Номер 679, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 679, страница 118.

Условие.

679. При каком значении b уравнение $(b^2 - 4) x = b - 2$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где коэффициент при $x$ и свободный член зависят от параметра $b$.

В нашем случае $A = b^2 - 4$ и $B = b - 2$.

Проанализируем количество корней уравнения в зависимости от значений $A$ и $B$.

1) имеет бесконечно много корней

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю.

Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения сразу получаем $b = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Поскольку при $b = 2$ оба условия выполняются, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ и имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $b = 2$.

2) не имеет корней

Линейное уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \ne 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю.

Составим систему условий: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение: $b^2 - 4 = 0 \Rightarrow (b-2)(b+2) = 0$. Корнями являются $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Согласно второму условию, $b \ne 2$.

Из двух найденных значений $b=2$ и $b=-2$ нам подходит только $b = -2$. При этом значении $b$ уравнение принимает вид $((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$, то есть $0 \cdot x = -4$, что неверно ни при каком $x$.

Ответ: при $b = -2$.

3) имеет один корень

Линейное уравнение имеет ровно один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($A \ne 0$). В этом случае корень можно найти по формуле $x = \frac{B}{A}$.

Нам нужно найти значения $b$, при которых $b^2 - 4 \ne 0$.

Мы уже знаем, что выражение $b^2 - 4$ обращается в ноль при $b = 2$ и $b = -2$.

Следовательно, для всех остальных значений $b$ коэффициент при $x$ будет отличен от нуля, и уравнение будет иметь единственный корень.

Ответ: при $b \ne 2$ и $b \ne -2$.