 2 \cdot (1,2xy^2) \cdot (0,5y^3) = (2 \cdot 1,2 \cdot 0,5) \cdot x \cdot y^2 \cdot y^3 = 1,2xy^5$. Проверка: $1,44x^2y^4 - 1,2xy^5 + 0,25y^6 = (1,2xy^2 - 0,5y^3)^2$.
Ответ: $1,2xy^5$.

7) 64 - 80y²⁰ + *

Используем формулу квадрата разности $a^2 - 2ab + b^2$. Первый член $a^2 = 64$, значит $a=8$. Средний член $-2ab = -80y^{20}$. Подставим $a=8$: $-2 \cdot 8 \cdot b = -80y^{20}$, или $-16b = -80y^{20}$. Найдем $b$: $b = \frac{-80y^{20}}{-16} = 5y^{20}$. Недостающий одночлен — это $b^2$. $* = b^2 = (5y^{20})^2 = 25y^{40}$. Проверка: $64 - 80y^{20} + 25y^{40} = 8^2 - 2 \cdot 8 \cdot (5y^{20}) + (5y^{20})^2 = (8 - 5y^{20})^2$.
Ответ: $25y^{40}$.

8) $\frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + *$

Это выражение соответствует формуле $x^2 - 2xy + y^2$. Первый член $x^2 = \frac{9}{25}a^6b^2$, откуда $x = \sqrt{\frac{9}{25}}a^{6/2}b^{2/2} = \frac{3}{5}a^3b$. Средний член $-2xy = -a^5b^5$. Подставим $x$: $-2 \cdot (\frac{3}{5}a^3b) \cdot y = -a^5b^5$, или $-\frac{6}{5}a^3by = -a^5b^5$. Найдем $y$: $y = \frac{-a^5b^5}{-\frac{6}{5}a^3b} = \frac{5}{6}a^{5-3}b^{5-1} = \frac{5}{6}a^2b^4$. Искомый одночлен — это $y^2$. $* = y^2 = (\frac{5}{6}a^2b^4)^2 = \frac{25}{36}a^4b^8$. Проверка: $\frac{9}{25}a^6b^2 - a^5b^5 + \frac{25}{36}a^4b^8 = (\frac{3}{5}a^3b - \frac{5}{6}a^2b^4)^2$.
Ответ: $\frac{25}{36}a^4b^8$.