Номер 700, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 700, страница 122.

Условие.

700. Решите уравнение:

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2;$

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3);$

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0;$

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2$
Для решения уравнения раскроем скобки. Выражение $(x-8)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - x(x + 6) = -2$
$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 + 6x) = -2$
Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.
$x^2 - 16x + 64 - x^2 - 6x = -2$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-16x - 6x) + 64 = -2$
$-22x + 64 = -2$
Перенесем 64 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$-22x = -2 - 64$
$-22x = -66$
Разделим обе части на -22, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-66}{-22}$
$x = 3$
Ответ: $3$.

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В правой части — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 3^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 - 9$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные — в правую.
$x^2 - x^2 + 14x = -9 - 49$
$14x = -58$
Найдем $x$, разделив обе части на 14.
$x = \frac{-58}{14}$
Сократим дробь на 2.
$x = -\frac{29}{7}$
Ответ: $-\frac{29}{7}$.

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы. Для второго — выполним умножение многочленов.
$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) - (2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3) = 0$
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 6x - 2x - 3) = 0$
Приведем подобные во вторых скобках.
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 4x - 3) = 0$
Раскроем скобки.
$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые.
$(4x^2 - 4x^2) + (4x - 4x) + (1 + 3) = 0$
$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 4 = 0$
$4 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.
Ответ: корней нет.

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения.
$(x^2 - 2x) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 35$
$(x^2 - 2x) - (x^2 + 10x + 25) = 35$
$x^2 - 2x - x^2 - 10x - 25 = 35$
Приведем подобные слагаемые.
$(x^2 - x^2) + (-2x - 10x) - 25 = 35$
$-12x - 25 = 35$
Перенесем -25 в правую часть с противоположным знаком.
$-12x = 35 + 25$
$-12x = 60$
Найдем $x$.
$x = \frac{60}{-12}$
$x = -5$
Ответ: $-5$.