Страница 122 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

696. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(3a - 2)^2;$

2) $(7b + 6)^2;$

3) $(8x + 4y)^2;$

4) $(0,4m - 0,5n)^2;$

5) $(3a + \frac{1}{3}b)^2;$

6) $(b^2 - 11)^2;$

7) $(a^2 + 4b)^2;$

8) $(x^2 + y^3)^2;$

9) $(a^3 - 4b)^2;$

10) $(a^2 + a)^2;$

11) $(3b^2 - 2b^5)^2;$

12) $(1\frac{1}{7}ab - \frac{7}{8}c)^2.$

Для решения данных задач используются формулы сокращенного умножения:
Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) Используем формулу квадрата разности:
$(3a - 2)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot 2 + 2^2 = 9a^2 - 12a + 4$.
Ответ: $9a^2 - 12a + 4$.

2) Используем формулу квадрата суммы:
$(7b + 6)^2 = (7b)^2 + 2 \cdot 7b \cdot 6 + 6^2 = 49b^2 + 84b + 36$.
Ответ: $49b^2 + 84b + 36$.

3) Используем формулу квадрата суммы:
$(8x + 4y)^2 = (8x)^2 + 2 \cdot 8x \cdot 4y + (4y)^2 = 64x^2 + 64xy + 16y^2$.
Ответ: $64x^2 + 64xy + 16y^2$.

4) Используем формулу квадрата разности:
$(0,4m - 0,5n)^2 = (0,4m)^2 - 2 \cdot 0,4m \cdot 0,5n + (0,5n)^2 = 0,16m^2 - 0,4mn + 0,25n^2$.
Ответ: $0,16m^2 - 0,4mn + 0,25n^2$.

5) Используем формулу квадрата суммы:
$(3a + \frac{1}{3}b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot \frac{1}{3}b + (\frac{1}{3}b)^2 = 9a^2 + 2ab + \frac{1}{9}b^2$.
Ответ: $9a^2 + 2ab + \frac{1}{9}b^2$.

6) Используем формулу квадрата разности:
$(b^2 - 11)^2 = (b^2)^2 - 2 \cdot b^2 \cdot 11 + 11^2 = b^4 - 22b^2 + 121$.
Ответ: $b^4 - 22b^2 + 121$.

7) Используем формулу квадрата суммы:
$(a^2 + 4b)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 4b + (4b)^2 = a^4 + 8a^2b + 16b^2$.
Ответ: $a^4 + 8a^2b + 16b^2$.

8) Используем формулу квадрата суммы:
$(x^2 + y^3)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot y^3 + (y^3)^2 = x^4 + 2x^2y^3 + y^6$.
Ответ: $x^4 + 2x^2y^3 + y^6$.

9) Используем формулу квадрата разности:
$(a^3 - 4b)^2 = (a^3)^2 - 2 \cdot a^3 \cdot 4b + (4b)^2 = a^6 - 8a^3b + 16b^2$.
Ответ: $a^6 - 8a^3b + 16b^2$.

10) Используем формулу квадрата суммы:
$(a^2 + a)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot a + a^2 = a^4 + 2a^3 + a^2$.
Ответ: $a^4 + 2a^3 + a^2$.

11) Используем формулу квадрата разности:
$(3b^2 - 2b^5)^2 = (3b^2)^2 - 2 \cdot 3b^2 \cdot 2b^5 + (2b^5)^2 = 9b^4 - 12b^7 + 4b^{10}$.
Ответ: $9b^4 - 12b^7 + 4b^{10}$.

12) Используем формулу квадрата разности:
$(\frac{1}{7}ab - \frac{7}{8}c)^2 = (\frac{1}{7}ab)^2 - 2 \cdot \frac{1}{7}ab \cdot \frac{7}{8}c + (\frac{7}{8}c)^2 = \frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{14}{56}abc + \frac{49}{64}c^2 = \frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{1}{4}abc + \frac{49}{64}c^2$.
Ответ: $\frac{1}{49}a^2b^2 - \frac{1}{4}abc + \frac{49}{64}c^2$.

697. Выполните возведение в квадрат:

1) $(2m + 1)^2$;

2) $(4x - 3)^2$;

3) $(10c + 7d)^2$;

4) $(4x - \frac{1}{8}y)^2$;

5) $(0,3a + 0,9b)^2$;

6) $(c^2 - 6)^2$;

7) $(m^2 - 3n)^2$;

8) $(m^4 - n^3)^2$;

9) $(5a^4 - 2a^7)^2$.

Для решения данного задания используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) Для возведения в квадрат выражения $(2m + 1)^2$ используется формула квадрата суммы. В данном случае $a = 2m$ и $b = 1$.

$(2m + 1)^2 = (2m)^2 + 2 \cdot 2m \cdot 1 + 1^2 = 4m^2 + 4m + 1$.

Ответ: $4m^2 + 4m + 1$.

2) Для выражения $(4x - 3)^2$ применяется формула квадрата разности. Здесь $a = 4x$ и $b = 3$.

$(4x - 3)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 3 + 3^2 = 16x^2 - 24x + 9$.

Ответ: $16x^2 - 24x + 9$.

3) Выражение $(10c + 7d)^2$ является квадратом суммы. Используем формулу, где $a = 10c$ и $b = 7d$.

$(10c + 7d)^2 = (10c)^2 + 2 \cdot 10c \cdot 7d + (7d)^2 = 100c^2 + 140cd + 49d^2$.

Ответ: $100c^2 + 140cd + 49d^2$.

4) Для выражения $(4x - \frac{1}{8}y)^2$ используется формула квадрата разности. В этом случае $a = 4x$ и $b = \frac{1}{8}y$.

$(4x - \frac{1}{8}y)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot \frac{1}{8}y + (\frac{1}{8}y)^2 = 16x^2 - \frac{8}{8}xy + \frac{1}{64}y^2 = 16x^2 - xy + \frac{1}{64}y^2$.

Ответ: $16x^2 - xy + \frac{1}{64}y^2$.

5) Возводим в квадрат $(0,3a + 0,9b)^2$ по формуле квадрата суммы. Здесь $a = 0,3a$ и $b = 0,9b$.

$(0,3a + 0,9b)^2 = (0,3a)^2 + 2 \cdot 0,3a \cdot 0,9b + (0,9b)^2 = 0,09a^2 + 0,54ab + 0,81b^2$.

Ответ: $0,09a^2 + 0,54ab + 0,81b^2$.

6) Для возведения в квадрат $(c^2 - 6)^2$ применим формулу квадрата разности. В данном случае $a = c^2$ и $b = 6$.

$(c^2 - 6)^2 = (c^2)^2 - 2 \cdot c^2 \cdot 6 + 6^2 = c^4 - 12c^2 + 36$.

Ответ: $c^4 - 12c^2 + 36$.

7) Выражение $(m^2 - 3n)^2$ является квадратом разности. Используем формулу, где $a = m^2$ и $b = 3n$.

$(m^2 - 3n)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 3n + (3n)^2 = m^4 - 6m^2n + 9n^2$.

Ответ: $m^4 - 6m^2n + 9n^2$.

8) Возводим в квадрат $(m^4 - n^3)^2$ по формуле квадрата разности. Здесь $a = m^4$ и $b = n^3$.

$(m^4 - n^3)^2 = (m^4)^2 - 2 \cdot m^4 \cdot n^3 + (n^3)^2 = m^8 - 2m^4n^3 + n^6$.

Ответ: $m^8 - 2m^4n^3 + n^6$.

9) Для выражения $(5a^4 - 2a^7)^2$ применяем формулу квадрата разности. В этом случае $a = 5a^4$ и $b = 2a^7$.

$(5a^4 - 2a^7)^2 = (5a^4)^2 - 2 \cdot 5a^4 \cdot 2a^7 + (2a^7)^2 = 25(a^4)^2 - 20a^4a^7 + 4(a^7)^2 = 25a^8 - 20a^{11} + 4a^{14}$.

Ответ: $25a^8 - 20a^{11} + 4a^{14}$.

698. Упростите выражение:

1) $a^2 + (3a - b)^2;$

2) $(4x + 5)^2 - 40x;$

3) $50a^2 - (7a - 1)^2;$

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2;$

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10);$

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2;$

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6);$

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2;$

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2;$

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7).$

1) $a^2 + (3a - b)^2$

Для упрощения выражения сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(3a - b)^2 = (3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2 - 6ab + b^2$

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

$a^2 + (9a^2 - 6ab + b^2) = a^2 + 9a^2 - 6ab + b^2$

Приведем подобные слагаемые, сложив коэффициенты при $a^2$:

$ (1+9)a^2 - 6ab + b^2 = 10a^2 - 6ab + b^2$

Ответ: $10a^2 - 6ab + b^2$

2) $(4x + 5)^2 - 40x$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(4x + 5)^2 = (4x)^2 + 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 16x^2 + 40x + 25$

Подставим это в исходное выражение:

$(16x^2 + 40x + 25) - 40x$

Приведем подобные слагаемые:

$16x^2 + (40x - 40x) + 25 = 16x^2 + 25$

Ответ: $16x^2 + 25$

3) $50a^2 - (7a - 1)^2$

Раскроем скобки по формуле квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(7a - 1)^2 = (7a)^2 - 2 \cdot 7a \cdot 1 + 1^2 = 49a^2 - 14a + 1$

Подставим в исходное выражение. Так как перед скобкой стоит знак минус, все знаки внутри скобки меняются на противоположные:

$50a^2 - (49a^2 - 14a + 1) = 50a^2 - 49a^2 + 14a - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(50-49)a^2 + 14a - 1 = a^2 + 14a - 1$

Ответ: $a^2 + 14a - 1$

4) $c^2 + 36 - (c - 6)^2$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

$(c - 6)^2 = c^2 - 2 \cdot c \cdot 6 + 6^2 = c^2 - 12c + 36$

Подставим в исходное выражение и раскроем скобки с учетом знака минус:

$c^2 + 36 - (c^2 - 12c + 36) = c^2 + 36 - c^2 + 12c - 36$

Приведем подобные слагаемые:

$(c^2 - c^2) + 12c + (36 - 36) = 0 + 12c + 0 = 12c$

Ответ: $12c$

5) $(x - 2)^2 + x(x + 10)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности и вторую, умножив $x$ на каждый член в скобке:

$(x - 2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

$x(x + 10) = x \cdot x + x \cdot 10 = x^2 + 10x$

Сложим полученные выражения:

$(x^2 - 4x + 4) + (x^2 + 10x) = x^2 - 4x + 4 + x^2 + 10x$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 + x^2) + (-4x + 10x) + 4 = 2x^2 + 6x + 4$

Ответ: $2x^2 + 6x + 4$

6) $3m(m - 4) - (m + 2)^2$

Раскроем скобки. Первую — умножением, вторую — по формуле квадрата суммы:

$3m(m - 4) = 3m^2 - 12m$

$(m + 2)^2 = m^2 + 2 \cdot m \cdot 2 + 2^2 = m^2 + 4m + 4$

Подставим в исходное выражение:

$(3m^2 - 12m) - (m^2 + 4m + 4) = 3m^2 - 12m - m^2 - 4m - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(3m^2 - m^2) + (-12m - 4m) - 4 = 2m^2 - 16m - 4$

Ответ: $2m^2 - 16m - 4$

7) $(y - 9)^2 + (4 - y)(y + 6)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности, а вторые две перемножим:

$(y - 9)^2 = y^2 - 2 \cdot y \cdot 9 + 9^2 = y^2 - 18y + 81$

$(4 - y)(y + 6) = 4y + 24 - y^2 - 6y = -y^2 - 2y + 24$

Сложим полученные выражения:

$(y^2 - 18y + 81) + (-y^2 - 2y + 24) = y^2 - 18y + 81 - y^2 - 2y + 24$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 - y^2) + (-18y - 2y) + (81 + 24) = -20y + 105$

Ответ: $105 - 20y$

8) $(x - 4)(x + 4) - (x - 1)^2$

Первое произведение раскроем по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. Вторую скобку — по формуле квадрата разности.

$(x - 4)(x + 4) = x^2 - 4^2 = x^2 - 16$

$(x - 1)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2 = x^2 - 2x + 1$

Подставим в исходное выражение:

$(x^2 - 16) - (x^2 - 2x + 1) = x^2 - 16 - x^2 + 2x - 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + 2x + (-16 - 1) = 2x - 17$

Ответ: $2x - 17$

9) $(2a - 3b)^2 + (3a + 2b)^2$

Раскроем обе скобки, используя формулы квадрата разности и квадрата суммы:

$(2a - 3b)^2 = (2a)^2 - 2 \cdot 2a \cdot 3b + (3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2$

$(3a + 2b)^2 = (3a)^2 + 2 \cdot 3a \cdot 2b + (2b)^2 = 9a^2 + 12ab + 4b^2$

Сложим полученные выражения:

$(4a^2 - 12ab + 9b^2) + (9a^2 + 12ab + 4b^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$(4a^2 + 9a^2) + (-12ab + 12ab) + (9b^2 + 4b^2) = 13a^2 + 0 + 13b^2 = 13a^2 + 13b^2$

Ответ: $13a^2 + 13b^2$

10) $(x - 5)^2 - (x - 7)(x + 7)$

Раскроем первую скобку по формуле квадрата разности, а второе произведение — по формуле разности квадратов:

$(x - 5)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25$

$(x - 7)(x + 7) = x^2 - 7^2 = x^2 - 49$

Подставим в исходное выражение:

$(x^2 - 10x + 25) - (x^2 - 49) = x^2 - 10x + 25 - x^2 + 49$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 10x + (25 + 49) = -10x + 74$

Ответ: $74 - 10x$

699. Упростите выражение:

1) $(x - 12)^2 + 24x$;

2) $(x + 8)^2 - x(x + 5)$;

3) $2x(x + 2) - (x - 2)^2$;

4) $(y + 7)^2 + (y + 2)(y - 7)$;

5) $(a + 1)(a - 1) - (a + 4)^2$;

6) $(x - 10)(9 - x) + (x + 10)^2$.

1) $(x-12)^2 + 24x$

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ для раскрытия скобок $(x-12)^2$.

$(x-12)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 12 + 12^2 = x^2 - 24x + 144$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(x^2 - 24x + 144) + 24x$

Приведем подобные слагаемые, сократив $-24x$ и $24x$:

$x^2 - 24x + 24x + 144 = x^2 + 144$

Ответ: $x^2 + 144$

2) $(x+8)^2 - x(x+5)$

Сначала раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и раскроем вторые скобки, умножив $-x$ на каждый член в скобках.

$(x+8)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 = x^2 + 16x + 64$

$-x(x+5) = -x^2 - 5x$

Объединим полученные выражения:

$x^2 + 16x + 64 - x^2 - 5x$

Теперь сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (16x - 5x) + 64 = 0 + 11x + 64 = 11x + 64$

Ответ: $11x + 64$

3) $2x(x+2) - (x-2)^2$

Раскроем первые скобки с помощью распределительного закона и вторые скобки по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$2x(x+2) = 2x^2 + 4x$

$(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$

Подставим обратно в выражение, не забывая поменять знаки у членов второго многочлена из-за минуса перед скобкой:

$(2x^2 + 4x) - (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 + 4x - x^2 + 4x - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$(2x^2 - x^2) + (4x + 4x) - 4 = x^2 + 8x - 4$

Ответ: $x^2 + 8x - 4$

4) $(y+7)^2 + (y+2)(y-7)$

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ и перемножим две скобки.

$(y+7)^2 = y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 = y^2 + 14y + 49$

$(y+2)(y-7) = y \cdot y - 7y + 2y - 2 \cdot 7 = y^2 - 5y - 14$

Сложим полученные многочлены:

$(y^2 + 14y + 49) + (y^2 - 5y - 14)$

Приведем подобные слагаемые:

$(y^2 + y^2) + (14y - 5y) + (49 - 14) = 2y^2 + 9y + 35$

Ответ: $2y^2 + 9y + 35$

5) $(a+1)(a-1) - (a+4)^2$

Первое произведение является разностью квадратов и раскрывается по формуле $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Вторую скобку раскроем по формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(a+1)(a-1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

$(a+4)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 4 + 4^2 = a^2 + 8a + 16$

Подставим в исходное выражение:

$(a^2 - 1) - (a^2 + 8a + 16) = a^2 - 1 - a^2 - 8a - 16$

Приведем подобные слагаемые:

$(a^2 - a^2) - 8a + (-1 - 16) = -8a - 17$

Ответ: $-8a - 17$

6) $(x-10)(9-x) + (x+10)^2$

Раскроем первые скобки, перемножив их члены, и вторые скобки по формуле квадрата суммы.

$(x-10)(9-x) = x \cdot 9 - x \cdot x - 10 \cdot 9 - 10 \cdot (-x) = 9x - x^2 - 90 + 10x = -x^2 + 19x - 90$

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$

Теперь сложим полученные выражения:

$(-x^2 + 19x - 90) + (x^2 + 20x + 100)$

Приведем подобные слагаемые:

$(-x^2 + x^2) + (19x + 20x) + (-90 + 100) = 39x + 10$

Ответ: $39x + 10$

700. Решите уравнение:

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2;$

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3);$

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0;$

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35.$

1) $(x - 8)^2 - x(x + 6) = -2$
Для решения уравнения раскроем скобки. Выражение $(x-8)^2$ раскроем по формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2) - x(x + 6) = -2$
$(x^2 - 16x + 64) - (x^2 + 6x) = -2$
Теперь раскроем вторые скобки, меняя знаки на противоположные.
$x^2 - 16x + 64 - x^2 - 6x = -2$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (-16x - 6x) + 64 = -2$
$-22x + 64 = -2$
Перенесем 64 в правую часть уравнения с противоположным знаком.
$-22x = -2 - 64$
$-22x = -66$
Разделим обе части на -22, чтобы найти $x$.
$x = \frac{-66}{-22}$
$x = 3$
Ответ: $3$.

2) $(x + 7)^2 = (x - 3)(x + 3)$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. В правой части — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
$x^2 + 2 \cdot x \cdot 7 + 7^2 = x^2 - 3^2$
$x^2 + 14x + 49 = x^2 - 9$
Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть, а постоянные — в правую.
$x^2 - x^2 + 14x = -9 - 49$
$14x = -58$
Найдем $x$, разделив обе части на 14.
$x = \frac{-58}{14}$
Сократим дробь на 2.
$x = -\frac{29}{7}$
Ответ: $-\frac{29}{7}$.

3) $(2x + 1)^2 - (2x - 1)(2x + 3) = 0$
Раскроем скобки. Для первого слагаемого применим формулу квадрата суммы. Для второго — выполним умножение многочленов.
$((2x)^2 + 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2) - (2x \cdot 2x + 2x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3) = 0$
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 6x - 2x - 3) = 0$
Приведем подобные во вторых скобках.
$(4x^2 + 4x + 1) - (4x^2 + 4x - 3) = 0$
Раскроем скобки.
$4x^2 + 4x + 1 - 4x^2 - 4x + 3 = 0$
Приведем подобные слагаемые.
$(4x^2 - 4x^2) + (4x - 4x) + (1 + 3) = 0$
$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 4 = 0$
$4 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Это означает, что уравнение не имеет решений ни при каком значении $x$.
Ответ: корней нет.

4) $x(x - 2) - (x + 5)^2 = 35$
Раскроем скобки в левой части уравнения.
$(x^2 - 2x) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2) = 35$
$(x^2 - 2x) - (x^2 + 10x + 25) = 35$
$x^2 - 2x - x^2 - 10x - 25 = 35$
Приведем подобные слагаемые.
$(x^2 - x^2) + (-2x - 10x) - 25 = 35$
$-12x - 25 = 35$
Перенесем -25 в правую часть с противоположным знаком.
$-12x = 35 + 25$
$-12x = 60$
Найдем $x$.
$x = \frac{60}{-12}$
$x = -5$
Ответ: $-5$.

701. Решите уравнение:

1) $(x + 9)^2 - x(x + 8) = 1;$

2) $(x - 11)^2 = (x - 7)(x - 9);$

3) $(x - 4)(x + 4) - (x + 6)^2 = -16;$

4) $(1 - 3x)^2 - x(9x - 2) = 5.$

1) $(x+9)^2 - x(x+8) = 1$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ и распределительный закон:

$(x^2 + 2 \cdot x \cdot 9 + 9^2) - (x \cdot x + x \cdot 8) = 1$

$x^2 + 18x + 81 - x^2 - 8x = 1$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (18x - 8x) + 81 = 1$

$10x + 81 = 1$

Перенесем 81 в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$10x = 1 - 81$

$10x = -80$

Найдем $x$:

$x = \frac{-80}{10}$

$x = -8$

Ответ: $-8$

2) $(x-11)^2 = (x-7)(x-9)$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и правило умножения многочленов:

$x^2 - 2 \cdot x \cdot 11 + 11^2 = x \cdot x - 9x - 7x + (-7)(-9)$

$x^2 - 22x + 121 = x^2 - 16x + 63$

Вычтем $x^2$ из обеих частей уравнения:

$-22x + 121 = -16x + 63$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в правую часть, а свободные члены - в левую:

$121 - 63 = -16x + 22x$

$58 = 6x$

Найдем $x$:

$x = \frac{58}{6}$

Сократим дробь на 2:

$x = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3}$

Ответ: $9\frac{2}{3}$

3) $(x-4)(x+4) - (x+6)^2 = -16$

Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ и формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(x^2 - 4^2) - (x^2 + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) = -16$

$(x^2 - 16) - (x^2 + 12x + 36) = -16$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$x^2 - 16 - x^2 - 12x - 36 = -16$

Приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) - 12x - (16 + 36) = -16$

$-12x - 52 = -16$

Перенесем $-52$ в правую часть с противоположным знаком:

$-12x = -16 + 52$

$-12x = 36$

Найдем $x$:

$x = \frac{36}{-12}$

$x = -3$

Ответ: $-3$

4) $(1-3x)^2 - x(9x-2) = 5$

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и распределительный закон:

$(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 3x + (3x)^2) - (x \cdot 9x - x \cdot 2) = 5$

$(1 - 6x + 9x^2) - (9x^2 - 2x) = 5$

Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых на противоположные:

$1 - 6x + 9x^2 - 9x^2 + 2x = 5$

Приведем подобные слагаемые:

$(9x^2 - 9x^2) + (-6x + 2x) + 1 = 5$

$-4x + 1 = 5$

Перенесем 1 в правую часть с противоположным знаком:

$-4x = 5 - 1$

$-4x = 4$

Найдем $x$:

$x = \frac{4}{-4}$

$x = -1$

Ответ: $-1$

702. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(* + b)^2 = * + 4ab + b^2;$

2) $(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2;$

3) $(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2;$

4) $(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6.$

1) Исходное тождество: $(* + b)^2 = * + 4ab + b^2$.

Для решения используется формула квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Сравнивая правую часть данного тождества $* + 4ab + b^2$ с общей формулой, мы можем определить компоненты. Слагаемое $b^2$ соответствует $y^2$, следовательно, $y = b$.

Средний член $4ab$ соответствует удвоенному произведению $2xy$. Таким образом, $2xy = 4ab$.

Подставляем известное значение $y=b$ в это равенство: $2xb = 4ab$.

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $2b$: $x = \frac{4ab}{2b} = 2a$.

Итак, первая звездочка (в левой части) — это одночлен $2a$. Выражение в скобках принимает вид $(2a + b)$.

Теперь, чтобы найти вторую звездочку (в правой части), возведем в квадрат полученное выражение: $(2a+b)^2 = (2a)^2 + 2 \cdot 2a \cdot b + b^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Сравнивая результат с выражением $* + 4ab + b^2$, мы видим, что вторая звездочка соответствует $4a^2$.

Итоговое тождество: $(2a + b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2$.

Ответ: первая звездочка — $2a$, вторая звездочка — $4a^2$.

2) Исходное тождество: $(4x - *)^2 = 16x^2 - * + 100y^2$.

Для решения используется формула квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части тождества уменьшаемое равно $4x$. Его квадрат, $(4x)^2 = 16x^2$, совпадает с первым членом в правой части.

Последний член в правой части, $100y^2$, является квадратом вычитаемого, то есть $y^2 = 100y^2$.

Отсюда находим вычитаемое $y$: $y = \sqrt{100y^2} = 10y$.

Следовательно, первая звездочка (в левой части) — это $10y$. Выражение в скобках: $(4x - 10y)$.

Вторая звездочка (в правой части) — это удвоенное произведение уменьшаемого и вычитаемого: $2xy = 2 \cdot 4x \cdot 10y = 80xy$.

Итоговое тождество: $(4x - 10y)^2 = 16x^2 - 80xy + 100y^2$.

Ответ: первая звездочка — $10y$, вторая звездочка — $80xy$.

3) Исходное тождество: $(* - 5c)^2 = * - 20b^2c + 25c^2$.

Снова используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части вычитаемое равно $5c$. Проверяем его квадрат в правой части: $(5c)^2 = 25c^2$. Это совпадает с последним членом.

Средний член в правой части, $-20b^2c$, соответствует $-2xy$. Значит, $-2xy = -20b^2c$.

Подставляем известное значение $y=5c$: $-2x(5c) = -20b^2c$, что упрощается до $-10xc = -20b^2c$.

Находим уменьшаемое $x$: $x = \frac{-20b^2c}{-10c} = 2b^2$.

Таким образом, первая звездочка (в левой части) — это $2b^2$. Выражение в скобках: $(2b^2 - 5c)$.

Вторая звездочка (первый член в правой части) — это квадрат уменьшаемого $x^2$: $x^2 = (2b^2)^2 = 4b^4$.

Итоговое тождество: $(2b^2 - 5c)^2 = 4b^4 - 20b^2c + 25c^2$.

Ответ: первая звездочка — $2b^2$, вторая звездочка — $4b^4$.

4) Исходное тождество: $(7a^2 + *)^2 = * + * + 9b^6$.

Применяем формулу квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части первое слагаемое $x = 7a^2$.

В правой части последний член $9b^6$ является квадратом второго слагаемого: $y^2 = 9b^6$.

Находим второе слагаемое $y$: $y = \sqrt{9b^6} = 3b^3$.

Следовательно, первая звездочка (в левой части) — это $3b^3$. Выражение в скобках: $(7a^2 + 3b^3)$.

Теперь раскроем скобки, чтобы найти недостающие члены в правой части: $(7a^2 + 3b^3)^2 = (7a^2)^2 + 2 \cdot 7a^2 \cdot 3b^3 + (3b^3)^2 = 49a^4 + 42a^2b^3 + 9b^6$.

Сравнивая результат с правой частью $* + * + 9b^6$, находим:

• вторая звездочка (первый член) равна $49a^4$;
• третья звездочка (средний член) равна $42a^2b^3$.

Итоговое тождество: $(7a^2 + 3b^3)^2 = 49a^4 + 42a^2b^3 + 9b^6$.

Ответ: первая звездочка — $3b^3$, вторая звездочка — $49a^4$, третья звездочка — $42a^2b^3$.

703. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) $(*+6b)^2 = *+24ab+*;

2) $(*-*)^2 = 9m^4-42m^2n^8+*.$

1) Исходное тождество: $(* + 6b)^2 = * + 24ab + *$.

Данное выражение основано на формуле квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

В левой части тождества имеем выражение $(_1^* + 6b)^2$, где $_1^*$ — первый неизвестный одночлен. В правой части $_2^* + 24ab + _3^*$, где $_2^*$ и $_3^*$ — второй и третий неизвестные одночлены.

Сравним удвоенное произведение из формулы, $2xy$, с известным средним членом в правой части тождества, $24ab$.

Пусть $x = _1^*$ и $y = 6b$. Тогда удвоенное произведение равно $2 \cdot _1^* \cdot 6b = 12b \cdot _1^*$.

Приравниваем это выражение к известному члену: $12b \cdot _1^* = 24ab$.

Из этого уравнения находим первый неизвестный одночлен $_1^*$: $_1^* = \frac{24ab}{12b} = 2a$.

Теперь, зная оба слагаемых в скобках, $(2a + 6b)$, мы можем найти остальные неизвестные одночлены.

Первый член в правой части, $_2^*$, равен квадрату первого слагаемого: $_2^* = (2a)^2 = 4a^2$.

Третий член в правой части, $_3^*$, равен квадрату второго слагаемого: $_3^* = (6b)^2 = 36b^2$.

Подставляем найденные одночлены в исходное выражение, чтобы получить тождество:

$(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

Ответ: $(2a + 6b)^2 = 4a^2 + 24ab + 36b^2$.

2) Исходное тождество: $(* - *)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + *$.

Данное выражение основано на формуле квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

В левой части тождества имеем выражение $(_1^* - _2^*)^2$. В правой части $9m^4 - 42m^2n^8 + _3^*$.

Сравним правую часть с развернутой формулой $x^2 - 2xy + y^2$.

Первый член $x^2$ соответствует $9m^4$. Отсюда находим первый одночлен в скобках, $x = _1^*$: $x = \sqrt{9m^4} = 3m^2$.

Итак, $_1^* = 3m^2$.

Средний член $-2xy$ соответствует $-42m^2n^8$. Подставив найденное значение $x=3m^2$, найдем $y = _2^*$.

$-2 \cdot (3m^2) \cdot y = -42m^2n^8$

$-6m^2y = -42m^2n^8$

Отсюда находим второй одночлен в скобках, $y = _2^*$: $y = \frac{-42m^2n^8}{-6m^2} = 7n^8$.

Итак, $_2^* = 7n^8$.

Теперь мы знаем оба члена в скобках: $(3m^2 - 7n^8)$.

Осталось найти последний неизвестный член в правой части, $_3^*$. Он соответствует $y^2$.

$_3^* = y^2 = (7n^8)^2 = 49n^{16}$.

Подставляем найденные одночлены в исходное выражение, чтобы получить тождество:

$(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.

Ответ: $(3m^2 - 7n^8)^2 = 9m^4 - 42m^2n^8 + 49n^{16}$.

704. Докажите тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

Для доказательства тождества $(a-b)^2 = (b-a)^2$ можно использовать несколько подходов. Рассмотрим два наиболее распространенных.

Способ 1: Преобразование обеих частей тождества с помощью формулы квадрата разности

Формула квадрата разности имеет вид: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

1. Преобразуем левую часть равенства:
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

2. Преобразуем правую часть равенства, применяя ту же формулу:
$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2$

3. Сравним полученные выражения: $a^2 - 2ab + b^2$ и $b^2 - 2ba + a^2$.
Так как от перемены мест слагаемых сумма не изменяется (коммутативность сложения), то $b^2 + a^2 = a^2 + b^2$.
Так как от перемены мест множителей произведение не изменяется (коммутативность умножения), то $2ba = 2ab$.
Следовательно, выражение $b^2 - 2ba + a^2$ можно переписать как $a^2 - 2ab + b^2$.

Поскольку обе части тождества равны одному и тому же выражению, они равны между собой. Тождество доказано.

Способ 2: Алгебраическое преобразование одной части в другую

Преобразуем правую часть тождества $(b-a)^2$, чтобы она стала идентична левой части.

1. В выражении, стоящем в скобках, вынесем за скобку $-1$:
$b-a = -1 \cdot a - (-1) \cdot b = -1 \cdot (a-b) = -(a-b)$

2. Подставим полученное выражение обратно в правую часть тождества:
$(b-a)^2 = (-(a-b))^2$

3. Воспользуемся свойством степени, гласящим, что $(-x)^2 = x^2$ (квадрат любого числа равен квадрату противоположного ему числа):
$(-(a-b))^2 = (a-b)^2$

Мы преобразовали правую часть равенства к виду левой части, доказав тем самым, что $(a-b)^2 = (b-a)^2$.

Ответ: Тождество $(a-b)^2 = (b-a)^2$ доказано. Это равенство справедливо, так как выражения $a-b$ и $b-a$ являются противоположными числами, а квадраты противоположных чисел всегда равны. При раскрытии скобок обе части тождества приводятся к одному и тому же многочлену стандартного вида $a^2 - 2ab + b^2$.