Страница 119 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

685. Для каждой пары выражений найдите все значения $a$, при которых значение второго выражения в 3 раза больше соответствующего значения первого выражения:

1) $a$ и $3a$;

2) $a^2$ и $3a^2$;

3) $a^2 + 1$ и $3a^2 + 3$.

1) a и 3a
Согласно условию задачи, значение второго выражения ($3a$) должно быть в 3 раза больше значения первого выражения ($a$). Составим и решим уравнение:
$3a = 3 \cdot a$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3a - 3a = 0$
$0 = 0$
Полученное равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении переменной $a$. Следовательно, условие задачи выполняется при любом значении $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

2) a² и 3a²
Для второй пары выражений составим аналогичное уравнение, где значение второго выражения ($3a^2$) в 3 раза больше значения первого ($a^2$):
$3a^2 = 3 \cdot a^2$
$3a^2 - 3a^2 = 0$
$0 = 0$
Это равенство также является тождеством и выполняется для любого значения $a$, поскольку левая и правая части уравнения идентичны.
Ответ: $a$ - любое число.

3) a² + 1 и 3a² + 3
Для третьей пары выражений составим уравнение по тому же условию: значение второго выражения ($3a^2 + 3$) в 3 раза больше значения первого ($a^2 + 1$).
$3a^2 + 3 = 3 \cdot (a^2 + 1)$
Раскроем скобки в правой части уравнения, применив распределительный закон умножения:
$3a^2 + 3 = 3 \cdot a^2 + 3 \cdot 1$
$3a^2 + 3 = 3a^2 + 3$
Перенеся все члены в одну сторону, получим:
$(3a^2 + 3) - (3a^2 + 3) = 0$
$0 = 0$
Полученное тождество означает, что исходное равенство верно при любом значении $a$.
Ответ: $a$ - любое число.

686. Запишите в виде выражения:

1) квадрат суммы чисел $a$ и $b$;

2) сумма квадратов чисел $a$ и $b$;

3) удвоенное произведение чисел $a$ и $b$;

4) квадрат разности одночленов $3m$ и $4n$.

1) квадрат суммы чисел a и b;
"Сумма чисел a и b" записывается в виде выражения $a + b$. "Квадрат" этой суммы означает, что всё выражение необходимо возвести во вторую степень. Чтобы показать, что в квадрат возводится вся сумма, а не только второе слагаемое, сумму заключают в скобки.
Итоговое выражение: $(a + b)^2$.
Ответ: $(a + b)^2$

2) сумму квадратов чисел a и b;
В этом случае сначала каждое число возводится в квадрат: "квадрат числа a" — это $a^2$, а "квадрат числа b" — это $b^2$. Затем находится "сумма" этих квадратов, то есть они складываются.
Итоговое выражение: $a^2 + b^2$.
Ответ: $a^2 + b^2$

3) удвоенное произведение чисел a и b;
"Произведение чисел a и b" записывается как $a \cdot b$ или просто $ab$. "Удвоенное" означает, что это произведение нужно умножить на 2.
Итоговое выражение: $2ab$.
Ответ: $2ab$

4) квадрат разности одночленов 3m и 4n.
Одночлены, о которых идет речь, — это $3m$ и $4n$. "Разность" этих одночленов записывается как $3m - 4n$. "Квадрат" этой разности означает, что всё выражение нужно возвести во вторую степень, заключив его в скобки.
Итоговое выражение: $(3m - 4n)^2$.
Ответ: $(3m - 4n)^2$

687. Найтите удвоенное произведение одночленов:

1) $a^2$ и $3b$;

2) $5x$ и $6y$;

3) $0,5m$ и $4n$;

4) $\frac{1}{3}m^2$ и $6m$.

1) Чтобы найти удвоенное произведение одночленов $a^2$ и $3b$, нужно сначала найти их произведение, а затем умножить полученный результат на 2.
Произведение одночленов равно:
$a^2 \cdot 3b = 3a^2b$
Теперь умножим полученный результат на 2:
$2 \cdot (3a^2b) = 6a^2b$
Ответ: $6a^2b$

2) Найдем удвоенное произведение одночленов $5x$ и $6y$.
Сначала перемножим данные одночлены, умножая их коэффициенты и переменные отдельно:
$5x \cdot 6y = (5 \cdot 6) \cdot (x \cdot y) = 30xy$
Теперь удвоим полученное произведение:
$2 \cdot (30xy) = 60xy$
Ответ: $60xy$

3) Найдем удвоенное произведение одночленов $0.5m$ и $4n$.
Вычислим произведение одночленов:
$0.5m \cdot 4n = (0.5 \cdot 4) \cdot (m \cdot n) = 2mn$
Удвоим результат:
$2 \cdot (2mn) = 4mn$
Ответ: $4mn$

4) Найдем удвоенное произведение одночленов $\frac{1}{3}m^2$ и $6m$.
Найдем их произведение. При умножении степеней с одинаковым основанием ($m$) их показатели складываются.
$\frac{1}{3}m^2 \cdot 6m = (\frac{1}{3} \cdot 6) \cdot (m^2 \cdot m^1) = 2 \cdot m^{2+1} = 2m^3$
Теперь удвоим полученный одночлен:
$2 \cdot (2m^3) = 4m^3$
Ответ: $4m^3$

688. Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.

Пусть $n=101$ — общее количество блюд в меню. Нам нужно доказать, что количество способов составить обед из нечётного числа блюд равно количеству способов составить обед из чётного числа блюд, учитывая заданные ограничения.

Для решения задачи воспользуемся комбинаторным подходом. Количество способов выбрать $k$ блюд из $n$ равно числу сочетаний $C_n^k = \binom{n}{k}$.

Сначала рассмотрим все возможные подмножества блюд без каких-либо ограничений. Общее число всех подмножеств множества из $n$ элементов равно $2^n$. Эти подмножества можно разделить на две группы: с чётным числом элементов и с нечётным.

Общее количество способов выбрать нечётное число блюд: $$N_{всех, нечёт} = \binom{101}{1} + \binom{101}{3} + \dots + \binom{101}{101}$$

Общее количество способов выбрать чётное число блюд (включая выбор 0 блюд): $$N_{всех, чёт} = \binom{101}{0} + \binom{101}{2} + \dots + \binom{101}{100}$$

Известно, что для непустого множества (при $n > 0$) количество подмножеств с чётным числом элементов равно количеству подмножеств с нечётным числом элементов. Это следует из рассмотрения разложения $(1-1)^n=0$. Каждое из этих количеств равно $2^{n-1}$. Для $n=101$ получаем: $$N_{всех, нечёт} = N_{всех, чёт} = 2^{101-1} = 2^{100}$$

Теперь применим ограничения, указанные в условии задачи.

Первое ограничение: «заказать все блюда из меню нельзя». Это исключает один конкретный выбор — выбор всех 101 блюд. Так как 101 — нечётное число, этот вариант (один способ) вычитается из общего числа способов выбрать нечётное количество блюд. Количество разрешённых способов выбора обеда из нечётного числа блюд: $$N_{нечёт} = N_{всех, нечёт} - 1 = 2^{100} - 1$$

Второе ограничение связано с понятием «обед». Обед подразумевает выбор хотя бы одного блюда, то есть непустой выбор. Это означает, что выбор 0 блюд не является обедом. Так как 0 — чётное число, этот вариант (один способ, соответствующий $\binom{101}{0}=1$) вычитается из общего числа способов выбрать чётное количество блюд. Количество разрешённых способов выбора обеда из чётного числа блюд: $$N_{чёт} = N_{всех, чёт} - 1 = 2^{100} - 1$$

Сравнивая полученные выражения для $N_{нечёт}$ и $N_{чёт}$, мы видим, что они равны: $$N_{нечёт} = N_{чёт} = 2^{100} - 1$$

Таким образом, доказано, что при заданных условиях количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд.

Ответ: Утверждение доказано. Количество способов выбрать обед из нечётного числа блюд равно количеству способов выбрать обед из чётного числа блюд. Каждое из этих количеств равно $2^{100} - 1$.