Страница 108 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

622. Выполните умножение:

1) $(x^3 + 4)(x^3 - 4)$;

2) $(ab - c)(ab + c)$;

3) $(x - y^2)(y^2 + x)$;

4) $(3m^2 - 2c)(3m^2 + 2c)$;

5) $(6a^3 - 8b)(6a^3 + 8b)$;

6) $(5n^4 - m^4)(5n^4 + m^4)$;

7) $(0,2m^8 - 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6)$;

8) $(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9)(\frac{4}{11}k^9 - \frac{2}{7}p^7)$.

1) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений, поэтому для его упрощения применим формулу разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^3$ и $b = 4$. Следовательно:
$(x^3 + 4)(x^3 - 4) = (x^3)^2 - 4^2 = x^{3 \cdot 2} - 16 = x^6 - 16$.
Ответ: $x^6 - 16$.

2) Для умножения $(ab-c)(ab+c)$ воспользуемся формулой разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Пусть $a=ab$ и $b=c$. Тогда:
$(ab-c)(ab+c) = (ab)^2 - c^2 = a^2b^2 - c^2$.
Ответ: $a^2b^2 - c^2$.

3) В выражении $(x - y^2)(y^2 + x)$ поменяем слагаемые во второй скобке местами, чтобы получить стандартный вид: $(x - y^2)(x + y^2)$. Теперь применим формулу разности квадратов, где $a=x$ и $b=y^2$:
$(x - y^2)(x + y^2) = x^2 - (y^2)^2 = x^2 - y^{2 \cdot 2} = x^2 - y^4$.
Ответ: $x^2 - y^4$.

4) Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ для выражения $(3m^2 - 2c)(3m^2 + 2c)$, где $a = 3m^2$ и $b = 2c$, получаем:
$(3m^2)^2 - (2c)^2 = 3^2(m^2)^2 - 2^2c^2 = 9m^4 - 4c^2$.
Ответ: $9m^4 - 4c^2$.

5) Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. В данном случае $a = 6a^3$ и $b = 8b$. Получаем:
$(6a^3 - 8b)(6a^3 + 8b) = (6a^3)^2 - (8b)^2 = 6^2(a^3)^2 - 8^2b^2 = 36a^6 - 64b^2$.
Ответ: $36a^6 - 64b^2$.

6) Для выражения $(5n^4 - m^4)(5n^4 + m^4)$ используем формулу разности квадратов. Пусть $a = 5n^4$ и $b = m^4$. Тогда:
$(5n^4 - m^4)(5n^4 + m^4) = (5n^4)^2 - (m^4)^2 = 5^2(n^4)^2 - (m^4)^2 = 25n^8 - m^8$.
Ответ: $25n^8 - m^8$.

7) Умножение $(0,2m^8 - 0,8n^6)(0,2m^8 + 0,8n^6)$ выполняется по формуле разности квадратов. Здесь $a = 0,2m^8$ и $b = 0,8n^6$. Вычисляем:
$(0,2m^8)^2 - (0,8n^6)^2 = 0,2^2(m^8)^2 - 0,8^2(n^6)^2 = 0,04m^{16} - 0,64n^{12}$.
Ответ: $0,04m^{16} - 0,64n^{12}$.

8) В произведении $(\frac{2}{7}p^7 + \frac{4}{11}k^9)(\frac{4}{11}k^9 - \frac{2}{7}p^7)$ для удобства поменяем местами слагаемые в первой скобке: $(\frac{4}{11}k^9 + \frac{2}{7}p^7)$. Теперь выражение имеет вид $(\frac{4}{11}k^9 + \frac{2}{7}p^7)(\frac{4}{11}k^9 - \frac{2}{7}p^7)$, что является произведением суммы и разности. Применим формулу, где $a = \frac{4}{11}k^9$ и $b = \frac{2}{7}p^7$:
$(\frac{4}{11}k^9)^2 - (\frac{2}{7}p^7)^2 = (\frac{4}{11})^2(k^9)^2 - (\frac{2}{7})^2(p^7)^2 = \frac{16}{121}k^{18} - \frac{4}{49}p^{14}$.
Ответ: $\frac{16}{121}k^{18} - \frac{4}{49}p^{14}$.

623. Упростите выражение:

1) $(2a - b)(2a + b) + b^2;$

2) $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x);$

3) $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9);$

4) $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y);$

5) $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6);$

6) $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b).$

1) В выражении $(2a - b)(2a + b) + b^2$ для произведения $(2a - b)(2a + b)$ применим формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = 2a$ и $y = b$.
Получаем: $(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(4a^2 - b^2) + b^2 = 4a^2 - b^2 + b^2$.
Взаимно уничтожаем $-b^2$ и $b^2$ и получаем конечный результат.
$4a^2 - b^2 + b^2 = 4a^2$.
Ответ: $4a^2$.

2) В выражении $10x^2 + (y - 5x)(y + 5x)$ для произведения $(y - 5x)(y + 5x)$ также используем формулу разности квадратов.
$(y - 5x)(y + 5x) = y^2 - (5x)^2 = y^2 - 25x^2$.
Подставляем полученное выражение в исходное:
$10x^2 + (y^2 - 25x^2) = 10x^2 + y^2 - 25x^2$.
Приводим подобные слагаемые $10x^2$ и $-25x^2$:
$y^2 + (10 - 25)x^2 = y^2 - 15x^2$.
Ответ: $y^2 - 15x^2$.

3) Рассмотрим выражение $64m^2 - (8m + 9)(8m - 9)$. Произведение $(8m + 9)(8m - 9)$ упрощается по формуле разности квадратов.
$(8m + 9)(8m - 9) = (8m)^2 - 9^2 = 64m^2 - 81$.
Подставим это в исходное выражение, обращая внимание на знак минус перед скобками:
$64m^2 - (64m^2 - 81)$.
Раскрываем скобки, меняя знаки слагаемых внутри на противоположные:
$64m^2 - 64m^2 + 81$.
Взаимно уничтожаем $64m^2$ и $-64m^2$, и получаем число.
$0 + 81 = 81$.
Ответ: $81$.

4) Выражение $(4x - 7y)(4x + 7y) + (7x - 4y)(7x + 4y)$ является суммой двух произведений, каждое из которых можно упростить по формуле разности квадратов.
Упростим первую часть: $(4x - 7y)(4x + 7y) = (4x)^2 - (7y)^2 = 16x^2 - 49y^2$.
Упростим вторую часть: $(7x - 4y)(7x + 4y) = (7x)^2 - (4y)^2 = 49x^2 - 16y^2$.
Теперь сложим полученные результаты:
$(16x^2 - 49y^2) + (49x^2 - 16y^2) = 16x^2 - 49y^2 + 49x^2 - 16y^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(16x^2 + 49x^2) + (-49y^2 - 16y^2) = 65x^2 - 65y^2$.
Ответ: $65x^2 - 65y^2$.

5) В выражении $(a - 2)(a + 3) + (6 - a)(a + 6)$ раскроем скобки в каждом слагаемом по отдельности.
Первое слагаемое: $(a - 2)(a + 3) = a \cdot a + 3 \cdot a - 2 \cdot a - 2 \cdot 3 = a^2 + 3a - 2a - 6 = a^2 + a - 6$.
Второе слагаемое $(6 - a)(a + 6)$ можно представить как $(6 - a)(6 + a)$ и применить формулу разности квадратов: $6^2 - a^2 = 36 - a^2$.
Сложим упрощенные части:
$(a^2 + a - 6) + (36 - a^2) = a^2 + a - 6 + 36 - a^2$.
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(a^2 - a^2) + a + (-6 + 36) = 0 + a + 30 = a + 30$.
Ответ: $a + 30$.

6) Упростим выражение $3a(a - b) - (3a + 2b)(3a - 2b)$.
Сначала раскроем скобки в первой части, используя распределительный закон: $3a(a - b) = 3a^2 - 3ab$.
Вторая часть $(3a + 2b)(3a - 2b)$ является разностью квадратов:
$(3a + 2b)(3a - 2b) = (3a)^2 - (2b)^2 = 9a^2 - 4b^2$.
Подставим результаты в исходное выражение:
$(3a^2 - 3ab) - (9a^2 - 4b^2)$.
Раскроем скобки, изменив знаки у членов второго многочлена:
$3a^2 - 3ab - 9a^2 + 4b^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(3a^2 - 9a^2) - 3ab + 4b^2 = -6a^2 - 3ab + 4b^2$.
Ответ: $-6a^2 - 3ab + 4b^2$.

624. Упростите выражение:

1) $(9a - 2)(9a + 2) - 18a^2;$

2) $25m^2 - (5m - 7)(5m + 7);$

3) $(b + 7)(b - 4) + (2b - 6)(2b + 6);$

4) $4x(3x - 10y) - (4x + y)(4x - y).$

1) Для упрощения выражения $(9a - 2)(9a + 2) - 18a^2$ воспользуемся формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ для произведения скобок $(9a - 2)(9a + 2)$. В данном случае $x = 9a$ и $y = 2$.
$(9a - 2)(9a + 2) = (9a)^2 - 2^2 = 81a^2 - 4$.
Теперь подставим полученное выражение обратно в исходное:
$(81a^2 - 4) - 18a^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$81a^2 - 18a^2 - 4 = 63a^2 - 4$.
Ответ: $63a^2 - 4$.

2) Рассмотрим выражение $25m^2 - (5m - 7)(5m + 7)$. Произведение $(5m - 7)(5m + 7)$ также является разностью квадратов, где $x = 5m$ и $y = 7$.
$(5m - 7)(5m + 7) = (5m)^2 - 7^2 = 25m^2 - 49$.
Подставим это в исходное выражение:
$25m^2 - (25m^2 - 49)$.
Раскроем скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные:
$25m^2 - 25m^2 + 49$.
Приведем подобные слагаемые:
$(25 - 25)m^2 + 49 = 0 \cdot m^2 + 49 = 49$.
Ответ: $49$.

3) Упростим выражение $(b + 7)(b - 4) + (2b - 6)(2b + 6)$. Оно состоит из двух частей.
Сначала раскроем первые скобки, перемножив многочлены:
$(b + 7)(b - 4) = b \cdot b + b \cdot (-4) + 7 \cdot b + 7 \cdot (-4) = b^2 - 4b + 7b - 28 = b^2 + 3b - 28$.
Вторые скобки $(2b - 6)(2b + 6)$ представляют собой формулу разности квадратов:
$(2b - 6)(2b + 6) = (2b)^2 - 6^2 = 4b^2 - 36$.
Теперь сложим результаты:
$(b^2 + 3b - 28) + (4b^2 - 36)$.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$b^2 + 3b - 28 + 4b^2 - 36 = (b^2 + 4b^2) + 3b + (-28 - 36) = 5b^2 + 3b - 64$.
Ответ: $5b^2 + 3b - 64$.

4) Упростим выражение $4x(3x - 10y) - (4x + y)(4x - y)$.
Раскроем первую часть, умножив одночлен на многочлен:
$4x(3x - 10y) = 4x \cdot 3x - 4x \cdot 10y = 12x^2 - 40xy$.
Вторая часть $(4x + y)(4x - y)$ является разностью квадратов:
$(4x + y)(4x - y) = (4x)^2 - y^2 = 16x^2 - y^2$.
Подставим полученные выражения в исходное:
$(12x^2 - 40xy) - (16x^2 - y^2)$.
Раскроем скобки, меняя знаки:
$12x^2 - 40xy - 16x^2 + y^2$.
Приведем подобные слагаемые:
$(12x^2 - 16x^2) - 40xy + y^2 = -4x^2 - 40xy + y^2$.
Ответ: $-4x^2 - 40xy + y^2$.

625. На какое выражение надо умножить двучлен $0,3x^3 - xy^2$, чтобы произведение было равно двучлену $0,09x^6 - x^2y^4$?

Обозначим искомое выражение через $A$. Согласно условию задачи, произведение двучлена $0,3x^3 - xy^2$ на выражение $A$ должно быть равно двучлену $0,09x^6 - x^2y^4$. Запишем это в виде уравнения:
$(0,3x^3 - xy^2) \cdot A = 0,09x^6 - x^2y^4$

Чтобы найти $A$, необходимо разделить $0,09x^6 - x^2y^4$ на $0,3x^3 - xy^2$:
$A = \frac{0,09x^6 - x^2y^4}{0,3x^3 - xy^2}$

Заметим, что выражение в числителе $0,09x^6 - x^2y^4$ является разностью квадратов. Можно применить формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.
В нашем случае:
$a^2 = 0,09x^6 = (0,3x^3)^2$, следовательно $a = 0,3x^3$.
$b^2 = x^2y^4 = (xy^2)^2$, следовательно $b = xy^2$.

Теперь мы можем разложить числитель на множители:
$0,09x^6 - x^2y^4 = (0,3x^3 - xy^2)(0,3x^3 + xy^2)$

Подставим полученное разложение обратно в выражение для $A$:
$A = \frac{(0,3x^3 - xy^2)(0,3x^3 + xy^2)}{0,3x^3 - xy^2}$

Сократив дробь на общий множитель $(0,3x^3 - xy^2)$, получим:
$A = 0,3x^3 + xy^2$

Таким образом, чтобы получить двучлен $0,09x^6 - x^2y^4$, нужно умножить двучлен $0,3x^3 - xy^2$ на выражение $0,3x^3 + xy^2$.

Ответ: на выражение $0,3x^3 + xy^2$.

626. На какое выражение надо умножить многочлен $7t^4 + 9p^5$, чтобы произведение было равно многочлену $49t^8 - 81p^{10}$?

Пусть искомое выражение, на которое нужно умножить многочлен $7t^4 + 9p^5$, равно $X$. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:
$(7t^4 + 9p^5) \cdot X = 49t^8 - 81p^{10}$

Чтобы найти $X$, необходимо разделить многочлен $49t^8 - 81p^{10}$ на многочлен $7t^4 + 9p^5$:
$X = \frac{49t^8 - 81p^{10}}{7t^4 + 9p^5}$

Заметим, что выражение в числителе $49t^8 - 81p^{10}$ представляет собой разность квадратов. Воспользуемся формулой сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Представим каждый член числителя в виде квадрата:
$49t^8 = (7t^4)^2$
$81p^{10} = (9p^5)^2$

Теперь разложим числитель на множители, где $a = 7t^4$ и $b = 9p^5$:
$49t^8 - 81p^{10} = (7t^4)^2 - (9p^5)^2 = (7t^4 - 9p^5)(7t^4 + 9p^5)$

Подставим полученное разложение обратно в выражение для $X$:
$X = \frac{(7t^4 - 9p^5)(7t^4 + 9p^5)}{7t^4 + 9p^5}$

Сократив дробь на общий множитель $(7t^4 + 9p^5)$, получим искомое выражение:
$X = 7t^4 - 9p^5$

Ответ: $7t^4 - 9p^5$

627. Какие одночлены надо подставить вместо звездочек, чтобы выполнялось тождество:

1) $ (* - 12a)(* + *) = 9b^2 - * $

2) $ (* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - * $

3) $ (0.7p + *)(* - 0.7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0.49p^2 $

4) $ (3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6? $

1) Исходное тождество: $(* - 12a)(* + *) = 9b^2 - *$.

Данное выражение является формулой разности квадратов: $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$.

Правая часть тождества $9b^2 - *$ представляет собой разность. Первый член $9b^2$ является квадратом одночлена $3b$, так как $(3b)^2 = 9b^2$.

Следовательно, первый одночлен в скобках (первая звёздочка) равен $3b$. Тождество принимает вид: $(3b - 12a)(3b + *) = 9b^2 - *$.

Согласно формуле разности квадратов, второй член во второй скобке должен быть таким же, как второй член в первой скобке. Таким образом, вторая звёздочка — это $12a$.

Теперь левая часть выглядит так: $(3b - 12a)(3b + 12a)$.

Применяя формулу разности квадратов, получаем: $(3b)^2 - (12a)^2 = 9b^2 - 144a^2$.

Сравнивая полученный результат с правой частью исходного тождества $9b^2 - *$, находим, что третья звёздочка равна $144a^2$.

Проверка: $(3b - 12a)(3b + 12a) = 9b^2 - 144a^2$. Тождество выполняется.

Ответ: первая звёздочка — $3b$, вторая — $12a$, третья — $144a^2$.

2) Исходное тождество: $(* - 5c)(* + 5c) = 16d^2 - *$.

Левая часть тождества имеет вид $(x - y)(x + y)$, где $y = 5c$, а $x$ — неизвестный одночлен (звёздочка). Это формула разности квадратов, которая раскрывается как $x^2 - y^2$.

Следовательно, левая часть равна $(*)^2 - (5c)^2 = (*)^2 - 25c^2$.

Приравниваем это к правой части: $(*)^2 - 25c^2 = 16d^2 - *$.

Отсюда видно, что $(*)^2$ в левой части должно быть равно $16d^2$ в правой. Найдём одночлен, квадрат которого равен $16d^2$: $\sqrt{16d^2} = 4d$.

Таким образом, первые две звёздочки (в скобках) равны $4d$.

Теперь тождество выглядит так: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - *$.

Раскроем левую часть по формуле разности квадратов: $(4d)^2 - (5c)^2 = 16d^2 - 25c^2$.

Сравнивая с правой частью $16d^2 - *$, заключаем, что последняя звёздочка равна $25c^2$.

Проверка: $(4d - 5c)(4d + 5c) = 16d^2 - 25c^2$. Тождество выполняется.

Ответ: первая и вторая звёздочки — $4d$, третья — $25c^2$.

3) Исходное тождество: $(0,7p + *)(* - 0,7p) = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Переставим множители и слагаемые в первой скобке, чтобы левая часть соответствовала стандартному виду формулы разности квадратов: $(* - 0,7p)(* + 0,7p)$.

Это выражение равно $(*)^2 - (0,7p)^2$.

Вычислим $(0,7p)^2 = 0,7^2 \cdot p^2 = 0,49p^2$.

Тогда левая часть равна $(*)^2 - 0,49p^2$.

Приравниваем её к правой части: $(*)^2 - 0,49p^2 = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$.

Отсюда следует, что $(*)^2 = \frac{1}{9}m^8$.

Найдём одночлен, квадрат которого равен $\frac{1}{9}m^8$: $\sqrt{\frac{1}{9}m^8} = \sqrt{\frac{1}{9}} \cdot \sqrt{m^8} = \frac{1}{3}m^4$.

Следовательно, обе звёздочки в левой части равны $\frac{1}{3}m^4$.

Проверка: $(0,7p + \frac{1}{3}m^4)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = (\frac{1}{3}m^4 + 0,7p)(\frac{1}{3}m^4 - 0,7p) = (\frac{1}{3}m^4)^2 - (0,7p)^2 = \frac{1}{9}m^8 - 0,49p^2$. Тождество выполняется.

Ответ: обе звёздочки равны $\frac{1}{3}m^4$.

4) Исходное тождество: $(3m^2 + *)(* - *) = 9m^4 - n^6$.

Правая часть тождества $9m^4 - n^6$ является разностью квадратов.

Представим её в виде $x^2 - y^2$:

$9m^4 = (3m^2)^2$

$n^6 = (n^3)^2$

Таким образом, $9m^4 - n^6 = (3m^2)^2 - (n^3)^2$.

Применяя формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$, получаем:

$(3m^2)^2 - (n^3)^2 = (3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3)$.

Теперь сравним это выражение с левой частью исходного тождества: $(3m^2 + *)(* - *)$.

Сравнивая множитель $(3m^2 + n^3)$ с $(3m^2 + *)$, видим, что первая звёздочка равна $n^3$.

Сравнивая множитель $(3m^2 - n^3)$ с $(* - *)$, видим, что вторая звёздочка равна $3m^2$, а третья — $n^3$.

Проверка: $(3m^2 + n^3)(3m^2 - n^3) = (3m^2)^2 - (n^3)^2 = 9m^4 - n^6$. Тождество выполняется.

Ответ: первая звёздочка — $n^3$, вторая — $3m^2$, третья — $n^3$.

628. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы выполнялось тождество:

1) $(8a^2b - *)(8a^2b + *) = * - 25c^6;$

2) $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$

1)
Данное тождество представляет собой формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.
Левая часть исходного выражения имеет вид $(8a^2b - *) (8a^2b + *)$. Сравнивая с формулой, видим, что первое слагаемое $a$ в формуле равно $8a^2b$.
Правая часть выражения имеет вид $* - 25c^6$. Сравнивая с формулой, видим, что $b^2 = 25c^6$.
Найдем второе слагаемое $b$, извлекая квадратный корень: $b = \sqrt{25c^6} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{c^6} = 5c^{6/2} = 5c^3$.
Таким образом, недостающий одночлен в скобках (на месте первой и второй звездочек) — это $5c^3$.
Теперь найдем одночлен на месте третьей звездочки в правой части. Он равен квадрату первого слагаемого из скобок: $a^2 = (8a^2b)^2 = 8^2 \cdot (a^2)^2 \cdot b^2 = 64a^4b^2$.
Заполняем все пропуски и получаем итоговое тождество.
Ответ: $(8a^2b - 5c^3)(8a^2b + 5c^3) = 64a^4b^2 - 25c^6$.

2)
Это тождество также является формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Рассмотрим правую часть тождества: $\frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$.
Представим каждый член в виде квадрата:
$\frac{1}{225}a^4 = (\frac{1}{15}a^2)^2$
$\frac{1}{144}x^8y^{10} = (\frac{1}{12}x^4y^5)^2$
Таким образом, правая часть равна $(\frac{1}{15}a^2)^2 - (\frac{1}{12}x^4y^5)^2$.
Следовательно, левая часть должна быть произведением разности и суммы этих выражений: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5)$.
Сравним это с левой частью исходного выражения: $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + *)$.
Из сравнения первой скобки $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)$ и $(* - \frac{1}{12}x^4y^5)$ видно, что первая звездочка — это $\frac{1}{15}a^2$.
Из сравнения второй скобки $(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5)$ и $(\frac{1}{15}a^2 + *)$ видно, что вторая звездочка — это $\frac{1}{12}x^4y^5$.
Заполняем пропуски.
Ответ: $(\frac{1}{15}a^2 - \frac{1}{12}x^4y^5)(\frac{1}{15}a^2 + \frac{1}{12}x^4y^5) = \frac{1}{225}a^4 - \frac{1}{144}x^8y^{10}$.

629. Представьте в виде многочлена выражение:

1) $a(a - 2)(a + 2)$;

2) $-3(x + 3)(x - 3)$;

3) $7b^2(b + 4)(4 - b)$;

4) $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)$;

5) $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$;

6) $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25)$.

Для решения данных задач будем использовать формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$.

1) $a(a - 2)(a + 2)$

Сначала умножим скобки $(a - 2)(a + 2)$, используя формулу разности квадратов:
$(a - 2)(a + 2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$.
Теперь умножим полученный результат на $a$:
$a(a^2 - 4) = a \cdot a^2 - a \cdot 4 = a^3 - 4a$.
Ответ: $a^3 - 4a$

2) $-3(x + 3)(x - 3)$

Сначала преобразуем произведение скобок $(x + 3)(x - 3)$ по формуле разности квадратов:
$(x + 3)(x - 3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$.
Затем умножим полученное выражение на $-3$:
$-3(x^2 - 9) = -3 \cdot x^2 - (-3) \cdot 9 = -3x^2 + 27$.
Ответ: $-3x^2 + 27$

3) $7b^2(b + 4)(4 - b)$

Заметим, что $(b + 4)(4 - b)$ можно представить как $(4 + b)(4 - b)$. Применим формулу разности квадратов:
$(4 + b)(4 - b) = 4^2 - b^2 = 16 - b^2$.
Теперь умножим полученный результат на $7b^2$:
$7b^2(16 - b^2) = 7b^2 \cdot 16 - 7b^2 \cdot b^2 = 112b^2 - 7b^4$.
Ответ: $112b^2 - 7b^4$

4) $(c - d)(c + d)(c^2 + d^2)$

Применим формулу разности квадратов последовательно. Сначала для первых двух скобок:
$(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.
Выражение примет вид: $(c^2 - d^2)(c^2 + d^2)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(c^2 - d^2)(c^2 + d^2) = (c^2)^2 - (d^2)^2 = c^4 - d^4$.
Ответ: $c^4 - d^4$

5) $(2a - 1)(2a + 1)(4a^2 + 1)$

Действуем аналогично предыдущему пункту. Сначала раскроем первые две скобки:
$(2a - 1)(2a + 1) = (2a)^2 - 1^2 = 4a^2 - 1$.
Теперь выражение выглядит так: $(4a^2 - 1)(4a^2 + 1)$.
И снова применяем формулу разности квадратов:
$(4a^2 - 1)(4a^2 + 1) = (4a^2)^2 - 1^2 = 16a^4 - 1$.
Ответ: $16a^4 - 1$

6) $(c^3 - 5)(c^3 + 5)(c^6 + 25)$

Применим формулу разности квадратов для первых двух множителей:
$(c^3 - 5)(c^3 + 5) = (c^3)^2 - 5^2 = c^6 - 25$.
Получаем выражение: $(c^6 - 25)(c^6 + 25)$.
Ещё раз воспользуемся формулой разности квадратов:
$(c^6 - 25)(c^6 + 25) = (c^6)^2 - 25^2 = c^{12} - 625$.
Ответ: $c^{12} - 625$