Страница 107 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Чему равно произведение разности двух выражений и их суммы?

1.

Это классическая формула сокращенного умножения, известная как "разность квадратов". Чтобы понять, почему она работает, давайте возьмем два произвольных выражения, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

Разность этих двух выражений записывается как $(a - b)$.

Сумма этих же выражений записывается как $(a + b)$.

Теперь найдем их произведение, то есть умножим разность на сумму:

$(a - b)(a + b)$

Чтобы раскрыть скобки, мы должны каждый член первого множителя умножить на каждый член второго множителя (правило умножения многочленов):

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Теперь упростим полученное выражение:

• $a \cdot a$ равно $a^2$.
• $b \cdot b$ равно $b^2$.
• Члены $a \cdot b$ и $-b \cdot a$ являются одинаковыми по модулю, но с противоположными знаками. Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), то $ab - ba = 0$. Эти члены взаимно уничтожаются.

После упрощения у нас остается:

$a^2 - b^2$

Таким образом, произведение разности двух выражений и их суммы всегда равно разности их квадратов.

Ответ: Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

2. Запишите формулу произведения разности и суммы двух выражений.

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Формула произведения разности и суммы двух выражений является одной из формул сокращенного умножения и называется "разность квадратов".

Пусть даны два выражения, которые мы обозначим переменными $a$ и $b$.

• Разность этих выражений: $(a - b)$
• Сумма этих выражений: $(a + b)$

Требуется найти их произведение: $(a - b)(a + b)$.

Для вывода формулы перемножим многочлены, раскрыв скобки. Каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго многочлена:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$

Поскольку от перемены мест множителей произведение не меняется ($a \cdot b = b \cdot a$), подобные слагаемые $ab$ и $-ab$ в сумме дают ноль и взаимно уничтожаются:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

Таким образом, мы получаем итоговую формулу. Словесно она звучит так: произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Ответ: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

615. Является ли тождеством равенство:

1) $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2;$

2) $(m + n)(m - n) = m^2 + n^2;$

3) $(x + y)(y - x) = y^2 - x^2;$

4) $(p - q)(p + q) = (p - q)^2?$

1) Чтобы проверить, является ли равенство $(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$ тождеством, необходимо преобразовать его левую часть. Выражение в левой части представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Воспользуемся формулой сокращенного умножения, известной как разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
Применив эту формулу, получаем:
$(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$.
Результат преобразования левой части полностью совпадает с правой частью равенства. Так как равенство верно при любых значениях переменных $b$ и $c$, оно является тождеством.
Ответ: да, является.

2) Рассмотрим равенство $(m + n)(m - n) = m^2 + n^2$. Снова преобразуем левую часть, используя формулу разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$.
$(m + n)(m - n) = m^2 - n^2$.
Теперь сравним полученное выражение с правой частью исходного равенства: $m^2 - n^2$ и $m^2 + n^2$. Эти выражения не тождественны, так как они равны только в случае, если $n^2 = -n^2$, что выполняется лишь при $n=0$. Для всех остальных значений $n$ равенство неверно. Например, при $m=3$ и $n=1$:
Левая часть: $(3 + 1)(3 - 1) = 4 \cdot 2 = 8$.
Правая часть: $3^2 + 1^2 = 9 + 1 = 10$.
Поскольку $8 \neq 10$, данное равенство не является тождеством.
Ответ: нет, не является.

3) Проверим равенство $(x + y)(y - x) = y^2 - x^2$. Преобразуем левую часть. Заметим, что $(x+y)$ можно записать как $(y+x)$. Тогда выражение примет вид: $(y + x)(y - x)$.
Это снова формула разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a=y$ и $b=x$.
$(y + x)(y - x) = y^2 - x^2$.
Левая часть после преобразования стала идентична правой части равенства. Следовательно, это тождество.
Ответ: да, является.

4) Рассмотрим равенство $(p - q)(p + q) = (p - q)^2$. Преобразуем обе части равенства по отдельности, используя формулы сокращенного умножения.
Левая часть (разность квадратов):
$(p - q)(p + q) = p^2 - q^2$.
Правая часть (квадрат разности):
$(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.
Теперь сравним полученные выражения: $p^2 - q^2$ и $p^2 - 2pq + q^2$. Они не равны. Чтобы убедиться в этом, подставим произвольные значения, например, $p=2$ и $q=1$:
Левая часть: $2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.
Правая часть: $2^2 - 2(2)(1) + 1^2 = 4 - 4 + 1 = 1$.
Так как $3 \neq 1$, равенство не выполняется для всех значений переменных, а значит, не является тождеством.
Ответ: нет, не является.

616. Какому из данных многочленов тождественно равно произведение $ (7a - 2b)(7a + 2b)$:

1) $7a^2 - 2b^2$;

2) $7a^2 + 2b^2$;

3) $49a^2 - 4b^2$;

4) $49a^2 + 4b^2$?

Для того чтобы найти, какому из данных многочленов тождественно равно произведение $(7a - 2b)(7a + 2b)$, необходимо раскрыть скобки. Это можно сделать с помощью формулы сокращенного умножения "разность квадратов".

Формула разности квадратов выглядит следующим образом:

$(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$

В данном выражении в качестве $x$ выступает $7a$, а в качестве $y$ — $2b$.

Применим формулу, подставив наши значения:

$(7a - 2b)(7a + 2b) = (7a)^2 - (2b)^2$

Теперь возведем в квадрат каждый член выражения:

$(7a)^2 = 7^2 \cdot a^2 = 49a^2$

$(2b)^2 = 2^2 \cdot b^2 = 4b^2$

Подставим полученные результаты обратно в формулу:

$(7a)^2 - (2b)^2 = 49a^2 - 4b^2$

Таким образом, произведение $(7a - 2b)(7a + 2b)$ тождественно равно многочлену $49a^2 - 4b^2$. Этот результат соответствует варианту ответа под номером 3.

Ответ: 3) $49a^2 - 4b^2$

617. Завершите преобразование выражения в многочлен:

1) $(c - 8)(c + 8) = c^2 - 8^2 = \dots$;

2) $(5x - 7y^2)(5x + 7y^2) = (5x)^2 - (7y^2)^2 = \dots$;

3) $(a^4 + b^3)(b^3 - a^4) = (b^3 + a^4)(b^3 - a^4) = (b^3)^2 - (a^4)^2 = \dots$;

4) $(-9xy - z)(9xy - z) = -(9xy + z)(9xy - z) = -((9xy)^2 - z^2) = \dots \dots .$

1) Для завершения преобразования выражения $(c - 8)(c + 8)$ используется формула разности квадратов $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = c$ и $b = 8$.
Продолжим данное в задаче преобразование: $(c - 8)(c + 8) = c^2 - 8^2 = c^2 - 64$.
Ответ: $c^2 - 64$

2) Выражение $(5x - 7y^2)(5x + 7y^2)$ также преобразуется по формуле разности квадратов. Здесь $a = 5x$ и $b = 7y^2$.
Продолжим данное в задаче преобразование, возводя каждый член в квадрат: $(5x)^2 - (7y^2)^2 = 5^2x^2 - 7^2(y^2)^2 = 25x^2 - 49y^4$.
Ответ: $25x^2 - 49y^4$

3) Для преобразования выражения $(a^4 + b^3)(b^3 - a^4)$ сначала переставим слагаемые в первой скобке, чтобы получить стандартный вид для формулы разности квадратов: $(b^3 + a^4)(b^3 - a^4)$. Здесь $a = b^3$ и $b = a^4$.
Продолжим данное в задаче преобразование, используя правило возведения степени в степень $((x^m)^n = x^{m \cdot n})$: $(b^3)^2 - (a^4)^2 = b^{3 \cdot 2} - a^{4 \cdot 2} = b^6 - a^8$.
Ответ: $b^6 - a^8$

4) В выражении $(-9xy - z)(9xy - z)$ вынесем минус за скобки в первом множителе: $-(9xy + z)(9xy - z)$. Теперь выражение в скобках является разностью квадратов, где $a = 9xy$ и $b = z$.
Продолжим данное в задаче преобразование: $-((9xy)^2 - z^2) = -(9^2x^2y^2 - z^2) = -(81x^2y^2 - z^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки на противоположные: $-81x^2y^2 + z^2$, что можно записать как $z^2 - 81x^2y^2$.
Ответ: $z^2 - 81x^2y^2$

618. Завершите преобразование выражения в многочлен:

1) $(2ab + 3)(2ab - 3) = (2ab)^2 - 3^2 = ...$

2) $(6m^2 - 11p^5)(11p^5 + 6m^2) = (6m^2 - 11p^5)(6m^2 + 11p^5) = (6m^2)^2 - ...$

1) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений. Для его преобразования в многочлен используется формула разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Завершим преобразование, начатое в условии, возведя каждый член в соответствующую степень:

$(2ab + 3)(2ab - 3) = (2ab)^2 - 3^2 = 2^2a^2b^2 - 9 = 4a^2b^2 - 9$.

Ответ: $4a^2b^2 - 9$.

2) Для преобразования этого выражения сначала воспользуемся переместительным свойством сложения и поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(11p^5 + 6m^2) = (6m^2 + 11p^5)$. После этого выражение примет вид, подходящий для применения формулы разности квадратов. Завершим преобразование:

$(6m^2 - 11p^5)(11p^5 + 6m^2) = (6m^2 - 11p^5)(6m^2 + 11p^5) = (6m^2)^2 - (11p^5)^2 = 36m^4 - 121p^{10}$.

Ответ: $36m^4 - 121p^{10}$.

619. Выполните умножение многочленов:

1) $(m - n)(m + n)$;

2) $(x - 1)(x + 1)$;

3) $(9 - y)(9 + y)$;

4) $(3b - 1)(3b + 1)$;

5) $(10m - 7)(10m + 7)$;

6) $(4a - b)(b + 4a)$;

7) $(5b + 1)(1 - 5b)$;

8) $(3x - 5y)(3x + 5y)$;

9) $(13c - 10d)(13c + 10d)$;

10) $(8m + 11n)(11n - 8m)$.

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения, известная как разность квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1) В выражении $(m-n)(m+n)$ имеем $a=m$ и $b=n$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(m-n)(m+n) = m^2 - n^2$

Ответ: $m^2 - n^2$

2) В выражении $(x-1)(x+1)$ имеем $a=x$ и $b=1$.

По формуле разности квадратов:

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$

Ответ: $x^2 - 1$

3) В выражении $(9-y)(9+y)$ имеем $a=9$ и $b=y$.

По формуле разности квадратов:

$(9-y)(9+y) = 9^2 - y^2 = 81 - y^2$

Ответ: $81 - y^2$

4) В выражении $(3b-1)(3b+1)$ имеем $a=3b$ и $b=1$.

По формуле разности квадратов:

$(3b-1)(3b+1) = (3b)^2 - 1^2 = 9b^2 - 1$

Ответ: $9b^2 - 1$

5) В выражении $(10m-7)(10m+7)$ имеем $a=10m$ и $b=7$.

По формуле разности квадратов:

$(10m-7)(10m+7) = (10m)^2 - 7^2 = 100m^2 - 49$

Ответ: $100m^2 - 49$

6) В выражении $(4a-b)(b+4a)$ сначала поменяем местами слагаемые во второй скобке: $b+4a = 4a+b$.

Получаем выражение $(4a-b)(4a+b)$. Здесь $a=4a$ и $b=b$.

По формуле разности квадратов:

$(4a-b)(4a+b) = (4a)^2 - b^2 = 16a^2 - b^2$

Ответ: $16a^2 - b^2$

7) В выражении $(5b+1)(1-5b)$ преобразуем первую скобку, поменяв слагаемые местами: $5b+1=1+5b$.

Получаем выражение $(1+5b)(1-5b)$. Здесь $a=1$ и $b=5b$.

По формуле разности квадратов:

$(1+5b)(1-5b) = 1^2 - (5b)^2 = 1 - 25b^2$

Ответ: $1 - 25b^2$

8) В выражении $(3x-5y)(3x+5y)$ имеем $a=3x$ и $b=5y$.

По формуле разности квадратов:

$(3x-5y)(3x+5y) = (3x)^2 - (5y)^2 = 9x^2 - 25y^2$

Ответ: $9x^2 - 25y^2$

9) В выражении $(13c-10d)(13c+10d)$ имеем $a=13c$ и $b=10d$.

По формуле разности квадратов:

$(13c-10d)(13c+10d) = (13c)^2 - (10d)^2 = 169c^2 - 100d^2$

Ответ: $169c^2 - 100d^2$

10) В выражении $(8m+11n)(11n-8m)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке: $8m+11n=11n+8m$.

Получаем выражение $(11n+8m)(11n-8m)$. Здесь $a=11n$ и $b=8m$.

По формуле разности квадратов:

$(11n+8m)(11n-8m) = (11n)^2 - (8m)^2 = 121n^2 - 64m^2$

Ответ: $121n^2 - 64m^2$

620. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $(c - 2)(c + 2);$

2) $(12 - x)(12 + x);$

3) $(3x + y)(3x - y);$

4) $(6x - 9)(6x + 9);$

5) $(x + 7)(7 - x);$

6) $(5a - 8b)(5a + 8b);$

7) $(8m + 2)(2 - 8m);$

8) $(13c - 14d)(14d + 13c).$

1) Для преобразования выражения $(c - 2)(c + 2)$ в многочлен используем формулу разности квадратов. В данном случае $a = c$ и $b = 2$.
$(c - 2)(c + 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$.
Ответ: $c^2 - 4$

2) Выражение $(12 - x)(12 + x)$ также преобразуется по формуле разности квадратов. Здесь $a = 12$ и $b = x$.
$(12 - x)(12 + x) = 12^2 - x^2 = 144 - x^2$.
Ответ: $144 - x^2$

3) В выражении $(3x + y)(3x - y)$ используем ту же формулу $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где $a = 3x$ и $b = y$.
$(3x + y)(3x - y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$.
Ответ: $9x^2 - y^2$

4) Для выражения $(6x - 9)(6x + 9)$ применяем формулу разности квадратов, где $a = 6x$ и $b = 9$.
$(6x - 9)(6x + 9) = (6x)^2 - 9^2 = 36x^2 - 81$.
Ответ: $36x^2 - 81$

5) В выражении $(x + 7)(7 - x)$ переставим слагаемые в первой скобке: $(x + 7) = (7 + x)$. Получим $(7 + x)(7 - x)$. Теперь можно применить формулу разности квадратов, где $a = 7$ и $b = x$.
$(7 + x)(7 - x) = 7^2 - x^2 = 49 - x^2$.
Ответ: $49 - x^2$

6) Выражение $(5a - 8b)(5a + 8b)$ преобразуется по формуле разности квадратов, где $a = 5a$ и $b = 8b$.
$(5a - 8b)(5a + 8b) = (5a)^2 - (8b)^2 = 25a^2 - 64b^2$.
Ответ: $25a^2 - 64b^2$

7) В выражении $(8m + 2)(2 - 8m)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее: $(8m + 2) = (2 + 8m)$. Получаем выражение $(2 + 8m)(2 - 8m)$. Применяем формулу разности квадратов, где $a = 2$ и $b = 8m$.
$(2 + 8m)(2 - 8m) = 2^2 - (8m)^2 = 4 - 64m^2$.
Ответ: $4 - 64m^2$

8) В выражении $(13c - 14d)(14d + 13c)$ поменяем местами слагаемые во второй скобке: $(14d + 13c) = (13c + 14d)$. Получаем $(13c - 14d)(13c + 14d)$. Теперь применяем формулу разности квадратов, где $a = 13c$ и $b = 14d$.
$(13c - 14d)(13c + 14d) = (13c)^2 - (14d)^2 = 169c^2 - 196d^2$.
Ответ: $169c^2 - 196d^2$

621. Выполните умножение:

1) $(a^2 - 3)(a^2 + 3);$

2) $(5 + b^2)(b^2 - 5);$

3) $(3x - 2y^2)(3x + 2y^2);$

4) $(10p^3 - 7k)(10p^3 + 7k);$

5) $(4x^2 - 8y^3)(4x^2 + 8y^3);$

6) $(11a^3 + 5b^2)(5b^2 - 11a^3);$

7) $(7 - xy)(7 + xy);$

8) $(8a^3b - \frac{1}{3}ab^2)(8a^3b + \frac{1}{3}ab^2);$

9) $(0,3m^5 + 0,1n^3)(0,3m^5 - 0,1n^3);$

10) $(\frac{7}{9}a^2c - 1,4b^4)(1,4b^4 + \frac{7}{9}a^2c).$

Для решения всех примеров используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

1) $(a^2 - 3)(a^2 + 3)$

Применяем формулу разности квадратов, где в качестве $a$ выступает $a^2$, а в качестве $b$ — число 3.

$(a^2 - 3)(a^2 + 3) = (a^2)^2 - 3^2 = a^{2 \cdot 2} - 9 = a^4 - 9$.

Ответ: $a^4 - 9$.

2) $(5 + b^2)(b^2 - 5)$

Чтобы привести выражение к стандартному виду формулы, переставим слагаемые в первой скобке: $(5 + b^2) = (b^2 + 5)$. Получаем $(b^2 + 5)(b^2 - 5)$.

Применяем формулу, где $a = b^2$, а $b = 5$.

$(b^2 + 5)(b^2 - 5) = (b^2)^2 - 5^2 = b^{2 \cdot 2} - 25 = b^4 - 25$.

Ответ: $b^4 - 25$.

3) $(3x - 2y^2)(3x + 2y^2)$

Применяем формулу, где $a = 3x$, а $b = 2y^2$.

$(3x - 2y^2)(3x + 2y^2) = (3x)^2 - (2y^2)^2 = 9x^2 - 4y^4$.

Ответ: $9x^2 - 4y^4$.

4) $(10p^3 - 7k)(10p^3 + 7k)$

Применяем формулу, где $a = 10p^3$, а $b = 7k$.

$(10p^3 - 7k)(10p^3 + 7k) = (10p^3)^2 - (7k)^2 = 100p^{3 \cdot 2} - 49k^2 = 100p^6 - 49k^2$.

Ответ: $100p^6 - 49k^2$.

5) $(4x^2 - 8y^3)(4x^2 + 8y^3)$

Применяем формулу, где $a = 4x^2$, а $b = 8y^3$.

$(4x^2 - 8y^3)(4x^2 + 8y^3) = (4x^2)^2 - (8y^3)^2 = 16x^{2 \cdot 2} - 64y^{3 \cdot 2} = 16x^4 - 64y^6$.

Ответ: $16x^4 - 64y^6$.

6) $(11a^3 + 5b^2)(5b^2 - 11a^3)$

Переставим слагаемые в первой скобке: $(11a^3 + 5b^2) = (5b^2 + 11a^3)$. Выражение примет вид $(5b^2 + 11a^3)(5b^2 - 11a^3)$.

Применяем формулу, где $a = 5b^2$, а $b = 11a^3$.

$(5b^2 + 11a^3)(5b^2 - 11a^3) = (5b^2)^2 - (11a^3)^2 = 25b^{2 \cdot 2} - 121a^{3 \cdot 2} = 25b^4 - 121a^6$.

Ответ: $25b^4 - 121a^6$.

7) $(7 - xy)(7 + xy)$

Применяем формулу, где $a = 7$, а $b = xy$.

$(7 - xy)(7 + xy) = 7^2 - (xy)^2 = 49 - x^2y^2$.

Ответ: $49 - x^2y^2$.

8) $(8a^3b - \frac{1}{3}ab^2)(8a^3b + \frac{1}{3}ab^2)$

Применяем формулу, где $a = 8a^3b$, а $b = \frac{1}{3}ab^2$.

$(8a^3b - \frac{1}{3}ab^2)(8a^3b + \frac{1}{3}ab^2) = (8a^3b)^2 - (\frac{1}{3}ab^2)^2 = 64a^{3 \cdot 2}b^2 - \frac{1}{9}a^2b^{2 \cdot 2} = 64a^6b^2 - \frac{1}{9}a^2b^4$.

Ответ: $64a^6b^2 - \frac{1}{9}a^2b^4$.

9) $(0,3m^5 + 0,1n^3)(0,3m^5 - 0,1n^3)$

Выражение имеет вид $(a+b)(a-b)$. Применяем формулу, где $a = 0,3m^5$, а $b = 0,1n^3$.

$(0,3m^5 + 0,1n^3)(0,3m^5 - 0,1n^3) = (0,3m^5)^2 - (0,1n^3)^2 = 0,09m^{5 \cdot 2} - 0,01n^{3 \cdot 2} = 0,09m^{10} - 0,01n^6$.

Ответ: $0,09m^{10} - 0,01n^6$.

10) $(\frac{7}{9}a^2c - 1,4b^4)(1,4b^4 + \frac{7}{9}a^2c)$

Переставим слагаемые во второй скобке: $(1,4b^4 + \frac{7}{9}a^2c) = (\frac{7}{9}a^2c + 1,4b^4)$. Выражение примет вид $(\frac{7}{9}a^2c - 1,4b^4)(\frac{7}{9}a^2c + 1,4b^4)$.

Применяем формулу, где $a = \frac{7}{9}a^2c$, а $b = 1,4b^4$.

$(\frac{7}{9}a^2c - 1,4b^4)(\frac{7}{9}a^2c + 1,4b^4) = (\frac{7}{9}a^2c)^2 - (1,4b^4)^2 = \frac{7^2}{9^2}a^{2 \cdot 2}c^2 - 1,4^2 \cdot b^{4 \cdot 2} = \frac{49}{81}a^4c^2 - 1,96b^8$.

Ответ: $\frac{49}{81}a^4c^2 - 1,96b^8$.