Номер 688, страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 688, страница 119.

Условие.

688. Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Пусть $n=101$ — общее количество блюд в меню. Нам нужно доказать, что количество способов составить обед из нечётного числа блюд равно количеству способов составить обед из чётного числа блюд, учитывая заданные ограничения.

Для решения задачи воспользуемся комбинаторным подходом. Количество способов выбрать $k$ блюд из $n$ равно числу сочетаний $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Сначала рассмотрим все возможные подмножества блюд без каких-либо ограничений. Общее число всех подмножеств множества из $n$ элементов равно $2^n$. Эти подмножества можно разделить на две группы: с чётным числом элементов и с нечётным.

Общее количество способов выбрать нечётное число блюд: $$N_{всех, нечёт} = \binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \dots + \binom{101}{101}$$

Общее количество способов выбрать чётное число блюд (включая выбор 0 блюд): $$N_{всех, чёт} = \binom{101}{0} + \binom{101}{2} + \dots + \binom{101}{100}$$

Известно, что для непустого множества (при $n > 0$) количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов. Это следует из рассмотрения разложения $(1-1)^n=0$. Каждое из этих количеств равно $2^{n-1}$. Для $n=101$ получаем: $$N_{всех, нечёт} = N_{всех, чёт} = 2^{101-1} = 2^{100}$$

Теперь применим ограничения, указанные в условии задачи.

Первое ограничение: «заказать все блюда из меню нельзя». Это исключает один конкретный выбор — выбор всех 101 блюд. Так как 101 — нечётное число, этот вариант (один способ) вычитается из общего числа способов выбрать нечётное количество блюд. Количество разрешённых способов выбора обеда из нечётного числа блюд: $$N_{нечёт} = N_{всех, нечёт} - 1 = 2^{100} - 1$$

Второе ограничение связано с понятием «обед». Обед подразумевает выбор хотя бы одного блюда, то есть непустой выбор. Это означает, что выбор 0 блюд не является обедом. Так как 0 — чётное число, этот вариант (один способ, соответствующий $\binom{101}{0}=1$) вычитается из общего числа способов выбрать чётное количество блюд. Количество разрешённых способов выбора обеда из чётного числа блюд: $$N_{чёт} = N_{всех, чёт} - 1 = 2^{100} - 1$$

Сравнивая полученные выражения для $N_{нечёт}$ и $N_{чёт}$, мы видим, что они равны: $$N_{нечёт} = N_{чёт} = 2^{100} - 1$$

Таким образом, доказано, что при заданных условиях количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд.

Ответ: Утверждение доказано. Количество способов выбрать обед из нечётного числа блюд равно количеству способов выбрать обед из чётного числа блюд. Каждое из этих количеств равно $2^{100} - 1$.