Страница 114 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

651. Можно ли представить в виде разности квадратов двух одночленов выражение:

1) $a^2 - 16b^2$;

2) $25c^2 + 9b^2$;

3) $100b^4 - 25c^6$;

4) $-64 + a^{10}$;

5) $-a^{12} - 49c^8$;

6) $-0,01a^4 + 0,04b^4$?

В случае утвердительного ответа запишите эту разность квадратов.

1) $a^2 - 16b^2$

Данное выражение является разностью двух членов. Первый член $a^2$ является квадратом одночлена $a$. Второй член $16b^2$ является квадратом одночлена $4b$, так как $16 = 4^2$. Следовательно, выражение можно представить в виде разности квадратов.

Ответ: $(a)^2 - (4b)^2$.

2) $25c^2 + 9b^2$

Данное выражение является суммой двух членов, каждый из которых является полным квадратом: $25c^2 = (5c)^2$ и $9b^2 = (3b)^2$. Сумма квадратов двух одночленов не может быть представлена в виде разности квадратов двух одночленов (с действительными коэффициентами).

Ответ: Нельзя.

3) $100b^4 - 25c^6$

Это выражение — разность. Проверим, являются ли уменьшаемое и вычитаемое полными квадратами. Уменьшаемое $100b^4 = (10b^2)^2$, так как $100=10^2$ и $b^4=(b^2)^2$. Вычитаемое $25c^6 = (5c^3)^2$, так как $25=5^2$ и $c^6=(c^3)^2$. Таким образом, выражение можно представить в виде разности квадратов.

Ответ: $(10b^2)^2 - (5c^3)^2$.

4) $-64 + a^{10}$

Переставим члены выражения, чтобы получить разность: $a^{10} - 64$. Первый член $a^{10}$ является квадратом одночлена $a^5$, так как $a^{10} = (a^5)^2$. Второй член $64$ является квадратом числа $8$, т.е. $64 = 8^2$. Следовательно, выражение можно представить как разность квадратов.

Ответ: $(a^5)^2 - (8)^2$.

5) $-a^{12} - 49c^8$

Данное выражение можно записать как $-(a^{12} + 49c^8)$. Оно представляет собой число, противоположное сумме квадратов, так как $a^{12}=(a^6)^2$ и $49c^8=(7c^4)^2$. Оба члена выражения отрицательны. Разность квадратов $X^2 - Y^2$ требует наличия одного положительного квадрата ($X^2$) и одного отрицательного ($-Y^2$). Поэтому данное выражение нельзя представить в виде разности квадратов.

Ответ: Нельзя.

6) $-0,01a^4 + 0,04b^4$

Переставим члены местами: $0,04b^4 - 0,01a^4$. Это разность. Первый член $0,04b^4$ является квадратом одночлена $0,2b^2$, так как $0,04 = (0,2)^2$ и $b^4=(b^2)^2$. Второй член $0,01a^4$ является квадратом одночлена $0,1a^2$, так как $0,01 = (0,1)^2$ и $a^4=(a^2)^2$. Таким образом, выражение можно представить как разность квадратов.

Ответ: $(0,2b^2)^2 - (0,1a^2)^2$.

652. Для перевозки груза выделили 4-, 7- и 8-тонные грузовики. Каждый автомобиль должен сделать только одну ходку. Сколько требуется грузовиков каждого вида для перевозки 44 т груза?

Для решения задачи введем переменные. Пусть x — количество 4-тонных грузовиков, y — количество 7-тонных грузовиков, а z — количество 8-тонных грузовиков.

Так как каждый автомобиль совершает только одну поездку, общая грузоподъемность всех задействованных машин должна равняться 44 тоннам. Мы можем составить следующее уравнение:

$4x + 7y + 8z = 44$

Поскольку x, y и z представляют собой количество грузовиков, они должны быть целыми и неотрицательными числами ($x \ge 0$, $y \ge 0$, $z \ge 0$).

Для нахождения всех возможных решений преобразуем уравнение. Выразим члены с коэффициентами, кратными 4:

$4x + 8z = 44 - 7y$

Вынесем общий множитель 4 в левой части:

$4(x + 2z) = 44 - 7y$

Из этого уравнения видно, что левая часть делится на 4. Следовательно, и правая часть ($44 - 7y$) должна быть кратна 4. Поскольку число 44 делится на 4, то и слагаемое $7y$ также должно делиться на 4. Так как числа 7 и 4 являются взаимно простыми, это возможно только если y делится на 4.

Теперь определим возможные значения для y. Учитывая, что $x$ и $z$ не могут быть отрицательными, максимальное значение для $7y$ не может превышать 44.

$7y \le 44 \implies y \le \frac{44}{7} \implies y \le 6.28$

Таким образом, y может принимать целые неотрицательные значения, кратные 4, которые меньше или равны 6.28. Этим условиям удовлетворяют только два значения: $y=0$ и $y=4$.

Рассмотрим оба случая.

Случай 1: используется 0 семитонных грузовиков ($y=0$)

Подставляем $y=0$ в наше уравнение:

$4x + 8z = 44$

Разделив обе части на 4, получаем более простое уравнение:

$x + 2z = 11$

Отсюда $x = 11 - 2z$. Так как $x \ge 0$, то $11 - 2z \ge 0$, что означает $2z \le 11$ или $z \le 5.5$. Переберем все возможные целые значения для z от 0 до 5:

• Если $z=0$, то $x = 11 - 2(0) = 11$. Решение: (x=11, y=0, z=0).
• Если $z=1$, то $x = 11 - 2(1) = 9$. Решение: (x=9, y=0, z=1).
• Если $z=2$, то $x = 11 - 2(2) = 7$. Решение: (x=7, y=0, z=2).
• Если $z=3$, то $x = 11 - 2(3) = 5$. Решение: (x=5, y=0, z=3).
• Если $z=4$, то $x = 11 - 2(4) = 3$. Решение: (x=3, y=0, z=4).
• Если $z=5$, то $x = 11 - 2(5) = 1$. Решение: (x=1, y=0, z=5).

Случай 2: используется 4 семитонных грузовика ($y=4$)

Подставляем $y=4$ в уравнение:

$4x + 7(4) + 8z = 44$

$4x + 28 + 8z = 44$

$4x + 8z = 16$

Разделив обе части на 4, получаем:

$x + 2z = 4$

Отсюда $x = 4 - 2z$. Так как $x \ge 0$, то $4 - 2z \ge 0$, что означает $2z \le 4$ или $z \le 2$. Переберем все возможные целые значения для z от 0 до 2:

• Если $z=0$, то $x = 4 - 2(0) = 4$. Решение: (x=4, y=4, z=0).
• Если $z=1$, то $x = 4 - 2(1) = 2$. Решение: (x=2, y=4, z=1).
• Если $z=2$, то $x = 4 - 2(2) = 0$. Решение: (x=0, y=4, z=2).

Мы нашли все возможные комбинации грузовиков.

Ответ: Задача имеет 9 возможных решений. Для перевозки 44 т груза можно использовать следующие комбинации грузовиков:

• 11 четырехтонных, 0 семитонных и 0 восьмитонных;
• 9 четырехтонных, 0 семитонных и 1 восьмитонный;
• 7 четырехтонных, 0 семитонных и 2 восьмитонных;
• 5 четырехтонных, 0 семитонных и 3 восьмитонных;
• 3 четырехтонных, 0 семитонных и 4 восьмитонных;
• 1 четырехтонный, 0 семитонных и 5 восьмитонных;
• 4 четырехтонных, 4 семитонных и 0 восьмитонных;
• 2 четырехтонных, 4 семитонных и 1 восьмитонный;
• 0 четырехтонных, 4 семитонных и 2 восьмитонных.