Страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

663. Найдите значение выражения $ (2,5a - 1,5b)^2 - (1,5a - 2,5b)^2 $, если $ a = -1,5, b = -3,5. $

Для нахождения значения выражения, сначала упростим его, применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.

Пусть $x = (2.5a - 1.5b)$ и $y = (1.5a - 2.5b)$. Тогда выражение можно переписать так:

$(2.5a - 1.5b)^2 - (1.5a - 2.5b)^2 = ((2.5a - 1.5b) - (1.5a - 2.5b)) \cdot ((2.5a - 1.5b) + (1.5a - 2.5b))$

Теперь упростим каждый из двух полученных множителей, раскрывая внутренние скобки:

Первый множитель:
$(2.5a - 1.5b) - (1.5a - 2.5b) = 2.5a - 1.5b - 1.5a + 2.5b = (2.5a - 1.5a) + (-1.5b + 2.5b) = a + b$

Второй множитель:
$(2.5a - 1.5b) + (1.5a - 2.5b) = 2.5a - 1.5b + 1.5a - 2.5b = (2.5a + 1.5a) + (-1.5b - 2.5b) = 4a - 4b = 4(a-b)$

Теперь перемножим упрощенные множители:

$(a+b) \cdot 4(a-b) = 4(a+b)(a-b)$

Снова применяя формулу разности квадратов, получаем:

$4(a^2 - b^2)$

Теперь, когда выражение максимально упрощено, подставим в него заданные значения $a = -1.5$ и $b = -3.5$:

$4 \cdot ((-1.5)^2 - (-3.5)^2) = 4 \cdot (2.25 - 12.25)$

Выполним вычисления:

$4 \cdot (-10) = -40$

Ответ: $-40$.

664. Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:

1) $(x+2)^2 - 49;$

2) $(x-10)^2 - 25y^2;$

3) $25 - (y-3)^2;$

4) $(a-4)^2 - (a+2)^2;$

5) $(m-10)^2 - (n-6)^2;$

6) $(8y+4)^2 - (4y-3)^2;$

7) $(5a+3b)^2 - (2a-4b)^2;$

8) $4(a-b)^2 - (a+b)^2;$

9) $(x^2+x+1)^2 - (x^2-x+2)^2;$

10) $(-3x^3+y)^2 - 16x^6.$

1) Для разложения выражения $(x+2)^2 - 49$ на множители используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
В данном случае $a = x+2$ и $b^2 = 49$, следовательно $b = 7$.
Подставляем в формулу:
$(x+2)^2 - 7^2 = ((x+2) - 7)((x+2) + 7)$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(x+2-7)(x+2+7) = (x-5)(x+9)$.

Ответ: $(x-5)(x+9)$.

2) Для выражения $(x-10)^2 - 25y^2$ применяем ту же формулу.
Здесь $a = x-10$ и $b^2 = 25y^2$, значит $b = 5y$.
Получаем:
$(x-10)^2 - (5y)^2 = ((x-10) - 5y)((x-10) + 5y) = (x-10-5y)(x-10+5y)$.

Ответ: $(x-5y-10)(x+5y-10)$.

3) В выражении $25 - (y-3)^2$ имеем $a^2 = 25$, то есть $a=5$, и $b = y-3$.
Применяем формулу разности квадратов:
$5^2 - (y-3)^2 = (5 - (y-3))(5 + (y-3))$.
Упрощаем:
$(5 - y + 3)(5 + y - 3) = (8-y)(y+2)$.

Ответ: $(8-y)(y+2)$.

4) Для выражения $(a-4)^2 - (a+2)^2$ используем $a_1 = a-4$ и $b_1 = a+2$.
Применяем формулу:
$((a-4) - (a+2))((a-4) + (a+2))$.
Упрощаем каждую скобку:
Первая скобка: $(a-4-a-2) = -6$.
Вторая скобка: $(a-4+a+2) = 2a-2$.
Получаем произведение: $-6(2a-2)$.
Выносим общий множитель 2 из второй скобки: $-6 \cdot 2(a-1) = -12(a-1)$.

Ответ: $-12(a-1)$.

5) В выражении $(m-10)^2 - (n-6)^2$ положим $a = m-10$ и $b = n-6$.
По формуле разности квадратов:
$((m-10) - (n-6))((m-10) + (n-6))$.
Раскрываем внутренние скобки и упрощаем:
$(m-10-n+6)(m-10+n-6) = (m-n-4)(m+n-16)$.

Ответ: $(m-n-4)(m+n-16)$.

6) Для выражения $(8y+4)^2 - (4y-3)^2$ имеем $a = 8y+4$ и $b = 4y-3$.
Применяем формулу:
$((8y+4) - (4y-3))((8y+4) + (4y-3))$.
Упрощаем выражения в скобках:
$(8y+4-4y+3)(8y+4+4y-3) = (4y+7)(12y+1)$.

Ответ: $(4y+7)(12y+1)$.

7) В выражении $(5a+3b)^2 - (2a-4b)^2$ принимаем $a_1 = 5a+3b$ и $b_1 = 2a-4b$.
Раскладываем по формуле:
$((5a+3b) - (2a-4b))((5a+3b) + (2a-4b))$.
Упрощаем:
$(5a+3b-2a+4b)(5a+3b+2a-4b) = (3a+7b)(7a-b)$.

Ответ: $(3a+7b)(7a-b)$.

8) Преобразуем выражение $4(a-b)^2 - (a+b)^2$.
Заметим, что $4(a-b)^2 = (2(a-b))^2 = (2a-2b)^2$.
Теперь выражение имеет вид $(2a-2b)^2 - (a+b)^2$.
Применяем формулу разности квадратов, где $a_1 = 2a-2b$ и $b_1 = a+b$:
$((2a-2b) - (a+b))((2a-2b) + (a+b))$.
Упрощаем:
$(2a-2b-a-b)(2a-2b+a+b) = (a-3b)(3a-b)$.

Ответ: $(a-3b)(3a-b)$.

9) Для выражения $(x^2+x+1)^2 - (x^2-x+2)^2$ положим $a = x^2+x+1$ и $b = x^2-x+2$.
Применяем формулу:
$((x^2+x+1) - (x^2-x+2))((x^2+x+1) + (x^2-x+2))$.
Упрощаем каждую скобку:
Первая скобка: $(x^2+x+1 - x^2+x-2) = 2x-1$.
Вторая скобка: $(x^2+x+1 + x^2-x+2) = 2x^2+3$.
Результат: $(2x-1)(2x^2+3)$.

Ответ: $(2x-1)(2x^2+3)$.

10) Рассмотрим выражение $(-3x^3+y)^2 - 16x^6$.
Перепишем его в удобном виде. Заметим, что $(-3x^3+y)^2 = (y-3x^3)^2$ и $16x^6 = (4x^3)^2$.
Получаем $(y-3x^3)^2 - (4x^3)^2$.
Это разность квадратов, где $a = y-3x^3$ и $b = 4x^3$.
Применяем формулу:
$((y-3x^3) - 4x^3)((y-3x^3) + 4x^3)$.
Упрощаем:
$(y-3x^3-4x^3)(y-3x^3+4x^3) = (y-7x^3)(y+x^3)$.

Ответ: $(y-7x^3)(y+x^3)$.

665. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(x-2)^2-4$;

2) $(b+7)^2-100c^2$;

3) $121-(b+7)^2$;

4) $a^4-(7b-a^2)^2$;

5) $(4x-9)^2-(2x+19)^2$;

6) $(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$.

1) Для того чтобы представить выражение в виде произведения, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим выражение $(x-2)^2-4$ в виде разности квадратов: $(x-2)^2-2^2$.
В данном случае $a = x-2$, а $b = 2$.
$(x-2)^2-2^2 = ((x-2)-2)((x-2)+2) = (x-2-2)(x-2+2) = (x-4)(x)$.
Ответ: $x(x-4)$

2) Для выражения $(b+7)^2 - 100c^2$ также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $100c^2$ как $(10c)^2$. Получим: $(b+7)^2 - (10c)^2$.
Здесь $a = b+7$, а $b = 10c$.
$(b+7)^2 - (10c)^2 = ((b+7)-10c)((b+7)+10c) = (b-10c+7)(b+10c+7)$.
Ответ: $(b-10c+7)(b+10c+7)$

3) Для выражения $121 - (b+7)^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $121$ как $11^2$. Получим: $11^2 - (b+7)^2$.
Здесь $a = 11$, а $b = b+7$.
$11^2 - (b+7)^2 = (11-(b+7))(11+(b+7)) = (11-b-7)(11+b+7) = (4-b)(18+b)$.
Ответ: $(4-b)(b+18)$

4) Для выражения $a^4 - (7b-a^2)^2$ используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим: $(a^2)^2 - (7b-a^2)^2$.
Здесь $x = a^2$, а $y = 7b-a^2$.
$(a^2)^2 - (7b-a^2)^2 = (a^2 - (7b-a^2))(a^2 + (7b-a^2)) = (a^2-7b+a^2)(a^2+7b-a^2) = (2a^2-7b)(7b)$.
Ответ: $7b(2a^2-7b)$

5) Для выражения $(4x-9)^2 - (2x+19)^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a = 4x-9$, а $b = 2x+19$.
$((4x-9)-(2x+19))((4x-9)+(2x+19)) = (4x-9-2x-19)(4x-9+2x+19) = (2x-28)(6x+10)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки: $2(x-14) \cdot 2(3x+5) = 4(x-14)(3x+5)$.
Ответ: $4(x-14)(3x+5)$

6) Для выражения $(a+b+c)^2 - (a-b-c)^2$ используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Здесь $x = a+b+c$, а $y = a-b-c$.
$((a+b+c)-(a-b-c))((a+b+c)+(a-b-c)) = (a+b+c-a+b+c)(a+b+c+a-b-c) = (2b+2c)(2a)$.
Вынесем общий множитель 2 из первой скобки: $2(b+c) \cdot 2a = 4a(b+c)$.
Ответ: $4a(b+c)$

666. Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 4? Вычислите значение полученного выражения при $a = 7,4 \text{ см}, b = 2,6 \text{ см}$.

Рис. 4

Площадь закрашенной фигуры: $S = a^2 - b^2$

Чему равна площадь закрашенной фигуры, изображённой на рисунке 4?

Закрашенная фигура на рисунке представляет собой большой квадрат со стороной $a$, из которого вырезан меньший квадрат со стороной $b$. Чтобы найти площадь закрашенной фигуры ($S$), необходимо из площади большого квадрата вычесть площадь малого квадрата.

1. Площадь большого квадрата ($S_{большого}$) вычисляется по формуле:

$S_{большого} = a \cdot a = a^2$

2. Площадь малого квадрата ($S_{малого}$) вычисляется по формуле:

$S_{малого} = b \cdot b = b^2$

3. Площадь закрашенной фигуры равна разности площадей этих двух квадратов:

$S = S_{большого} - S_{малого} = a^2 - b^2$

Это выражение известно как формула разности квадратов, которую можно также записать в виде произведения: $S = (a - b)(a + b)$.

Ответ: Площадь закрашенной фигуры равна $a^2 - b^2$.

Вычислите значение полученного выражения при a = 7,4 см, b = 2,6 см.

Для вычисления значения подставим $a = 7,4$ и $b = 2,6$ в полученную формулу $S = a^2 - b^2$. Удобнее использовать ее разложенный на множители вид: $S = (a - b)(a + b)$.

1. Сначала найдем разность и сумму значений $a$ и $b$:

$a - b = 7,4 - 2,6 = 4,8$ см

$a + b = 7,4 + 2,6 = 10,0$ см

2. Теперь перемножим полученные результаты, чтобы найти площадь:

$S = 4,8 \cdot 10 = 48$

Так как длины сторон даны в сантиметрах, то площадь будет в квадратных сантиметрах.

Ответ: 48 $см^2$.

667. Две окружности, радиусы которых равны $R$ и $r$ ($R > r$), имеют общий центр. Выразите через $\pi$, $R$ и $r$ площадь фигуры, ограниченной этими окружностями. Вычислите значение полученного выражения при $R = 5,1$ см, $r = 4,9$ см.

Задача состоит из двух частей: сначала нужно вывести общую формулу для площади фигуры, а затем вычислить её значение для конкретных радиусов.

Выражение площади фигуры через π, R и r

Фигура, ограниченная двумя окружностями с общим центром, называется кольцом. Её площадь можно найти как разность площадей большего и меньшего кругов.

Площадь большего круга с радиусом $R$ вычисляется по формуле:
$S_R = \pi R^2$

Площадь меньшего круга с радиусом $r$ вычисляется по формуле:
$S_r = \pi r^2$

Площадь кольца $S$ равна разности этих площадей: $S = S_R - S_r = \pi R^2 - \pi r^2$

Вынесем общий множитель $\pi$ за скобки. Это и будет искомое выражение:

$S = \pi (R^2 - r^2)$

Ответ: $S = \pi (R^2 - r^2)$

Вычисление значения выражения при R = 5,1 см, r = 4,9 см

Теперь подставим заданные значения $R = 5,1$ см и $r = 4,9$ см в полученную формулу:

$S = \pi (5,1^2 - 4,9^2)$

Для удобства вычислений воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

$S = \pi ((5,1 - 4,9)(5,1 + 4,9))$

Выполним действия в скобках:

$5,1 - 4,9 = 0,2$

$5,1 + 4,9 = 10$

Подставим полученные значения обратно в формулу площади:

$S = \pi (0,2 \cdot 10) = \pi \cdot 2 = 2\pi$

Таким образом, площадь кольца равна $2\pi$ см².

Ответ: $2\pi$ см²

668. Представьте в виде произведения трёх множителей выражение:

1) $m^4 - 625$;

2) $x^{16} - 81$;

3) $2^{4n} - 16$,

где $n$ – натуральное число.

1) Для разложения выражения $m^4 - 625$ на множители будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $m^4 = (m^2)^2$ и $625 = 25^2$.

Применим формулу, где $a = m^2$ и $b = 25$:

$m^4 - 625 = (m^2)^2 - 25^2 = (m^2 - 25)(m^2 + 25)$.

Мы получили произведение двух множителей. Теперь необходимо разложить один из них, чтобы получить три множителя. Множитель $(m^2 - 25)$ также является разностью квадратов, так как $m^2 = (m)^2$ и $25 = 5^2$.

Применим формулу разности квадратов ещё раз:

$m^2 - 25 = (m - 5)(m + 5)$.

Теперь подставим это разложение в наше выражение:

$(m^2 - 25)(m^2 + 25) = (m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде произведения трёх множителей. Множитель $(m^2 + 25)$ является суммой квадратов и далее не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$.

2) Разложим на множители выражение $x^{16} - 81$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^{16} = (x^8)^2$ и $81 = 9^2$.

Применим формулу, где $a = x^8$ и $b = 9$:

$x^{16} - 81 = (x^8)^2 - 9^2 = (x^8 - 9)(x^8 + 9)$.

Теперь разложим на множители выражение $(x^8 - 9)$, которое также является разностью квадратов, поскольку $x^8 = (x^4)^2$ и $9 = 3^2$.

Применим формулу ещё раз, где $a = x^4$ и $b = 3$:

$x^8 - 9 = (x^4)^2 - 3^2 = (x^4 - 3)(x^4 + 3)$.

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$(x^8 - 9)(x^8 + 9) = (x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$.

Выражение представлено в виде произведения трёх множителей.

Ответ: $(x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$.

3) Разложим на множители выражение $2^{4n} - 16$, где $n$ — натуральное число. Будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала преобразуем выражение, используя свойства степеней: $2^{4n} = (2^{2n})^2$ и $16 = 4^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 2^{2n}$ и $b = 4$:

$2^{4n} - 16 = (2^{2n})^2 - 4^2 = (2^{2n} - 4)(2^{2n}

669. Разложите на множители:

1) $a^8 - b^8$

2) $a^{16} - 256$

1)

Для разложения на множители выражения $a^8 - b^8$ будем последовательно применять формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1. Представим $a^8$ и $b^8$ в виде квадратов: $a^8 = (a^4)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.

$a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 2. Разложим на множители выражение $(a^4 - b^4)$, которое также является разностью квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Подставив результат, получаем:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Шаг 3. В свою очередь, выражение $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подставим в итоговое выражение:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Выражения $a^2 + b^2$ (сумма квадратов) и $a^4 + b^4$ (сумма четвёртых степеней) являются неприводимыми многочленами над полем рациональных чисел, поэтому дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

2)

Разложим на множители выражение $a^{16} - 256$, последовательно применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим $a^{16}$ как $(a^8)^2$ и $256$ как $16^2$:

$a^{16} - 256 = (a^8)^2 - 16^2 = (a^8 - 16)(a^8 + 16)$

Далее разложим множитель $(a^8 - 16)$, представив $a^8 = (a^4)^2$ и $16 = 4^2$:

$a^8 - 16 = (a^4)^2 - 4^2 = (a^4 - 4)(a^4 + 4)$

Затем разложим множитель $(a^4 - 4)$, представив $a^4 = (a^2)^2$ и $4 = 2^2$:

$a^4 - 4 = (a^2)^2 - 2^2 = (a^2 - 2)(a^2 + 2)$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16)$

Теперь рассмотрим каждый из полученных множителей. Разложение производится на многочлены с целыми коэффициентами, которые нельзя разложить дальше (неприводимые над полем рациональных чисел).

Многочлены $a^2 - 2$ и $a^2 + 2$ являются неприводимыми, так как у них нет целых корней.

Многочлен $a^4 + 4$ можно разложить с помощью метода выделения полного квадрата (этот приём является частным случаем тождества Софи Жермен):

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$

Применив формулу разности квадратов, получаем:

$(a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a) = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$

Полученные квадратные трёхчлены $a^2 - 2a + 2$ и $a^2 + 2a + 2$ неприводимы, так как их дискриминанты отрицательны.

Многочлен $a^8 + 16$ также является неприводимым над полем рациональных чисел.

Собирая все множители, получаем окончательное разложение:

Ответ: $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)(a^8 + 16)$.

670. Решите уравнение:

1) $(3x - 5)^2 - 49 = 0;$

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0;$

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0;$

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0.$

1) $(3x-5)^2 - 49 = 0$.
Данное уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов. Представим $49$ как $7^2$:
$(3x-5)^2 - 7^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3x-5$ и $b = 7$:
$((3x-5) - 7)((3x-5) + 7) = 0$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(3x - 5 - 7)(3x - 5 + 7) = 0$
$(3x - 12)(3x + 2) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два линейных уравнения:
$3x - 12 = 0$ или $3x + 2 = 0$.
Решим первое уравнение:
$3x = 12$
$x_1 = 4$.
Решим второе уравнение:
$3x = -2$
$x_2 = -2/3$.
Ответ: $4$; $-2/3$.

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0$.
Представим $9x^2$ как $(3x)^2$, чтобы получить разность квадратов:
$(4x+7)^2 - (3x)^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x+7$ и $b = 3x$:
$((4x+7) - 3x)((4x+7) + 3x) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(4x + 7 - 3x)(4x + 7 + 3x) = 0$
$(x + 7)(7x + 7) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 7 = 0$ или $7x + 7 = 0$.
Из первого уравнения находим $x_1 = -7$.
Из второго уравнения: $7x = -7$, откуда $x_2 = -1$.
Ответ: $-7$; $-1$.

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0$.
Это уравнение уже представлено в виде разности квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a-1$ и $Y = 2a+9$:
$((a - 1) - (2a + 9))((a - 1) + (2a + 9)) = 0$.
Раскроем внутренние скобки и упростим выражения:
$(a - 1 - 2a - 9)(a - 1 + 2a + 9) = 0$
$(-a - 10)(3a + 8) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$-a - 10 = 0$ или $3a + 8 = 0$.
Решаем первое уравнение: $-a = 10$, откуда $a_1 = -10$.
Решаем второе уравнение: $3a = -8$, откуда $a_2 = -8/3$.
Ответ: $-10$; $-8/3$.

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0$.
Представим уравнение в виде разности квадратов. Заметим, что $25 = 5^2$ и $16 = 4^2$.
$5^2(3b + 1)^2 - 4^2(2b - 1)^2 = 0$
$(5(3b + 1))^2 - (4(2b - 1))^2 = 0$.
Раскроем скобки внутри выражений, возводимых в квадрат:
$(15b + 5)^2 - (8b - 4)^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$((15b + 5) - (8b - 4))((15b + 5) + (8b - 4)) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(15b + 5 - 8b + 4)(15b + 5 + 8b - 4) = 0$
$(7b + 9)(23b + 1) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$7b + 9 = 0$ или $23b + 1 = 0$.
Из первого уравнения: $7b = -9$, откуда $b_1 = -9/7$.
Из второго уравнения: $23b = -1$, откуда $b_2 = -1/23$.
Ответ: $-9/7$; $-1/23$.

671. Решите уравнение:

1) $16 - (6 - 11x)^2 = 0;$

2) $(7m - 13)^2 - (9m + 19)^2 = 0.$

1) $16 - (6 - 11x)^2 = 0$

Представим данное уравнение в виде разности квадратов, заметив, что $16 = 4^2$.

$4^2 - (6 - 11x)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4$ и $b = 6 - 11x$.

$(4 - (6 - 11x))(4 + (6 - 11x)) = 0$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(4 - 6 + 11x)(4 + 6 - 11x) = 0$

$(-2 + 11x)(10 - 11x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю.

Первый случай:

$-2 + 11x = 0$

$11x = 2$

$x_1 = \frac{2}{11}$

Второй случай:

$10 - 11x = 0$

$11x = 10$

$x_2 = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{2}{11}; \frac{10}{11}$.

2) $(7m - 13)^2 - (9m + 19)^2 = 0$

Это уравнение уже представлено в виде разности квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7m - 13$ и $b = 9m + 19$.

$((7m - 13) - (9m + 19))((7m - 13) + (9m + 19)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения в каждом множителе.

Первый множитель:

$7m - 13 - 9m - 19 = (7m - 9m) + (-13 - 19) = -2m - 32$

Второй множитель:

$7m - 13 + 9m + 19 = (7m + 9m) + (-13 + 19) = 16m + 6$

Получаем уравнение:

$(-2m - 32)(16m + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Первый случай:

$-2m - 32 = 0$

$-2m = 32$

$m_1 = \frac{32}{-2} = -16$

Второй случай:

$16m + 6 = 0$

$16m = -6$

$m_2 = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-16; -\frac{3}{8}$.

672. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7;

2) $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11;

3) $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24;

4) $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15.

1) Чтобы доказать, что выражение $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7, преобразуем его, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $9$ как $3^2$:
$(7n + 4)^2 - 3^2 = ((7n + 4) - 3)((7n + 4) + 3)$
Упростим выражения в скобках:
$(7n + 4 - 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7)$
Вынесем общий множитель 7 из второго сомножителя:
$(7n + 1) \cdot 7(n + 1) = 7(n + 1)(7n + 1)$
Поскольку полученное выражение содержит множитель 7, оно делится нацело на 7 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((8n + 1) - (3n - 1))((8n + 1) + (3n - 1))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(8n + 1 - 3n + 1)(8n + 1 + 3n - 1) = (5n + 2)(11n)$
Результат можно записать как $11n(5n + 2)$. Так как один из множителей в произведении равен 11, то всё выражение делится нацело на 11 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((3n + 7) - (3n - 5))((3n + 7) + (3n - 5))$
Упростим выражения в скобках:
$(3n + 7 - 3n + 5)(3n + 7 + 3n - 5) = (12)(6n + 2)$
Вынесем общий множитель 2 из второго сомножителя:
$12 \cdot 2(3n + 1) = 24(3n + 1)$
Поскольку полученное выражение содержит множитель 24, оно делится нацело на 24 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((7n + 6) - (2n - 9))((7n + 6) + (2n - 9))$
Упростим выражения в скобках:
$(7n + 6 - 2n + 9)(7n + 6 + 2n - 9) = (5n + 15)(9n - 3)$
Вынесем общие множители из каждого сомножителя: 5 из первого и 3 из второго:
$5(n + 3) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 3)(3n - 1)$
Так как один из множителей в произведении равен 15, то всё выражение делится нацело на 15 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

673. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80;

2) $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36;

3) $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12.

1) Докажем, что выражение $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80 при любом натуральном $n$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 5n + 4$ и $b = 5n - 4$.

$(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2 = ((5n + 4) - (5n - 4)) \cdot ((5n + 4) + (5n - 4))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

Первый множитель: $(5n + 4 - 5n + 4) = 8$

Второй множитель: $(5n + 4 + 5n - 4) = 10n$

Перемножим полученные результаты:

$8 \cdot 10n = 80n$

Так как $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то выражение $80n$ всегда будет кратно 80. Следовательно, значение исходного выражения делится нацело на 80 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что выражение $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36 при любом натуральном $n$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9n + 10$ и $b = 9n + 8$.

$(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2 = ((9n + 10) - (9n + 8)) \cdot ((9n + 10) + (9n + 8))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(9n + 10 - 9n - 8) = 2$

Второй множитель: $(9n + 10 + 9n + 8) = 18n + 18$

Результат равен произведению этих множителей:

$2 \cdot (18n + 18)$

Вынесем общий множитель 18 из второй скобки:

$2 \cdot 18(n + 1) = 36(n + 1)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n + 1$ также является натуральным числом (начиная с 2). Выражение $36(n + 1)$ является произведением 36 и натурального числа, а значит, оно всегда делится нацело на 36.

Ответ: Доказано.

3) Докажем, что выражение $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$.

Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = 10n + 2$ и $b = 4n - 10$.

$(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2 = ((10n + 2) - (4n - 10)) \cdot ((10n + 2) + (4n - 10))$

Вычислим значения в скобках:

Первый множитель: $(10n + 2 - 4n + 10) = 6n + 12$

Второй множитель: $(10n + 2 + 4n - 10) = 14n - 8$

Получаем произведение: $(6n + 12)(14n - 8)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Из первой скобки вынесем 6: $6(n + 2)$

Из второй скобки вынесем 2: $2(7n - 4)$

Перемножим полученные выражения:

$6(n + 2) \cdot 2(7n - 4) = 12(n + 2)(7n - 4)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+2$ и $7n-4$ являются целыми числами. Произведение $12(n + 2)(7n - 4)$ содержит множитель 12, следовательно, оно всегда делится нацело на 12.

Ответ: Доказано.