Номер 671, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 671, страница 117.

Условие.

671. Решите уравнение:

1) $16 - (6 - 11x)^2 = 0;$

2) $(7m - 13)^2 - (9m + 19)^2 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $16 - (6 - 11x)^2 = 0$

Представим данное уравнение в виде разности квадратов, заметив, что $16 = 4^2$.

$4^2 - (6 - 11x)^2 = 0$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 4$ и $b = 6 - 11x$.

$(4 - (6 - 11x))(4 + (6 - 11x)) = 0$

Раскроем скобки внутри каждого множителя:

$(4 - 6 + 11x)(4 + 6 - 11x) = 0$

$(-2 + 11x)(10 - 11x) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем каждый множитель к нулю.

Первый случай:

$-2 + 11x = 0$

$11x = 2$

$x_1 = \frac{2}{11}$

Второй случай:

$10 - 11x = 0$

$11x = 10$

$x_2 = \frac{10}{11}$

Ответ: $\frac{2}{11}; \frac{10}{11}$.

2) $(7m - 13)^2 - (9m + 19)^2 = 0$

Это уравнение уже представлено в виде разности квадратов. Воспользуемся формулой $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 7m - 13$ и $b = 9m + 19$.

$((7m - 13) - (9m + 19))((7m - 13) + (9m + 19)) = 0$

Раскроем внутренние скобки и упростим выражения в каждом множителе.

Первый множитель:

$7m - 13 - 9m - 19 = (7m - 9m) + (-13 - 19) = -2m - 32$

Второй множитель:

$7m - 13 + 9m + 19 = (7m + 9m) + (-13 + 19) = 16m + 6$

Получаем уравнение:

$(-2m - 32)(16m + 6) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

Первый случай:

$-2m - 32 = 0$

$-2m = 32$

$m_1 = \frac{32}{-2} = -16$

Второй случай:

$16m + 6 = 0$

$16m = -6$

$m_2 = -\frac{6}{16} = -\frac{3}{8}$

Ответ: $-16; -\frac{3}{8}$.