Номер 676, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 676, страница 118.

Условие.

676. Докажите тождество: $(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Исходное выражение в левой части:

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2$

Шаг 1: Упростим произведение первых двух сомножителей. Воспользуемся свойством степеней $a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k$.

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 = ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))^2$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках, где $a = m^3$ и $b = n^3$.

$(m^3 - n^3)(m^3 + n^3) = (m^3)^2 - (n^3)^2 = m^{3 \cdot 2} - n^{3 \cdot 2} = m^6 - n^6$

Шаг 3: Подставим результат обратно в выражение из Шага 1.

$((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))^2 = (m^6 - n^6)^2$

Шаг 4: Теперь все выражение примет вид:

$(m^6 - n^6)^2 - (m^6 + n^6)^2$

Шаг 5: Мы получили выражение, которое представляет собой разность квадратов. Снова применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = m^6 - n^6$ и $y = m^6 + n^6$.

$(m^6 - n^6)^2 - (m^6 + n^6)^2 = ((m^6 - n^6) - (m^6 + n^6)) \cdot ((m^6 - n^6) + (m^6 + n^6))$

Шаг 6: Упростим каждое из выражений в скобках.

Первая скобка: $(m^6 - n^6 - m^6 - n^6) = -2n^6$

Вторая скобка: $(m^6 - n^6 + m^6 + n^6) = 2m^6$

Шаг 7: Перемножим полученные результаты.

$(-2n^6) \cdot (2m^6) = -4m^6n^6$

В результате преобразования левой части тождества мы получили выражение, равное правой части: $-4m^6n^6 = -4m^6n^6$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6$ доказано путем тождественных преобразований его левой части.