Номер 677, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 677, страница 118.

Условие.

677. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть искомые двузначные числа состоят из цифр $a$ (количество десятков) и $b$ (количество единиц). Тогда первое число можно представить как $10a + b$, а второе, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — как $10b + a$.

Поскольку оба числа являются двузначными, цифры $a$ и $b$ не могут быть нулем. Кроме того, цифры должны быть разными ($a \neq b$), иначе числа были бы одинаковыми, и разность их квадратов равнялась бы нулю, а не 693.

Согласно условию задачи, разность квадратов этих чисел равна 693. Запишем это в виде уравнения. Предположим, что $10a + b > 10b + a$, что эквивалентно $a > b$.

$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = 693$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a)) = 693$

Упростим каждое выражение в скобках:

$x - y = (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

$x + y = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$9(a - b) \cdot 11(a + b) = 693$

$99(a - b)(a + b) = 693$

Теперь найдем произведение $(a - b)(a + b)$, разделив обе части уравнения на 99:

$(a - b)(a + b) = \frac{693}{99} = 7$

Так как $a$ и $b$ — это целые цифры от 1 до 9, то выражения $(a - b)$ и $(a + b)$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых положительных чисел только одним способом: $1 \cdot 7$. Мы рассматриваем только положительные множители, так как сумма двух положительных цифр $a+b$ всегда положительна.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 7 \end{cases}$

Решим эту систему. Сложим первое и второе уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 1 + 7$

$2a = 8$

$a = 4$

Теперь подставим значение $a=4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:

$4 + b = 7$

$b = 3$

Итак, мы нашли цифры: $a = 4$ и $b = 3$. Они удовлетворяют всем условиям: это различные ненулевые цифры.

Искомые числа:

Первое число: $10a + b = 10 \cdot 4 + 3 = 43$.

Второе число: $10b + a = 10 \cdot 3 + 4 = 34$.

Проверим полученный результат: $43^2 - 34^2 = 1849 - 1156 = 693$.

Ответ: 43 и 34.