Номер 709, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 709, страница 123.

Условие.

709. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(0.02p^3k + 20p^2k^4)^2$;

2) $(\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2$;

3) $-15(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2$;

4) $7x(x^3 - 2x)^2$;

5) $(5y - 2)^2 (2y + 1)$;

6) $(10p - k)^2 (10p + k)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы представить выражение $(0,02p^3k + 20p^2k^4)^2$ в виде многочлена, воспользуемся формулой квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В данном случае $a = 0,02p^3k$ и $b = 20p^2k^4$.

Находим каждый член многочлена:

$a^2 = (0,02p^3k)^2 = 0,02^2 \cdot (p^3)^2 \cdot k^2 = 0,0004p^6k^2$

$2ab = 2 \cdot (0,02p^3k) \cdot (20p^2k^4) = 2 \cdot 0,02 \cdot 20 \cdot p^3 \cdot p^2 \cdot k \cdot k^4 = 0,8p^{3+2}k^{1+4} = 0,8p^5k^5$

$b^2 = (20p^2k^4)^2 = 20^2 \cdot (p^2)^2 \cdot (k^4)^2 = 400p^4k^8$

Складываем полученные члены:

$(0,02p^3k + 20p^2k^4)^2 = 0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$

Ответ: $0,0004p^6k^2 + 0,8p^5k^5 + 400p^4k^8$.

2) Чтобы представить выражение $(1\frac{1}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2$ в виде многочлена, сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{1}{6} = \frac{7}{6}$.

Теперь используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Здесь $a = \frac{7}{6}mn$ и $b = \frac{4}{21}m^2n^5$.

Находим каждый член многочлена:

$a^2 = (\frac{7}{6}mn)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2$

$2ab = 2 \cdot \frac{7}{6}mn \cdot \frac{4}{21}m^2n^5 = \frac{2 \cdot 7 \cdot 4}{6 \cdot 21} m^{1+2}n^{1+5} = \frac{56}{126}m^3n^6 = \frac{4}{9}m^3n^6$ (сократив дробь на 14)

$b^2 = (\frac{4}{21}m^2n^5)^2 = \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Записываем результат:

$(\frac{7}{6}mn - \frac{4}{21}m^2n^5)^2 = \frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$

Ответ: $\frac{49}{36}m^2n^2 - \frac{4}{9}m^3n^6 + \frac{16}{441}m^4n^{10}$.

3) Для выражения $-15(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2$ сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(\frac{1}{3}a - \frac{1}{5}b)^2 = (\frac{1}{3}a)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}a \cdot \frac{1}{5}b + (\frac{1}{5}b)^2 = \frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2$

Теперь умножим полученный многочлен на $-15$:

$-15(\frac{1}{9}a^2 - \frac{2}{15}ab + \frac{1}{25}b^2) = -15 \cdot \frac{1}{9}a^2 - 15 \cdot (-\frac{2}{15}ab) - 15 \cdot \frac{1}{25}b^2$

$= -\frac{15}{9}a^2 + \frac{15 \cdot 2}{15}ab - \frac{15}{25}b^2 = -\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$

Ответ: $-\frac{5}{3}a^2 + 2ab - \frac{3}{5}b^2$.

4) Для выражения $7x(x^3 - 2x)^2$ сначала раскроем скобки в квадрате по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(x^3 - 2x)^2 = (x^3)^2 - 2 \cdot x^3 \cdot 2x + (2x)^2 = x^6 - 4x^4 + 4x^2$

Теперь умножим полученный многочлен на $7x$:

$7x(x^6 - 4x^4 + 4x^2) = 7x \cdot x^6 - 7x \cdot 4x^4 + 7x \cdot 4x^2 = 7x^7 - 28x^5 + 28x^3$

Ответ: $7x^7 - 28x^5 + 28x^3$.

5) В выражении $(5y - 2)^2(2y + 1)$ сначала раскроем квадрат разности:

$(5y - 2)^2 = (5y)^2 - 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2^2 = 25y^2 - 20y + 4$

Теперь умножим полученный многочлен на $(2y + 1)$:

$(25y^2 - 20y + 4)(2y + 1) = 25y^2(2y+1) - 20y(2y+1) + 4(2y+1)$

$= (50y^3 + 25y^2) - (40y^2 + 20y) + (8y + 4)$

$= 50y^3 + 25y^2 - 40y^2 - 20y + 8y + 4$

Приведем подобные слагаемые:

$= 50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$

Ответ: $50y^3 - 15y^2 - 12y + 4$.

6) Для преобразования выражения $(10p - k)^2(10p + k)^2$ удобно использовать свойство степеней $a^n b^n = (ab)^n$.

$(10p - k)^2(10p + k)^2 = ((10p - k)(10p + k))^2$

Внутри скобок применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$((10p)^2 - k^2)^2 = (100p^2 - k^2)^2$

Теперь раскроем квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(100p^2 - k^2)^2 = (100p^2)^2 - 2 \cdot 100p^2 \cdot k^2 + (k^2)^2 = 10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$

Ответ: $10000p^4 - 200p^2k^2 + k^4$.