Страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

705. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $(-x+1)^2$;

2) $(-m-9)^2$;

3) $(-5a+3b)^2$;

4) $(-4x-8y)^2$;

5) $(-0.7c-10d)^2$;

6) $(-4a^2+\frac{1}{8}ab)^2$.

1) Чтобы преобразовать выражение $(-x+1)^2$ в многочлен, можно поменять местами слагаемые в скобках и воспользоваться формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(-x+1)^2 = (1-x)^2$
Здесь $a=1$ и $b=x$.
$(1-x)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot x + x^2 = 1 - 2x + x^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде (в порядке убывания степеней переменной): $x^2 - 2x + 1$.
Ответ: $x^2 - 2x + 1$.

2) Чтобы преобразовать выражение $(-m-9)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки. Так как квадрат отрицательного числа равен квадрату положительного, $(-A)^2=A^2$.
$(-m-9)^2 = (-(m+9))^2 = (m+9)^2$.
Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=m$ и $b=9$.
$(m+9)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 9 + 9^2 = m^2 + 18m + 81$.
Ответ: $m^2 + 18m + 81$.

3) Чтобы преобразовать выражение $(-5a+3b)^2$ в многочлен, поменяем слагаемые местами и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(-5a+3b)^2 = (3b-5a)^2$.
Здесь $a=3b$ и $b=5a$.
$(3b-5a)^2 = (3b)^2 - 2 \cdot (3b) \cdot (5a) + (5a)^2 = 9b^2 - 30ab + 25a^2$.
Запишем многочлен в стандартном виде: $25a^2 - 30ab + 9b^2$.
Ответ: $25a^2 - 30ab + 9b^2$.

4) Чтобы преобразовать выражение $(-4x-8y)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки.
$(-4x-8y)^2 = (-(4x+8y))^2 = (4x+8y)^2$.
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=4x$ и $b=8y$.
$(4x+8y)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot (4x) \cdot (8y) + (8y)^2 = 16x^2 + 64xy + 64y^2$.
Ответ: $16x^2 + 64xy + 64y^2$.

5) Чтобы преобразовать выражение $(-0,7c-10d)^2$ в многочлен, вынесем знак минус за скобки.
$(-0,7c-10d)^2 = (-(0,7c+10d))^2 = (0,7c+10d)^2$.
Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=0,7c$ и $b=10d$.
$(0,7c+10d)^2 = (0,7c)^2 + 2 \cdot (0,7c) \cdot (10d) + (10d)^2 = 0,49c^2 + 14cd + 100d^2$.
Ответ: $0,49c^2 + 14cd + 100d^2$.

6) Чтобы преобразовать выражение $(-4a^2 + \frac{1}{8}ab)^2$ в многочлен, поменяем слагаемые местами и применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(-4a^2 + \frac{1}{8}ab)^2 = (\frac{1}{8}ab - 4a^2)^2$.
Здесь $a=\frac{1}{8}ab$ и $b=4a^2$.
$(\frac{1}{8}ab - 4a^2)^2 = (\frac{1}{8}ab)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{8}ab) \cdot (4a^2) + (4a^2)^2$.
Вычислим каждый член по отдельности:
Первый член: $(\frac{1}{8}ab)^2 = \frac{1}{64}a^2b^2$.
Второй член: $-2 \cdot (\frac{1}{8}ab) \cdot (4a^2) = -\frac{8}{8}a^{1+2}b = -a^3b$.
Третий член: $(4a^2)^2 = 16a^4$.
Соберем все вместе и запишем в стандартном виде (в порядке убывания степени переменной $a$): $16a^4 - a^3b + \frac{1}{64}a^2b^2$.
Ответ: $16a^4 - a^3b + \frac{1}{64}a^2b^2$.

706. Выполните возведение в квадрат:

1) $(-3m+7n)^2$;

2) $(-0.4x-1.5y)^2$;

3) $(-x^2-y)^2$;

4) $(-a^2b^2+c^{10})^2$.

1) Для возведения в квадрат выражения $(-3m + 7n)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В данном случае, можно представить выражение как $(7n - 3m)^2$ и использовать формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = 7n$ и $b = 3m$.

$(7n - 3m)^2 = (7n)^2 - 2 \cdot (7n) \cdot (3m) + (3m)^2$

Теперь вычислим каждый член выражения:

$(7n)^2 = 49n^2$

$2 \cdot (7n) \cdot (3m) = 42mn$

$(3m)^2 = 9m^2$

Подставим полученные значения в формулу:

$49n^2 - 42mn + 9m^2$

Для стандартного вида запишем в порядке убывания степеней переменной $m$:

$9m^2 - 42mn + 49n^2$

Ответ: $9m^2 - 42mn + 49n^2$.

2) Для выражения $(-0,4x - 1,5y)^2$ можно вынести минус за скобки. Так как $(-a)^2 = a^2$, то $(-0,4x - 1,5y)^2 = (0,4x + 1,5y)^2$.

Теперь применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = 0,4x$ и $b = 1,5y$.

$(0,4x + 1,5y)^2 = (0,4x)^2 + 2 \cdot (0,4x) \cdot (1,5y) + (1,5y)^2$

Вычислим каждый член:

$(0,4x)^2 = 0,4^2 \cdot x^2 = 0,16x^2$

$2 \cdot (0,4x) \cdot (1,5y) = (2 \cdot 0,4 \cdot 1,5)xy = 1,2xy$

$(1,5y)^2 = 1,5^2 \cdot y^2 = 2,25y^2$

Соберем все вместе:

$0,16x^2 + 1,2xy + 2,25y^2$

Ответ: $0,16x^2 + 1,2xy + 2,25y^2$.

3) Выражение $(-x^2 - y)^2$ аналогично предыдущему можно упростить: $(-x^2 - y)^2 = (x^2 + y)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a = x^2$ и $b = y$.

$(x^2 + y)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot (x^2) \cdot y + y^2$

Упростим, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(x^2)^2 = x^{2 \cdot 2} = x^4$

В результате получаем:

$x^4 + 2x^2y + y^2$

Ответ: $x^4 + 2x^2y + y^2$.

4) В выражении $(-a^2b^2 + c^{10})^2$ поменяем слагаемые местами для удобства: $(c^{10} - a^2b^2)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, где $a = c^{10}$ и $b = a^2b^2$.

$(c^{10} - a^2b^2)^2 = (c^{10})^2 - 2 \cdot c^{10} \cdot (a^2b^2) + (a^2b^2)^2$

Вычислим каждый член, используя свойства степеней:

$(c^{10})^2 = c^{10 \cdot 2} = c^{20}$

$-2 \cdot c^{10} \cdot (a^2b^2) = -2a^2b^2c^{10}$

$(a^2b^2)^2 = (a^2)^2(b^2)^2 = a^{2 \cdot 2}b^{2 \cdot 2} = a^4b^4$

Соберем все члены вместе и запишем в алфавитном порядке:

$a^4b^4 - 2a^2b^2c^{10} + c^{20}$

Ответ: $a^4b^4 - 2a^2b^2c^{10} + c^{20}$.

707. Выполните возведение в квадрат:

1) $(10a^2 - 7ab^2)^2;$

2) $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2;$

3) $\left(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2\right)^2;$

4) $\left(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x\right)^2.$

1) Для возведения в квадрат выражения $(10a^2 - 7ab^2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 10a^2$ и $y = 7ab^2$.

Подставим значения в формулу:

$(10a^2 - 7ab^2)^2 = (10a^2)^2 - 2 \cdot (10a^2) \cdot (7ab^2) + (7ab^2)^2$

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(10a^2)^2 = 10^2 \cdot (a^2)^2 = 100a^4$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 10a^2 \cdot 7ab^2 = 140a^{2+1}b^2 = 140a^3b^2$.

Квадрат второго члена: $(7ab^2)^2 = 7^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 49a^2b^4$.

Соединим все части:

$100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.

Ответ: $100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.

2) Для возведения в квадрат выражения $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = 0,8b^3$ и $y = 0,2b^2c^4$.

Подставим значения в формулу:

$(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2 = (0,8b^3)^2 + 2 \cdot (0,8b^3) \cdot (0,2b^2c^4) + (0,2b^2c^4)^2$

Вычислим каждый член:

$(0,8b^3)^2 = 0,8^2 \cdot (b^3)^2 = 0,64b^6$.

$2 \cdot 0,8b^3 \cdot 0,2b^2c^4 = 0,32b^{3+2}c^4 = 0,32b^5c^4$.

$(0,2b^2c^4)^2 = 0,2^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 0,04b^4c^8$.

Соединим все части:

$0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.

Ответ: $0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.

3) Для возведения в квадрат выражения $(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Таким образом, выражение становится $(\frac{4}{3}a^2b + \frac{9}{4}ab^2)^2$.

В нашем случае $x = \frac{4}{3}a^2b$ и $y = \frac{9}{4}ab^2$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{4}{3}a^2b + \frac{9}{4}ab^2)^2 = (\frac{4}{3}a^2b)^2 + 2 \cdot (\frac{4}{3}a^2b) \cdot (\frac{9}{4}ab^2) + (\frac{9}{4}ab^2)^2$

Вычислим каждый член:

$(\frac{4}{3}a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^4b^2 = 1\frac{7}{9}a^4b^2$.

$2 \cdot \frac{4}{3}a^2b \cdot \frac{9}{4}ab^2 = 2 \cdot \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} a^{2+1}b^{1+2} = 2 \cdot 3 a^3b^3 = 6a^3b^3$.

$(\frac{9}{4}ab^2)^2 = \frac{81}{16}a^2b^4 = 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

Результат:

$1\frac{7}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

Ответ: $1\frac{7}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

4) Для возведения в квадрат выражения $(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы используем $a$ и $b$ для формулы, чтобы не путать с переменными $x$ и $y$ из выражения.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выражение принимает вид: $(\frac{7}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}xy^8)^2$.

Здесь $a = \frac{7}{3}x^3y^2$ и $b = \frac{9}{14}xy^8$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{7}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}xy^8)^2 = (\frac{7}{3}x^3y^2)^2 - 2 \cdot (\frac{7}{3}x^3y^2) \cdot (\frac{9}{14}xy^8) + (\frac{9}{14}xy^8)^2$

Вычислим каждый член:

$(\frac{7}{3}x^3y^2)^2 = \frac{49}{9}x^6y^4 = 5\frac{4}{9}x^6y^4$.

$2 \cdot \frac{7}{3}x^3y^2 \cdot \frac{9}{14}xy^8 = 2 \cdot \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} x^{3+1}y^{2+8} = 2 \cdot \frac{3}{2} x^4y^{10} = 3x^4y^{10}$.

$(\frac{9}{14}xy^8)^2 = \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

Результат:

$5\frac{4}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

Ответ: $5\frac{4}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

708. Преобразуйте в многочлен выражение:

1) $6(1-2c)^2$;

2) $-12\left(x+\frac{1}{3}y\right)^2$;

3) $a(a-6b)^2$;

4) $5b(b^2+7b)^2$;

5) $(a+3)(a-4)^2$;

6) $(2x+4)^2(x-8)$;

7) $(a-5)^2(a+5)^2$;

8) $(3x+4y)^2(3x-4y)^2$.

1) $6(1-2c)^2$
Для преобразования данного выражения в многочлен, сначала воспользуемся формулой сокращенного умножения для квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
Применим ее к выражению в скобках: $(1-2c)^2 = 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2c + (2c)^2 = 1 - 4c + 4c^2$.
Теперь умножим полученный трехчлен на множитель 6, стоящий перед скобкой:
$6(1 - 4c + 4c^2) = 6 \cdot 1 - 6 \cdot 4c + 6 \cdot 4c^2 = 6 - 24c + 24c^2$.
Запишем итоговый многочлен в стандартном виде (по убыванию степеней переменной c): $24c^2 - 24c + 6$.
Ответ: $24c^2 - 24c + 6$.

2) $-12(x+\frac{1}{3}y)^2$
Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
$(x+\frac{1}{3}y)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{3}y + (\frac{1}{3}y)^2 = x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2$.
Затем умножим каждый член полученного многочлена на -12:
$-12(x^2 + \frac{2}{3}xy + \frac{1}{9}y^2) = -12 \cdot x^2 - 12 \cdot \frac{2}{3}xy - 12 \cdot \frac{1}{9}y^2$.
Выполним умножение коэффициентов:
$-12x^2 - \frac{12 \cdot 2}{3}xy - \frac{12}{9}y^2 = -12x^2 - 4 \cdot 2xy - \frac{4}{3}y^2 = -12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.
Ответ: $-12x^2 - 8xy - \frac{4}{3}y^2$.

3) $a(a-6b)^2$
Первым шагом раскроем квадрат разности $(a-6b)^2$ по формуле $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
$(a-6b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 6b + (6b)^2 = a^2 - 12ab + 36b^2$.
Теперь умножим полученный многочлен на одночлен $a$:
$a(a^2 - 12ab + 36b^2) = a \cdot a^2 - a \cdot 12ab + a \cdot 36b^2 = a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.
Ответ: $a^3 - 12a^2b + 36ab^2$.

4) $5b(b^2+7b)^2$
Сначала раскроем квадрат суммы $(b^2+7b)^2$ по формуле $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.
$(b^2+7b)^2 = (b^2)^2 + 2 \cdot b^2 \cdot 7b + (7b)^2 = b^4 + 14b^3 + 49b^2$.
Далее, умножим полученный многочлен на одночлен $5b$:
$5b(b^4 + 14b^3 + 49b^2) = 5b \cdot b^4 + 5b \cdot 14b^3 + 5b \cdot 49b^2 = 5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.
Ответ: $5b^5 + 70b^4 + 245b^3$.

5) $(a+3)(a-4)^2$
Первым делом возведем в квадрат двучлен $(a-4)$:
$(a-4)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 - 8a + 16$.
Теперь необходимо умножить двучлен $(a+3)$ на полученный трехчлен $(a^2 - 8a + 16)$. Сделаем это поэтапно:
$(a+3)(a^2 - 8a + 16) = a(a^2 - 8a + 16) + 3(a^2 - 8a + 16) = a^3 - 8a^2 + 16a + 3a^2 - 24a + 48$.
Приведем подобные слагаемые:
$a^3 + (-8a^2 + 3a^2) + (16a - 24a) + 48 = a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.
Ответ: $a^3 - 5a^2 - 8a + 48$.

6) $(2x+4)^2(x-8)$
Сначала возведем в квадрат двучлен $(2x+4)$:
$(2x+4)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 4 + 4^2 = 4x^2 + 16x + 16$.
Теперь умножим полученный трехчлен $(4x^2 + 16x + 16)$ на двучлен $(x-8)$:
$(4x^2 + 16x + 16)(x-8) = x(4x^2 + 16x + 16) - 8(4x^2 + 16x + 16) = 4x^3 + 16x^2 + 16x - 32x^2 - 128x - 128$.
Сгруппируем и приведем подобные члены:
$4x^3 + (16x^2 - 32x^2) + (16x - 128x) - 128 = 4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.
Ответ: $4x^3 - 16x^2 - 112x - 128$.

7) $(a-5)^2(a+5)^2$
Для решения этого примера удобно использовать свойство степеней $(xy)^n = x^n y^n$ в обратном порядке: $x^n y^n = (xy)^n$.
$(a-5)^2(a+5)^2 = ((a-5)(a+5))^2$.
Выражение в скобках представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое равно разности их квадратов: $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$.
$(a-5)(a+5) = a^2 - 5^2 = a^2 - 25$.
Осталось возвести полученный результат в квадрат, используя формулу квадрата разности:
$(a^2 - 25)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 - 50a^2 + 625$.
Ответ: $a^4 - 50a^2 + 625$.

8) $(3x+4y)^2(3x-4y)^2$
Этот пример решается аналогично предыдущему. Применим свойство $a^n b^n = (ab)^n$:
$(3x+4y)^2(3x-4y)^2 = ((3x+4y)(3x-4y))^2$.
Выражение в скобках преобразуем по формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:
$(3x+4y)(3x-4y) = (3x)^2 - (4y)^2 = 9x^2 - 16y^2$.
Теперь возведем полученный двучлен в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(9x^2 - 16y^2)^2 = (9x^2)^2 - 2 \cdot (9x^2) \cdot (16y^2) + (16y^2)^2 = 81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.
Ответ: $81x^4 - 288x^2y^2 + 256y^4$.

709. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(0.02p^3k + 20p^2k^4)^2$;

2) $(\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2$;

3) $-15(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2$;

4) $7x(x^3 - 2x)^2$;

5) $(5y - 2)^2 (2y + 1)$;

6) $(10p - k)^2 (10p + k)^2$.

1) Чтобы представить выражение $(0,02p^3k + 20p^2k^4)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 0,02p^3k$ и $b = 20p^2k^4$.

Находим каждый член многочлена:

$a^2 = (0,02p^3k)^2 = 0,02^2 \cdot (p^3)^2 \cdot k^2 = 0,0004p^6k^2$

$2ab = 2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) = 2 \cdot 0,02 \cdot 20 \cdot p^3 \cdot p^2 \cdot k \cdot k^4 = 0,8p^{3+2}k^{1+4} = 0,8p^5k^5$

$b^2 = (20p^2k^4)^2 = 20^2 \cdot (p^2)^2 \cdot (k^4)^2 = 400p^4k^8$

Складываем полученные члены:

$(0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$

Ответ: $0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$.

2) Чтобы представить выражение $(1\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2$ в виде многочлена, сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.

Теперь используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{7}{6}mn$ и $b = \frac{4}{21}m^2n^5$.

Находим каждый член многочлена:

$a^2 = (\frac{7}{6}mn)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2$

$2ab = 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 = \frac{2 \cdot 7 \cdot 4}{6 \cdot 21} m^{1+2}n^{1+5} = \frac{56}{126}m^3n^6 = \frac{4}{9}m^3n^6$ (сократив дробь на 14)

$b^2 = (\frac{4}{21}m^2n^5)^2 = \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Записываем результат:

$(\frac{7}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Ответ: $\frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$.

3) Для выражения $-15(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2$ сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2 = (\frac{1}{3}a)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b + (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2$

Теперь умножим полученный многочлен на $-15$:

$-15(\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2) = -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 - 15 \cdot (-\frac{2}{15}ab) - 15 \cdot \frac{1}{25}b^2$

$= -\frac{15}{9}a^2 + \frac{15 \cdot 2}{15}ab - \frac{15}{25}b^2 = -\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$

Ответ: $-\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$.

4) Для выражения $7x(x^3 - 2x)^2$ сначала раскроем скобки в квадрате по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^3 - 2x)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 2x + (2x)^2 = x^6 - 4x^4 + 4x^2$

Теперь умножим полученный многочлен на $7x$:

$7x(x^6 - 4x^4 + 4x^2) = 7x \cdot x^6 - 7x \cdot 4x^4 + 7x \cdot 4x^2 = 7x^7 - 28x^5 + 28x^3$

Ответ: $7x^7 - 28x^5 + 28x^3$.

5) В выражении $(5y - 2)^2(2y + 1)$ сначала раскроем квадрат разности:

$(5y - 2)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2^2 = 25y^2 - 20y + 4$

Теперь умножим полученный многочлен на $(2y + 1)$:

$(25y^2 - 20y + 4)(2y + 1) = 25y^2(2y+1) - 20y(2y+1) + 4(2y+1)$

$= (50y^3 + 25y^2) - (40y^2 + 20y) + (8y + 4)$

$= 50y^3 + 25y^2 - 40y^2 - 20y + 8y + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$= 50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$

Ответ: $50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$.

6) Для преобразования выражения $(10p - k)^2(10p + k)^2$ удобно использовать свойство степеней $a^n b^n = (ab)^n$.

$(10p - k)^2(10p + k)^2 = ((10p - k)(10p + k))^2$

Внутри скобок применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$((10p)^2 - k^2)^2 = (100p^2 - k^2)^2$

Теперь раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(100p^2 - k^2)^2 = (100p^2)^2 - 2 \cdot 100p^2 \cdot k^2 + (k^2)^2 = 10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$

Ответ: $10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$.

710. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(a+3)^2 - (a-9)(a+9)$, если $a = -2,5$;

2) $(5x-8)^2 - (4x-3)^2 + 26x$, если $x = -\frac{1}{3}$;

3) $(3y^2 + 4)^2 + (3y^2 - 4)^2 - 2(1-3y^2)(1+3y^2)$, если $y = \frac{1}{2}$.

1) Сначала упростим выражение $(a+3)^2 - (a-9)(a+9)$.
Для этого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для первого слагаемого и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для второго.
$(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
$(a-9)(a+9) = a^2 - 9^2 = a^2 - 81$.
Подставляем упрощенные части обратно в выражение:
$(a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 81) = a^2 + 6a + 9 - a^2 + 81$.
Приводим подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 6a + (9 + 81) = 6a + 90$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a = -2,5$:
$6 \cdot (-2,5) + 90 = -15 + 90 = 75$.
Ответ: 75.

2) Упростим выражение $(5x-8)^2 - (4x-3)^2 + 26x$.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок.
$(5x-8)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 8 + 8^2 = 25x^2 - 80x + 64$.
$(4x-3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$.
Подставляем в исходное выражение:
$(25x^2 - 80x + 64) - (16x^2 - 24x + 9) + 26x = 25x^2 - 80x + 64 - 16x^2 + 24x - 9 + 26x$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(25x^2 - 16x^2) + (-80x + 24x + 26x) + (64 - 9) = 9x^2 - 30x + 55$.
Теперь подставим значение $x = -\frac{1}{3}$:
$9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 55 = 9 \cdot \frac{1}{9} + \frac{30}{3} + 55 = 1 + 10 + 55 = 66$.
Ответ: 66.

3) Упростим выражение $(3y^2+4)^2 + (3y^2-4)^2 - 2(1-3y^2)(1+3y^2)$.
Рассмотрим выражение по частям.
Первая часть $(3y^2+4)^2 + (3y^2-4)^2$ упрощается с помощью формул квадрата суммы и разности. Также можно использовать тождество $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$:
$2 \cdot ((3y^2)^2 + 4^2) = 2(9y^4 + 16) = 18y^4 + 32$.
Вторая часть $-2(1-3y^2)(1+3y^2)$ упрощается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :
$-2(1^2 - (3y^2)^2) = -2(1 - 9y^4) = -2 + 18y^4$.
Теперь объединим упрощенные части:
$(18y^4 + 32) + (-2 + 18y^4) = 18y^4 + 32 - 2 + 18y^4 = 36y^4 + 30$.
Подставим значение $y = \frac{1}{2}$:
$36 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 30 = 36 \cdot \frac{1}{16} + 30 = \frac{36}{16} + 30 = \frac{9}{4} + 30 = 2,25 + 30 = 32,25$.
Ответ: 32,25.

711. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $2m(m-6)^2 - m^2(2m-15)$, если $m=-4;$

2) $(2x-5)^2 - 4(x+1)(x-7)$, если $x=-3,5.$

1) Сначала упростим выражение $2m(m-6)^2 - m^2(2m-15)$.

Для этого раскроем скобки. Выражение $(m-6)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(m-6)^2 = m^2 - 2 \cdot m \cdot 6 + 6^2 = m^2 - 12m + 36$

Теперь подставим это в исходное выражение:

$2m(m^2 - 12m + 36) - m^2(2m - 15)$

Далее раскроем оставшиеся скобки, умножая одночлены на многочлены:

$2m \cdot m^2 + 2m \cdot (-12m) + 2m \cdot 36 - m^2 \cdot 2m - m^2 \cdot (-15) = 2m^3 - 24m^2 + 72m - 2m^3 + 15m^2$

Приведем подобные слагаемые:

$(2m^3 - 2m^3) + (-24m^2 + 15m^2) + 72m = 0 - 9m^2 + 72m = -9m^2 + 72m$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $m = -4$:

$-9m^2 + 72m = -9(-4)^2 + 72(-4) = -9 \cdot 16 - 288 = -144 - 288 = -432$

Ответ: -432

2) Упростим выражение $(2x-5)^2 - 4(x+1)(x-7)$.

Сначала раскроем скобки. Для $(2x-5)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(2x-5)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 5 + 5^2 = 4x^2 - 20x + 25$

Далее раскроем произведение $(x+1)(x-7)$:

$(x+1)(x-7) = x \cdot x + x \cdot (-7) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-7) = x^2 - 7x + x - 7 = x^2 - 6x - 7$

Теперь подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(4x^2 - 20x + 25) - 4(x^2 - 6x - 7)$

Раскроем оставшиеся скобки:

$4x^2 - 20x + 25 - 4x^2 - 4(-6x) - 4(-7) = 4x^2 - 20x + 25 - 4x^2 + 24x + 28$

Приведем подобные слагаемые:

$(4x^2 - 4x^2) + (-20x + 24x) + (25 + 28) = 0 + 4x + 53 = 4x + 53$

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $x = -3,5$:

$4x + 53 = 4(-3,5) + 53 = -14 + 53 = 39$

Ответ: 39

712. При каком значении переменной значение квадрата двучлена $x + 12$ на 225 больше значения квадрата двучлена $x - 13$?

Пусть $x$ — искомое значение переменной. Согласно условию задачи, значение выражения $(x + 12)^2$ должно быть на 225 больше, чем значение выражения $(x - 13)^2$. Составим уравнение на основе этого условия:

$(x + 12)^2 = (x - 13)^2 + 225$

Для решения этого уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для левой части уравнения:

$(x + 12)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 + 24x + 144$

Для правой части уравнения:

$(x - 13)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 13 + 13^2 = x^2 - 26x + 169$

Подставим раскрытые выражения обратно в исходное уравнение:

$x^2 + 24x + 144 = (x^2 - 26x + 169) + 225$

Упростим правую часть, сложив числовые значения:

$x^2 + 24x + 144 = x^2 - 26x + 394$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а все постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$x^2 - x^2 + 24x + 26x = 394 - 144$

Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ в левой части взаимно уничтожаются. Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$50x = 250$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 50:

$x = \frac{250}{50}$

$x = 5$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x=5$ в исходное условие.

Значение квадрата двучлена $x+12$: $(5+12)^2 = 17^2 = 289$.

Значение квадрата двучлена $x-13$: $(5-13)^2 = (-8)^2 = 64$.

Найдем разность полученных значений: $289 - 64 = 225$.

Разность равна 225, что полностью соответствует условию задачи. Следовательно, значение переменной найдено верно.

Ответ: 5.

713. Решите уравнение:

1) $ (x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2; $

2) $ (3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1); $

3) $ 5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22. $

1) $(x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2(x - 6)^2 - x^2 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - x^2 = 2(x^2 - 12x + 36) - x^2 = 2x^2 - 24x + 72 - x^2 = x^2 - 24x + 72$

Теперь приравняем левую и правую части:

$x^2 - 144 = x^2 - 24x + 72$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 + 24x = 72 + 144$

$24x = 216$

Найдем $x$:

$x = \frac{216}{24}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

2) $(3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1)$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами квадрата суммы/разности и разности квадратов.

Раскроем скобки в левой части:

$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$

$(4x + 2)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 2 + 2^2 = 16x^2 + 16x + 4$

Сложим полученные выражения:

$(9x^2 - 6x + 1) + (16x^2 + 16x + 4) = 25x^2 + 10x + 5$

Раскроем скобки в правой части по формуле разности квадратов:

$(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$

Приравняем левую и правую части:

$25x^2 + 10x + 5 = 25x^2 - 1$

Члены $25x^2$ взаимно уничтожаются:

$10x + 5 = -1$

$10x = -1 - 5$

$10x = -6$

$x = \frac{-6}{10} = -0.6$

Ответ: $-0.6$.

3) $5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22$

Раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Первый член: $5(x + 2)^2 = 5(x^2 + 4x + 4) = 5x^2 + 20x + 20$

Второй член: $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$

Третий член: $-9(x + 3)(x - 3) = -9(x^2 - 3^2) = -9(x^2 - 9) = -9x^2 + 81$

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(5x^2 + 20x + 20) + (4x^2 - 4x + 1) + (-9x^2 + 81) = 22$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 + 4x^2 - 9x^2) + (20x - 4x) + (20 + 1 + 81) = 22$

$0 \cdot x^2 + 16x + 102 = 22$

$16x + 102 = 22$

Решим полученное линейное уравнение:

$16x = 22 - 102$

$16x = -80$

$x = \frac{-80}{16}$

$x = -5$

Ответ: $-5$.

714. Решите уравнение:

1) $(3x+2)^2 + (4x-1)(4x+1) = (5x-1)^2;$

2) $2(m+1)^2 + 3(m-1)^2 - 5(m+1)(m-1) = -4.$

1) $(3x+2)^2+(4x-1)(4x+1)=(5x-1)^2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: квадратом суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ и разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(9x^2+2 \cdot 3x \cdot 2+4) + (16x^2-1) = (25x^2-2 \cdot 5x \cdot 1+1)$

$9x^2+12x+4 + 16x^2-1 = 25x^2-10x+1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(9x^2+16x^2) + 12x + (4-1) = 25x^2-10x+1$

$25x^2+12x+3 = 25x^2-10x+1$

Теперь перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а постоянные члены - в правую. Члены $25x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются.

$12x+10x = 1-3$

Упростим обе части:

$22x = -2$

Найдем $x$, разделив обе части на 22:

$x = \frac{-2}{22}$

$x = -\frac{1}{11}$

Ответ: $-\frac{1}{11}$.

2) $2(m+1)^2+3(m-1)^2-5(m+1)(m-1)=-4$

Для решения также используем формулы сокращенного умножения.

Раскроем скобки в левой части уравнения, применяя формулы:

$2(m^2+2m+1)+3(m^2-2m+1)-5(m^2-1) = -4$

Теперь раскроем скобки, умножая на коэффициенты:

$(2m^2+4m+2)+(3m^2-6m+3)-(5m^2-5) = -4$

$2m^2+4m+2+3m^2-6m+3-5m^2+5 = -4$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(2m^2+3m^2-5m^2) + (4m-6m) + (2+3+5) = -4$

$0 \cdot m^2 -2m + 10 = -4$

$-2m+10 = -4$

Перенесем 10 в правую часть с противоположным знаком:

$-2m = -4-10$

$-2m = -14$

Найдем $m$, разделив обе части на -2:

$m = \frac{-14}{-2}$

$m = 7$

Ответ: $7$.