Номер 694, страница 121 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 694, страница 121.

Условие.

694. Завершите возведение двучлена в квадрат:

1) $(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2 = \dots ;$

2) $\left(\frac{1}{2}a + 6b\right)^2 = \left(\frac{1}{2}a\right)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b + (6b)^2 = \dots ;$

3) $\left(\frac{1}{3}x^4 - 0.6y^5\right)^2 = \left(\frac{1}{3}x^4\right)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0.6y^5 + (0.6y^5)^2 = \dots .$

Решение 1.

Решение 5.

1) Исходное выражение: $(3x + 5y)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 5y + (5y)^2$.
Для завершения возведения в квадрат необходимо упростить каждый член выражения, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
- Квадрат первого члена: $(3x)^2 = 3^2 \cdot x^2 = 9x^2$.
- Удвоенное произведение первого и второго членов: $2 \cdot 3x \cdot 5y = (2 \cdot 3 \cdot 5)xy = 30xy$.
- Квадрат второго члена: $(5y)^2 = 5^2 \cdot y^2 = 25y^2$.
Соединив упрощенные члены, получаем: $9x^2 + 30xy + 25y^2$.
Ответ: $9x^2 + 30xy + 25y^2$.

2) Исходное выражение: $(\frac{1}{2}a + 6b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 + 2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b + (6b)^2$.
Упростим каждый член, следуя формуле квадрата суммы.
- Квадрат первого члена: $(\frac{1}{2}a)^2 = (\frac{1}{2})^2 \cdot a^2 = \frac{1}{4}a^2$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{1}{2}a \cdot 6b = (2 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6)ab = 6ab$.
- Квадрат второго члена: $(6b)^2 = 6^2 \cdot b^2 = 36b^2$.
Результат: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.
Ответ: $\frac{1}{4}a^2 + 6ab + 36b^2$.

3) Исходное выражение: $(\frac{1}{3}x^4 - 0,6y^5)^2 = (\frac{1}{3}x^4)^2 - 2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0,6y^5 + (0,6y^5)^2$.
Для завершения операции используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и упрощаем каждый член.
- Квадрат первого члена: $(\frac{1}{3}x^4)^2 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (x^4)^2 = \frac{1}{9}x^{4 \cdot 2} = \frac{1}{9}x^8$.
- Удвоенное произведение: $2 \cdot \frac{1}{3}x^4 \cdot 0,6y^5$. Для удобства вычисления коэффициента представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$. Тогда коэффициент равен $2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 1 \cdot 3}{3 \cdot 5} = \frac{2}{5} = 0,4$. Таким образом, второй член равен $0,4x^4y^5$.
- Квадрат второго члена: $(0,6y^5)^2 = (0,6)^2 \cdot (y^5)^2 = 0,36y^{5 \cdot 2} = 0,36y^{10}$.
Собираем все члены вместе: $\frac{1}{9}x^8 - 0,4x^4y^5 + 0,36y^{10}$.
Ответ: $\frac{1}{9}x^8 - 0,4x^4y^5 + 0,36y^{10}$.