Номер 674, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 674, страница 118.

Условие.

674. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел делится нацело на 4.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Сумма этих чисел равна: $n + (n+1) = 2n + 1$.

Разность квадратов этих чисел (из квадрата большего числа вычитаем квадрат меньшего) равна: $(n+1)^2 - n^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n) \cdot ((n+1) + n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что разность квадратов $(2n+1)$ равна сумме этих чисел $(2n+1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел делится нацело на 4.

Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2n$, где $n \in \mathbb{N}$.

Тогда два последовательных натуральных чётных числа можно записать как $2n$ и $2n+2$.

Рассмотрим разность их квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2) - 2n) \cdot ((2n+2) + 2n) = 2 \cdot (4n+2)$.

Раскроем скобки и вынесем общий множитель 4:

$2 \cdot (4n+2) = 8n + 4 = 4(2n+1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $2n+1$ является целым числом. Следовательно, произведение $4(2n+1)$ всегда делится на 4 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.