Номер 713, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 713, страница 123.

Условие.

713. Решите уравнение:

1) $ (x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2; $

2) $ (3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1); $

3) $ 5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22. $

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 12)(x + 12) = 2(x - 6)^2 - x^2$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами сокращенного умножения: разностью квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадратом разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$(x - 12)(x + 12) = x^2 - 12^2 = x^2 - 144$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$2(x - 6)^2 - x^2 = 2(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) - x^2 = 2(x^2 - 12x + 36) - x^2 = 2x^2 - 24x + 72 - x^2 = x^2 - 24x + 72$

Теперь приравняем левую и правую части:

$x^2 - 144 = x^2 - 24x + 72$

Перенесем члены с $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Члены $x^2$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - x^2 + 24x = 72 + 144$

$24x = 216$

Найдем $x$:

$x = \frac{216}{24}$

$x = 9$

Ответ: $9$.

2) $(3x - 1)^2 + (4x + 2)^2 = (5x - 1)(5x + 1)$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулами квадрата суммы/разности и разности квадратов.

Раскроем скобки в левой части:

$(3x - 1)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1$

$(4x + 2)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 2 + 2^2 = 16x^2 + 16x + 4$

Сложим полученные выражения:

$(9x^2 - 6x + 1) + (16x^2 + 16x + 4) = 25x^2 + 10x + 5$

Раскроем скобки в правой части по формуле разности квадратов:

$(5x - 1)(5x + 1) = (5x)^2 - 1^2 = 25x^2 - 1$

Приравняем левую и правую части:

$25x^2 + 10x + 5 = 25x^2 - 1$

Члены $25x^2$ взаимно уничтожаются:

$10x + 5 = -1$

$10x = -1 - 5$

$10x = -6$

$x = \frac{-6}{10} = -0.6$

Ответ: $-0.6$.

3) $5(x + 2)^2 + (2x - 1)^2 - 9(x + 3)(x - 3) = 22$

Раскроем все скобки, используя формулы сокращенного умножения.

Первый член: $5(x + 2)^2 = 5(x^2 + 4x + 4) = 5x^2 + 20x + 20$

Второй член: $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$

Третий член: $-9(x + 3)(x - 3) = -9(x^2 - 3^2) = -9(x^2 - 9) = -9x^2 + 81$

Подставим раскрытые выражения в исходное уравнение:

$(5x^2 + 20x + 20) + (4x^2 - 4x + 1) + (-9x^2 + 81) = 22$

Приведем подобные слагаемые:

$(5x^2 + 4x^2 - 9x^2) + (20x - 4x) + (20 + 1 + 81) = 22$

$0 \cdot x^2 + 16x + 102 = 22$

$16x + 102 = 22$

Решим полученное линейное уравнение:

$16x = 22 - 102$

$16x = -80$

$x = \frac{-80}{16}$

$x = -5$

Ответ: $-5$.