Номер 669, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 669, страница 117.

Условие.

669. Разложите на множители:

1) $a^8 - b^8$

2) $a^{16} - 256$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1)

Для разложения на множители выражения $a^8 - b^8$ будем последовательно применять формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Шаг 1. Представим $a^8$ и $b^8$ в виде квадратов: $a^8 = (a^4)^2$ и $b^8 = (b^4)^2$.

$a^8 - b^8 = (a^4)^2 - (b^4)^2 = (a^4 - b^4)(a^4 + b^4)$

Шаг 2. Разложим на множители выражение $(a^4 - b^4)$, которое также является разностью квадратов:

$a^4 - b^4 = (a^2)^2 - (b^2)^2 = (a^2 - b^2)(a^2 + b^2)$

Подставив результат, получаем:

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Шаг 3. В свою очередь, выражение $(a^2 - b^2)$ также является разностью квадратов:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Подставим в итоговое выражение:

$(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$

Выражения $a^2 + b^2$ (сумма квадратов) и $a^4 + b^4$ (сумма четвёртых степеней) являются неприводимыми многочленами над полем рациональных чисел, поэтому дальнейшее разложение на множители с целыми коэффициентами невозможно.

Ответ: $(a - b)(a + b)(a^2 + b^2)(a^4 + b^4)$.

---

2)

Разложим на множители выражение $a^{16} - 256$, последовательно применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

Сначала представим $a^{16}$ как $(a^8)^2$ и $256$ как $16^2$:

$a^{16} - 256 = (a^8)^2 - 16^2 = (a^8 - 16)(a^8 + 16)$

Далее разложим множитель $(a^8 - 16)$, представив $a^8 = (a^4)^2$ и $16 = 4^2$:

$a^8 - 16 = (a^4)^2 - 4^2 = (a^4 - 4)(a^4 + 4)$

Затем разложим множитель $(a^4 - 4)$, представив $a^4 = (a^2)^2$ и $4 = 2^2$:

$a^4 - 4 = (a^2)^2 - 2^2 = (a^2 - 2)(a^2 + 2)$

Таким образом, исходное выражение можно записать в виде:

$(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^4 + 4)(a^8 + 16)$

Теперь рассмотрим каждый из полученных множителей. Разложение производится на многочлены с целыми коэффициентами, которые нельзя разложить дальше (неприводимые над полем рациональных чисел).

Многочлены $a^2 - 2$ и $a^2 + 2$ являются неприводимыми, так как у них нет целых корней.

Многочлен $a^4 + 4$ можно разложить с помощью метода выделения полного квадрата (этот приём является частным случаем тождества Софи Жермен):

$a^4 + 4 = a^4 + 4a^2 + 4 - 4a^2 = (a^2 + 2)^2 - (2a)^2$

Применив формулу разности квадратов, получаем:

$(a^2 + 2 - 2a)(a^2 + 2 + 2a) = (a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)$

Полученные квадратные трёхчлены $a^2 - 2a + 2$ и $a^2 + 2a + 2$ неприводимы, так как их дискриминанты отрицательны.

Многочлен $a^8 + 16$ также является неприводимым над полем рациональных чисел.

Собирая все множители, получаем окончательное разложение:

Ответ: $(a^2 - 2)(a^2 + 2)(a^2 - 2a + 2)(a^2 + 2a + 2)(a^8 + 16)$.