Номер 681, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 681, страница 118.

Условие.

681. Лодка двигалась $2,4 \text{ ч}$ по течению реки и $3,6 \text{ ч}$ против течения. Расстояние, пройденное лодкой по течению, на $5,4 \text{ км}$ больше расстояния, пройденного против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения составляет $2,5 \text{ км/ч}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки дана в условии и составляет $2,5$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 2,5)$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = (x - 2,5)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Лодка двигалась по течению в течение $t_{по} = 2,4$ часа. За это время она прошла расстояние:

$S_{по} = (x + 2,5) \cdot 2,4$ км.

Против течения лодка двигалась в течение $t_{пр} = 3,6$ часа. Пройденное расстояние составляет:

$S_{пр} = (x - 2,5) \cdot 3,6$ км.

По условию задачи, расстояние, пройденное по течению, на $5,4$ км больше, чем расстояние, пройденное против течения. Это можно выразить уравнением:

$S_{по} = S_{пр} + 5,4$

Подставим в это уравнение выражения для $S_{по}$ и $S_{пр}$, чтобы получить уравнение с одной переменной $x$:

$(x + 2,5) \cdot 2,4 = (x - 2,5) \cdot 3,6 + 5,4$

Теперь решим полученное уравнение. Для начала раскроем скобки:

$2,4x + 2,5 \cdot 2,4 = 3,6x - 2,5 \cdot 3,6 + 5,4$

$2,4x + 6 = 3,6x - 9 + 5,4$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$2,4x + 6 = 3,6x - 3,6$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$6 + 3,6 = 3,6x - 2,4x$

$9,6 = 1,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $1,2$:

$x = \frac{9,6}{1,2}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{96}{12}$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что собственная скорость лодки составляет $8$ км/ч.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения:

1. Скорость по течению: $8 + 2,5 = 10,5$ км/ч. Расстояние за $2,4$ ч: $10,5 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 25,2$ км.

2. Скорость против течения: $8 - 2,5 = 5,5$ км/ч. Расстояние за $3,6$ ч: $5,5 \text{ км/ч} \cdot 3,6 \text{ ч} = 19,8$ км.

3. Найдем разницу расстояний: $25,2 \text{ км} - 19,8 \text{ км} = 5,4$ км.

Полученная разница совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 8 км/ч.