Номер 710, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 710, страница 123.

Условие.

710. Упростите выражение и найдите его значение:

1) $(a+3)^2 - (a-9)(a+9)$, если $a = -2,5$;

2) $(5x-8)^2 - (4x-3)^2 + 26x$, если $x = -\frac{1}{3}$;

3) $(3y^2 + 4)^2 + (3y^2 - 4)^2 - 2(1-3y^2)(1+3y^2)$, если $y = \frac{1}{2}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Сначала упростим выражение $(a+3)^2 - (a-9)(a+9)$.
Для этого используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ для первого слагаемого и формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для второго.
$(a+3)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 3 + 3^2 = a^2 + 6a + 9$.
$(a-9)(a+9) = a^2 - 9^2 = a^2 - 81$.
Подставляем упрощенные части обратно в выражение:
$(a^2 + 6a + 9) - (a^2 - 81) = a^2 + 6a + 9 - a^2 + 81$.
Приводим подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + 6a + (9 + 81) = 6a + 90$.
Теперь найдем значение этого выражения при $a = -2,5$:
$6 \cdot (-2,5) + 90 = -15 + 90 = 75$.
Ответ: 75.

2) Упростим выражение $(5x-8)^2 - (4x-3)^2 + 26x$.
Используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок.
$(5x-8)^2 = (5x)^2 - 2 \cdot 5x \cdot 8 + 8^2 = 25x^2 - 80x + 64$.
$(4x-3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$.
Подставляем в исходное выражение:
$(25x^2 - 80x + 64) - (16x^2 - 24x + 9) + 26x = 25x^2 - 80x + 64 - 16x^2 + 24x - 9 + 26x$.
Группируем и приводим подобные слагаемые:
$(25x^2 - 16x^2) + (-80x + 24x + 26x) + (64 - 9) = 9x^2 - 30x + 55$.
Теперь подставим значение $x = -\frac{1}{3}$:
$9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 30 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 55 = 9 \cdot \frac{1}{9} + \frac{30}{3} + 55 = 1 + 10 + 55 = 66$.
Ответ: 66.

3) Упростим выражение $(3y^2+4)^2 + (3y^2-4)^2 - 2(1-3y^2)(1+3y^2)$.
Рассмотрим выражение по частям.
Первая часть $(3y^2+4)^2 + (3y^2-4)^2$ упрощается с помощью формул квадрата суммы и разности. Также можно использовать тождество $(a+b)^2+(a-b)^2 = 2(a^2+b^2)$:
$2 \cdot ((3y^2)^2 + 4^2) = 2(9y^4 + 16) = 18y^4 + 32$.
Вторая часть $-2(1-3y^2)(1+3y^2)$ упрощается с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ :
$-2(1^2 - (3y^2)^2) = -2(1 - 9y^4) = -2 + 18y^4$.
Теперь объединим упрощенные части:
$(18y^4 + 32) + (-2 + 18y^4) = 18y^4 + 32 - 2 + 18y^4 = 36y^4 + 30$.
Подставим значение $y = \frac{1}{2}$:
$36 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^4 + 30 = 36 \cdot \frac{1}{16} + 30 = \frac{36}{16} + 30 = \frac{9}{4} + 30 = 2,25 + 30 = 32,25$.
Ответ: 32,25.