Номер 672, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 672, страница 117.

Условие.

672. Докажите, что при любом натуральном n значение выражения:

1) $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7;

2) $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11;

3) $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24;

4) $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Чтобы доказать, что выражение $(7n + 4)^2 - 9$ делится нацело на 7, преобразуем его, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Представим $9$ как $3^2$:
$(7n + 4)^2 - 3^2 = ((7n + 4) - 3)((7n + 4) + 3)$
Упростим выражения в скобках:
$(7n + 4 - 3)(7n + 4 + 3) = (7n + 1)(7n + 7)$
Вынесем общий множитель 7 из второго сомножителя:
$(7n + 1) \cdot 7(n + 1) = 7(n + 1)(7n + 1)$
Поскольку полученное выражение содержит множитель 7, оно делится нацело на 7 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что выражение $(8n + 1)^2 - (3n - 1)^2$ делится нацело на 11, воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((8n + 1) - (3n - 1))((8n + 1) + (3n - 1))$
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(8n + 1 - 3n + 1)(8n + 1 + 3n - 1) = (5n + 2)(11n)$
Результат можно записать как $11n(5n + 2)$. Так как один из множителей в произведении равен 11, то всё выражение делится нацело на 11 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

3) Чтобы доказать, что выражение $(3n + 7)^2 - (3n - 5)^2$ делится нацело на 24, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((3n + 7) - (3n - 5))((3n + 7) + (3n - 5))$
Упростим выражения в скобках:
$(3n + 7 - 3n + 5)(3n + 7 + 3n - 5) = (12)(6n + 2)$
Вынесем общий множитель 2 из второго сомножителя:
$12 \cdot 2(3n + 1) = 24(3n + 1)$
Поскольку полученное выражение содержит множитель 24, оно делится нацело на 24 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.

4) Чтобы доказать, что выражение $(7n + 6)^2 - (2n - 9)^2$ делится нацело на 15, используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$((7n + 6) - (2n - 9))((7n + 6) + (2n - 9))$
Упростим выражения в скобках:
$(7n + 6 - 2n + 9)(7n + 6 + 2n - 9) = (5n + 15)(9n - 3)$
Вынесем общие множители из каждого сомножителя: 5 из первого и 3 из второго:
$5(n + 3) \cdot 3(3n - 1) = 15(n + 3)(3n - 1)$
Так как один из множителей в произведении равен 15, то всё выражение делится нацело на 15 при любом натуральном $n$.
Ответ: Доказано.