Номер 699, страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 17. Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 699, страница 122.

Условие.

699. Упростите выражение:

1) $(x - 12)^2 + 24x$;

2) $(x + 8)^2 - x(x + 5)$;

3) $2x(x + 2) - (x - 2)^2$;

4) $(y + 7)^2 + (y + 2)(y - 7)$;

5) $(a + 1)(a - 1) - (a + 4)^2$;

6) $(x - 10)(9 - x) + (x + 10)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(x-12)^2 + 24x$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок $(x-12)^2$.

$(x-12)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 - 24x + 144$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^2 - 24x + 144) + 24x$

Приведем подобные слагаемые, сократив $-24x$ и $24x$:

$x^2 - 24x + 24x + 144 = x^2 + 144$

Ответ: $x^2 + 144$

2) $(x+8)^2 - x(x+5)$

Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и раскроем вторые скобки, умножив $-x$ на каждый член в скобках.

$(x+8)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$

$-x(x+5) = -x^2 - 5x$

Объединим полученные выражения:

$x^2 + 16x + 64 - x^2 - 5x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (16x - 5x) + 64 = 0 + 11x + 64 = 11x + 64$

Ответ: $11x + 64$

3) $2x(x+2) - (x-2)^2$

Раскроем первые скобки с помощью распределительного закона и вторые скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$2x(x+2) = 2x^2 + 4x$

$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

Подставим обратно в выражение, не забывая поменять знаки у членов второго многочлена из-за минуса перед скобкой:

$(2x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2) + (4x + 4x) - 4 = x^2 + 8x - 4$

Ответ: $x^2 + 8x - 4$

4) $(y+7)^2 + (y+2)(y-7)$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и перемножим две скобки.

$(y+7)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 + 14y + 49$

$(y+2)(y-7) = y \cdot y - 7y + 2y - 2 \cdot 7 = y^2 - 5y - 14$

Сложим полученные многочлены:

$(y^2 + 14y + 49) + (y^2 - 5y - 14)$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + y^2) + (14y - 5y) + (49 - 14) = 2y^2 + 9y + 35$

Ответ: $2y^2 + 9y + 35$

5) $(a+1)(a-1) - (a+4)^2$

Первое произведение является разностью квадратов и раскрывается по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Вторую скобку раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

$(a+4)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$

Подставим в исходное выражение:

$(a^2 - 1) - (a^2 + 8a + 16) = a^2 - 1 - a^2 - 8a - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) - 8a + (-1 - 16) = -8a - 17$

Ответ: $-8a - 17$

6) $(x-10)(9-x) + (x+10)^2$

Раскроем первые скобки, перемножив их члены, и вторые скобки по формуле квадрата суммы.

$(x-10)(9-x) = x \cdot 9 - x \cdot x - 10 \cdot 9 - 10 \cdot (-x) = 9x - x^2 - 90 + 10x = -x^2 + 19x - 90$

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$

Теперь сложим полученные выражения:

$(-x^2 + 19x - 90) + (x^2 + 20x + 100)$

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^2 + x^2) + (19x + 20x) + (-90 + 100) = 39x + 10$

Ответ: $39x + 10$