Номер 712, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 712, страница 123.

Условие.

712. При каком значении переменной значение квадрата двучлена $x + 12$ на 225 больше значения квадрата двучлена $x - 13$?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $x$ — искомое значение переменной. Согласно условию задачи, значение выражения $(x + 12)^2$ должно быть на 225 больше, чем значение выражения $(x - 13)^2$. Составим уравнение на основе этого условия:

$(x + 12)^2 = (x - 13)^2 + 225$

Для решения этого уравнения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения: квадрат суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и квадрат разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Для левой части уравнения:

$(x + 12)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 + 24x + 144$

Для правой части уравнения:

$(x - 13)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 13 + 13^2 = x^2 - 26x + 169$

Подставим раскрытые выражения обратно в исходное уравнение:

$x^2 + 24x + 144 = (x^2 - 26x + 169) + 225$

Упростим правую часть, сложив числовые значения:

$x^2 + 24x + 144 = x^2 - 26x + 394$

Теперь перенесем все слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а все постоянные члены (числа) — в правую. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую его знак меняется на противоположный.

$x^2 - x^2 + 24x + 26x = 394 - 144$

Слагаемые $x^2$ и $-x^2$ в левой части взаимно уничтожаются. Приведем подобные слагаемые в обеих частях уравнения:

$50x = 250$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 50:

$x = \frac{250}{50}$

$x = 5$

Выполним проверку. Подставим найденное значение $x=5$ в исходное условие.

Значение квадрата двучлена $x+12$: $(5+12)^2 = 17^2 = 289$.

Значение квадрата двучлена $x-13$: $(5-13)^2 = (-8)^2 = 64$.

Найдем разность полученных значений: $289 - 64 = 225$.

Разность равна 225, что полностью соответствует условию задачи. Следовательно, значение переменной найдено верно.

Ответ: 5.