Номер 707, страница 123 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 707, страница 123.

Условие.

707. Выполните возведение в квадрат:

1) $(10a^2 - 7ab^2)^2;$

2) $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2;$

3) $\left(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2\right)^2;$

4) $\left(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x\right)^2.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для возведения в квадрат выражения $(10a^2 - 7ab^2)^2$ воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В данном случае $x = 10a^2$ и $y = 7ab^2$.

Подставим значения в формулу:

$(10a^2 - 7ab^2)^2 = (10a^2)^2 - 2 \cdot (10a^2) \cdot (7ab^2) + (7ab^2)^2$

Теперь вычислим каждый член по отдельности:

Квадрат первого члена: $(10a^2)^2 = 10^2 \cdot (a^2)^2 = 100a^4$.

Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 10a^2 \cdot 7ab^2 = 140a^{2+1}b^2 = 140a^3b^2$.

Квадрат второго члена: $(7ab^2)^2 = 7^2 \cdot a^2 \cdot (b^2)^2 = 49a^2b^4$.

Соединим все части:

$100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.

Ответ: $100a^4 - 140a^3b^2 + 49a^2b^4$.

2) Для возведения в квадрат выражения $(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2$ воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = 0,8b^3$ и $y = 0,2b^2c^4$.

Подставим значения в формулу:

$(0,8b^3 + 0,2b^2c^4)^2 = (0,8b^3)^2 + 2 \cdot (0,8b^3) \cdot (0,2b^2c^4) + (0,2b^2c^4)^2$

Вычислим каждый член:

$(0,8b^3)^2 = 0,8^2 \cdot (b^3)^2 = 0,64b^6$.

$2 \cdot 0,8b^3 \cdot 0,2b^2c^4 = 0,32b^{3+2}c^4 = 0,32b^5c^4$.

$(0,2b^2c^4)^2 = 0,2^2 \cdot (b^2)^2 \cdot (c^4)^2 = 0,04b^4c^8$.

Соединим все части:

$0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.

Ответ: $0,64b^6 + 0,32b^5c^4 + 0,04b^4c^8$.

3) Для возведения в квадрат выражения $(1\frac{1}{3}a^2b + 2\frac{1}{4}ab^2)^2$ используем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные:

$1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Таким образом, выражение становится $(\frac{4}{3}a^2b + \frac{9}{4}ab^2)^2$.

В нашем случае $x = \frac{4}{3}a^2b$ и $y = \frac{9}{4}ab^2$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{4}{3}a^2b + \frac{9}{4}ab^2)^2 = (\frac{4}{3}a^2b)^2 + 2 \cdot (\frac{4}{3}a^2b) \cdot (\frac{9}{4}ab^2) + (\frac{9}{4}ab^2)^2$

Вычислим каждый член:

$(\frac{4}{3}a^2b)^2 = \frac{16}{9}a^4b^2 = 1\frac{7}{9}a^4b^2$.

$2 \cdot \frac{4}{3}a^2b \cdot \frac{9}{4}ab^2 = 2 \cdot \frac{4 \cdot 9}{3 \cdot 4} a^{2+1}b^{1+2} = 2 \cdot 3 a^3b^3 = 6a^3b^3$.

$(\frac{9}{4}ab^2)^2 = \frac{81}{16}a^2b^4 = 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

Результат:

$1\frac{7}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

Ответ: $1\frac{7}{9}a^4b^2 + 6a^3b^3 + 5\frac{1}{16}a^2b^4$.

4) Для возведения в квадрат выражения $(2\frac{1}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}y^8x)^2$ используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Мы используем $a$ и $b$ для формулы, чтобы не путать с переменными $x$ и $y$ из выражения.

Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Выражение принимает вид: $(\frac{7}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}xy^8)^2$.

Здесь $a = \frac{7}{3}x^3y^2$ и $b = \frac{9}{14}xy^8$.

Подставляем в формулу:

$(\frac{7}{3}x^3y^2 - \frac{9}{14}xy^8)^2 = (\frac{7}{3}x^3y^2)^2 - 2 \cdot (\frac{7}{3}x^3y^2) \cdot (\frac{9}{14}xy^8) + (\frac{9}{14}xy^8)^2$

Вычислим каждый член:

$(\frac{7}{3}x^3y^2)^2 = \frac{49}{9}x^6y^4 = 5\frac{4}{9}x^6y^4$.

$2 \cdot \frac{7}{3}x^3y^2 \cdot \frac{9}{14}xy^8 = 2 \cdot \frac{7 \cdot 9}{3 \cdot 14} x^{3+1}y^{2+8} = 2 \cdot \frac{3}{2} x^4y^{10} = 3x^4y^{10}$.

$(\frac{9}{14}xy^8)^2 = \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

Результат:

$5\frac{4}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.

Ответ: $5\frac{4}{9}x^6y^4 - 3x^4y^{10} + \frac{81}{196}x^2y^{16}$.