Номер 670, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 670, страница 117.

Условие.

670. Решите уравнение:

1) $(3x - 5)^2 - 49 = 0;$

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0;$

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0;$

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $(3x-5)^2 - 49 = 0$.
Данное уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов. Представим $49$ как $7^2$:
$(3x-5)^2 - 7^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 3x-5$ и $b = 7$:
$((3x-5) - 7)((3x-5) + 7) = 0$.
Упростим выражения в каждой из скобок:
$(3x - 5 - 7)(3x - 5 + 7) = 0$
$(3x - 12)(3x + 2) = 0$.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы получаем два линейных уравнения:
$3x - 12 = 0$ или $3x + 2 = 0$.
Решим первое уравнение:
$3x = 12$
$x_1 = 4$.
Решим второе уравнение:
$3x = -2$
$x_2 = -2/3$.
Ответ: $4$; $-2/3$.

2) $(4x + 7)^2 - 9x^2 = 0$.
Представим $9x^2$ как $(3x)^2$, чтобы получить разность квадратов:
$(4x+7)^2 - (3x)^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 4x+7$ и $b = 3x$:
$((4x+7) - 3x)((4x+7) + 3x) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(4x + 7 - 3x)(4x + 7 + 3x) = 0$
$(x + 7)(7x + 7) = 0$.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$x + 7 = 0$ или $7x + 7 = 0$.
Из первого уравнения находим $x_1 = -7$.
Из второго уравнения: $7x = -7$, откуда $x_2 = -1$.
Ответ: $-7$; $-1$.

3) $(a - 1)^2 - (2a + 9)^2 = 0$.
Это уравнение уже представлено в виде разности квадратов. Применим формулу $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$, где $X = a-1$ и $Y = 2a+9$:
$((a - 1) - (2a + 9))((a - 1) + (2a + 9)) = 0$.
Раскроем внутренние скобки и упростим выражения:
$(a - 1 - 2a - 9)(a - 1 + 2a + 9) = 0$
$(-a - 10)(3a + 8) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$-a - 10 = 0$ или $3a + 8 = 0$.
Решаем первое уравнение: $-a = 10$, откуда $a_1 = -10$.
Решаем второе уравнение: $3a = -8$, откуда $a_2 = -8/3$.
Ответ: $-10$; $-8/3$.

4) $25(3b + 1)^2 - 16(2b - 1)^2 = 0$.
Представим уравнение в виде разности квадратов. Заметим, что $25 = 5^2$ и $16 = 4^2$.
$5^2(3b + 1)^2 - 4^2(2b - 1)^2 = 0$
$(5(3b + 1))^2 - (4(2b - 1))^2 = 0$.
Раскроем скобки внутри выражений, возводимых в квадрат:
$(15b + 5)^2 - (8b - 4)^2 = 0$.
Применим формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:
$((15b + 5) - (8b - 4))((15b + 5) + (8b - 4)) = 0$.
Упростим выражения в скобках:
$(15b + 5 - 8b + 4)(15b + 5 + 8b - 4) = 0$
$(7b + 9)(23b + 1) = 0$.
Приравниваем каждый множитель к нулю:
$7b + 9 = 0$ или $23b + 1 = 0$.
Из первого уравнения: $7b = -9$, откуда $b_1 = -9/7$.
Из второго уравнения: $23b = -1$, откуда $b_2 = -1/23$.
Ответ: $-9/7$; $-1/23$.