Страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

630. Выполните умножение:

1) $5b(b - 1)(b + 1)$;

2) $(c + 2)(c - 2) \cdot 8c^2$;

3) $(m - 10)(m^2 + 100)(m + 10)$;

4) $(a^2 + 1)(a^2 - 1)(a^4 + 1)$.

1) Для того чтобы выполнить умножение в выражении $5b(b - 1)(b + 1)$, мы можем сначала применить формулу разности квадратов $(x - y)(x + y) = x^2 - y^2$ к множителям $(b - 1)$ и $(b + 1)$.
$(b - 1)(b + 1) = b^2 - 1^2 = b^2 - 1$.
Теперь исходное выражение принимает вид $5b(b^2 - 1)$.
Далее, мы умножаем одночлен $5b$ на многочлен $(b^2 - 1)$, распределяя $5b$ на каждый член в скобках:
$5b \cdot b^2 - 5b \cdot 1 = 5b^3 - 5b$.
Ответ: $5b^3 - 5b$.

2) В выражении $(c + 2)(c - 2) \cdot 8c^2$ начнем с умножения скобок $(c + 2)(c - 2)$. Это также является формулой разности квадратов:
$(c + 2)(c - 2) = c^2 - 2^2 = c^2 - 4$.
Теперь выражение выглядит как $(c^2 - 4) \cdot 8c^2$.
Умножим полученный многочлен на одночлен $8c^2$:
$(c^2 - 4) \cdot 8c^2 = c^2 \cdot 8c^2 - 4 \cdot 8c^2 = 8c^4 - 32c^2$.
Ответ: $8c^4 - 32c^2$.

3) В выражении $(m - 10)(m^2 + 100)(m + 10)$ удобно сначала переставить множители, чтобы использовать формулу разности квадратов: $(m - 10)(m + 10)(m^2 + 100)$.
Применим формулу к $(m - 10)(m + 10)$:
$(m - 10)(m + 10) = m^2 - 10^2 = m^2 - 100$.
Теперь выражение упрощается до $(m^2 - 100)(m^2 + 100)$.
Это снова формула разности квадратов, где в роли $x$ выступает $m^2$, а в роли $y$ — $100$:
$(m^2 - 100)(m^2 + 100) = (m^2)^2 - 100^2 = m^4 - 10000$.
Ответ: $m^4 - 10000$.

4) В выражении $(a^2 + 1)(a^2 - 1)(a^4 + 1)$ мы последовательно применяем формулу разности квадратов. Сначала для первых двух множителей:
$(a^2 + 1)(a^2 - 1) = (a^2)^2 - 1^2 = a^4 - 1$.
После этого выражение принимает вид $(a^4 - 1)(a^4 + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов:
$(a^4 - 1)(a^4 + 1) = (a^4)^2 - 1^2 = a^8 - 1$.
Ответ: $a^8 - 1$.

631. Выполните умножение двучленов (n - натуральное число):

1) $(a^n - 4)(a^n + 4)$;

2) $(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n})$;

3) $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$;

4) $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$, $n > 1$.

1) Данное выражение является произведением разности и суммы двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В нашем случае $x = a^n$ и $y = 4$. Применив формулу, получаем: $(a^n - 4)(a^n + 4) = (a^n)^2 - 4^2$. Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, получаем $(a^n)^2 = a^{2n}$. Также $4^2 = 16$. Следовательно, итоговое выражение равно $a^{2n} - 16$.
Ответ: $a^{2n} - 16$.

2) Это выражение также представляет собой произведение суммы и разности двух выражений. Используем ту же формулу разности квадратов: $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$. Здесь $x = b^{2n}$ и $y = c^{3n}$. Подставляем в формулу: $(b^{2n} + c^{3n})(b^{2n} - c^{3n}) = (b^{2n})^2 - (c^{3n})^2$. По свойству степени $(a^m)^k = a^{mk}$ имеем: $(b^{2n})^2 = b^{2n \cdot 2} = b^{4n}$ и $(c^{3n})^2 = c^{3n \cdot 2} = c^{6n}$. Результат умножения: $b^{4n} - c^{6n}$.
Ответ: $b^{4n} - c^{6n}$.

3) В выражении $(x^{4n} + y^{n+2})(y^{n+2} - x^{4n})$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы было удобнее применить формулу (от перемены мест слагаемых сумма не меняется): $(y^{n+2} + x^{4n})(y^{n+2} - x^{4n})$. Это снова формула разности квадратов, где в качестве первого слагаемого выступает $y^{n+2}$, а в качестве второго — $x^{4n}$. Применяем формулу $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$: $(y^{n+2})^2 - (x^{4n})^2$. Упрощаем, используя свойство степеней: $(y^{n+2})^2 = y^{(n+2) \cdot 2} = y^{2n+4}$ и $(x^{4n})^2 = x^{4n \cdot 2} = x^{8n}$. Итоговое выражение: $y^{2n+4} - x^{8n}$.
Ответ: $y^{2n+4} - x^{8n}$.

4) Выражение $(a^{n+1} - b^{n-1})(a^{n+1} + b^{n-1})$ также является произведением разности и суммы. Применяем формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$. В данном случае $x = a^{n+1}$ и $y = b^{n-1}$. Подставляем в формулу: $(a^{n+1})^2 - (b^{n-1})^2$. Упрощаем степени: $(a^{n+1})^2 = a^{(n+1) \cdot 2} = a^{2n+2}$ и $(b^{n-1})^2 = b^{(n-1) \cdot 2} = b^{2n-2}$. Условие $n > 1$ гарантирует, что показатель степени $n-1$ является натуральным числом. Результат: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$.
Ответ: $a^{2n+2} - b^{2n-2}$.

632. Упростите выражение:

1) $ (8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4); $

2) $ 0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m); $

3) $ (7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x); $

4) $ -b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c. $

1) $(8a - 3)(8a + 3) - (7a + 4)(8a - 4)$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ для первого произведения и правило умножения многочленов для второго.
1. Упростим произведение $(8a - 3)(8a + 3)$. Используя формулу разности квадратов, получаем:
$(8a - 3)(8a + 3) = (8a)^2 - 3^2 = 64a^2 - 9$.
2. Раскроем скобки во втором произведении $(7a + 4)(8a - 4)$:
$(7a + 4)(8a - 4) = 7a \cdot 8a + 7a \cdot (-4) + 4 \cdot 8a + 4 \cdot (-4) = 56a^2 - 28a + 32a - 16 = 56a^2 + 4a - 16$.
3. Подставим полученные выражения в исходное и выполним вычитание:
$(64a^2 - 9) - (56a^2 + 4a - 16) = 64a^2 - 9 - 56a^2 - 4a + 16$.
4. Приведем подобные слагаемые:
$(64a^2 - 56a^2) - 4a + (16 - 9) = 8a^2 - 4a + 7$.

Ответ: $8a^2 - 4a + 7$.

2) $0,6m(2m - 1)(2m + 1) + 0,3(6 + 5m)(6 - 5m)$

В обоих слагаемых применим формулу разности квадратов.
1. Упростим первое слагаемое $0,6m(2m - 1)(2m + 1)$:
$(2m - 1)(2m + 1) = (2m)^2 - 1^2 = 4m^2 - 1$.
$0,6m(4m^2 - 1) = 0,6m \cdot 4m^2 - 0,6m \cdot 1 = 2,4m^3 - 0,6m$.
2. Упростим второе слагаемое $0,3(6 + 5m)(6 - 5m)$:
$(6 + 5m)(6 - 5m) = 6^2 - (5m)^2 = 36 - 25m^2$.
$0,3(36 - 25m^2) = 0,3 \cdot 36 - 0,3 \cdot 25m^2 = 10,8 - 7,5m^2$.
3. Сложим полученные выражения:
$(2,4m^3 - 0,6m) + (10,8 - 7,5m^2) = 2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$.

Ответ: $2,4m^3 - 7,5m^2 - 0,6m + 10,8$.

3) $(7 - 2x)(7 + 2x) - (x - 8)(x + 8) - (4 - 3x)(5 + 3x)$

Упростим каждое произведение по отдельности.
1. Для $(7 - 2x)(7 + 2x)$ используем формулу разности квадратов:
$(7 - 2x)(7 + 2x) = 7^2 - (2x)^2 = 49 - 4x^2$.
2. Для $(x - 8)(x + 8)$ также используем формулу разности квадратов:
$(x - 8)(x + 8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$.
3. Для $(4 - 3x)(5 + 3x)$ раскроем скобки:
$(4 - 3x)(5 + 3x) = 4 \cdot 5 + 4 \cdot 3x - 3x \cdot 5 - 3x \cdot 3x = 20 + 12x - 15x - 9x^2 = 20 - 3x - 9x^2$.
4. Подставим все в исходное выражение, учитывая знаки:
$(49 - 4x^2) - (x^2 - 64) - (20 - 3x - 9x^2) = 49 - 4x^2 - x^2 + 64 - 20 + 3x + 9x^2$.
5. Приведем подобные слагаемые:
$(-4x^2 - x^2 + 9x^2) + 3x + (49 + 64 - 20) = 4x^2 + 3x + 93$.

Ответ: $4x^2 + 3x + 93$.

4) $-b^2c(4b - c^2)(4b + c^2) + 16b^4c$

1. Сначала упростим произведение $(4b - c^2)(4b + c^2)$ по формуле разности квадратов:
$(4b - c^2)(4b + c^2) = (4b)^2 - (c^2)^2 = 16b^2 - c^4$.
2. Теперь умножим результат на $-b^2c$:
$-b^2c(16b^2 - c^4) = -b^2c \cdot 16b^2 - b^2c \cdot (-c^4) = -16b^{2+2}c + b^2c^{1+4} = -16b^4c + b^2c^5$.
3. Подставим полученное выражение в исходное и приведем подобные слагаемые:
$(-16b^4c + b^2c^5) + 16b^4c = -16b^4c + 16b^4c + b^2c^5 = b^2c^5$.

Ответ: $b^2c^5$.

633. Упростите выражение:

1) $(x+1)(x-1)-(x+5)(x-5)+(x+1)(x-5);$

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3).$

1) $(x + 1)(x - 1) - (x + 5)(x - 5) + (x + 1)(x - 5)$

Для упрощения этого выражения мы будем использовать формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ для первых двух произведений и правило умножения многочленов (раскрытие скобок) для третьего.

Применим формулу разности квадратов к первым двум членам:
$(x + 1)(x - 1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$
$(x + 5)(x - 5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

Теперь раскроем скобки в третьем произведении:
$(x + 1)(x - 5) = x \cdot x + x \cdot (-5) + 1 \cdot x + 1 \cdot (-5) = x^2 - 5x + x - 5 = x^2 - 4x - 5$

Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:
$(x^2 - 1) - (x^2 - 25) + (x^2 - 4x - 5)$

Раскроем скобки, обращая внимание на знаки перед ними:
$x^2 - 1 - x^2 + 25 + x^2 - 4x - 5$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2 + x^2) - 4x + (-1 + 25 - 5) = x^2 - 4x + 19$

Ответ: $x^2 - 4x + 19$

2) $81a^8 - (3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$

Сначала упростим произведение в скобках: $(3a^2 - b^3)(9a^4 + b^6)(3a^2 + b^3)$. Для этого сгруппируем множители так, чтобы можно было применить формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Переставим множители для удобства:
$(3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3)(9a^4 + b^6)$

Применим формулу разности квадратов к первым двум скобкам, где $x = 3a^2$ и $y = b^3$:
$(3a^2 - b^3)(3a^2 + b^3) = (3a^2)^2 - (b^3)^2 = 9a^4 - b^6$

Теперь произведение выглядит так:
$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6)$

Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = 9a^4$ и $y = b^6$:
$(9a^4 - b^6)(9a^4 + b^6) = (9a^4)^2 - (b^6)^2 = 81a^8 - b^{12}$

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:
$81a^8 - (81a^8 - b^{12})$

Раскроем скобки. Знак минус перед скобкой меняет знаки всех членов внутри на противоположные:
$81a^8 - 81a^8 + b^{12}$

Взаимно уничтожаем $81a^8$ и $-81a^8$:
$0 + b^{12} = b^{12}$

Ответ: $b^{12}$

634. Решите уравнение:

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6;$

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x;$

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49;$

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x.$

1) $8x(3 + 2x) - (4x + 3)(4x - 3) = 9x - 6$
Раскроем скобки в левой части уравнения. Для произведения $(4x + 3)(4x - 3)$ применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
$8x \cdot 3 + 8x \cdot 2x - ((4x)^2 - 3^2) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - (16x^2 - 9) = 9x - 6$
$24x + 16x^2 - 16x^2 + 9 = 9x - 6$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$24x + 9 = 9x - 6$
Перенесем слагаемые, содержащие неизвестную, в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:
$24x - 9x = -6 - 9$
$15x = -15$
$x = \frac{-15}{15}$
$x = -1$
Ответ: -1

2) $7x - 4x(x - 5) = (8 - 2x)(8 + 2x) + 27x$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. Выражение $(8 - 2x)(8 + 2x)$ является разностью квадратов.
$7x - 4x^2 + 20x = 8^2 - (2x)^2 + 27x$
$7x - 4x^2 + 20x = 64 - 4x^2 + 27x$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$27x - 4x^2 = 64 - 4x^2 + 27x$
Перенесем все слагаемые из правой части в левую, меняя их знак на противоположный:
$27x - 4x^2 - 64 + 4x^2 - 27x = 0$
Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:
$(27x - 27x) + (-4x^2 + 4x^2) - 64 = 0$
$0 - 64 = 0$
$-64 = 0$
Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что уравнение не имеет решений (корней).
Ответ: корней нет

3) $(6x + 7)(6x - 7) + 12x = 12x(3x + 1) - 49$
Раскроем скобки в обеих частях уравнения. В левой части применим формулу разности квадратов.
$(6x)^2 - 7^2 + 12x = 12x \cdot 3x + 12x \cdot 1 - 49$
$36x^2 - 49 + 12x = 36x^2 + 12x - 49$
Соберем все слагаемые в левой части уравнения:
$36x^2 + 12x - 49 - 36x^2 - 12x + 49 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(36x^2 - 36x^2) + (12x - 12x) + (-49 + 49) = 0$
$0 = 0$
Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от переменной $x$. Следовательно, решением уравнения является любое число.
Ответ: x - любое число

4) $(x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$
Упростим левую часть уравнения, последовательно применяя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
1. $(x - 2)(x + 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$.
Уравнение примет вид: $(x^2 - 4)(x^2 + 4)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$.
2. $(x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x^2)^2 - 4^2 = x^4 - 16$.
Уравнение примет вид: $(x^4 - 16)(x^4 + 16) = x^8 + 10x$.
3. $(x^4 - 16)(x^4 + 16) = (x^4)^2 - 16^2 = x^8 - 256$.
Теперь исходное уравнение выглядит так:
$x^8 - 256 = x^8 + 10x$
Вычтем $x^8$ из обеих частей уравнения:
$-256 = 10x$
Найдем $x$:
$x = \frac{-256}{10}$
$x = -25.6$
Ответ: -25,6

635. Решите уравнение:

1) $(x-17)(x+17)=x^2+6x-49;$

2) $(1,2x-4)(1,2x+4)-(1,3x-2)(1,3x+2)=0,5x(8-0,5x).$

1) $(x-17)(x+17)=x^2+6x-49$

В левой части уравнения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

$x^2 - 17^2 = x^2 + 6x - 49$

Вычислим $17^2$:

$17^2 = 289$

Подставим значение в уравнение:

$x^2 - 289 = x^2 + 6x - 49$

Перенесем слагаемые с $x^2$ в одну сторону, а числовые значения — в другую. Обратите внимание, что $x^2$ сокращается.

$x^2 - x^2 - 6x = -49 + 289$

$-6x = 240$

Найдем $x$:

$x = \frac{240}{-6}$

$x = -40$

Ответ: -40

2) $(1,2x-4)(1,2x+4)-(1,3x-2)(1,3x+2)=0,5x(8-0,5x)$

В левой части уравнения дважды применим формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$. В правой части раскроем скобки.

$((1,2x)^2 - 4^2) - ((1,3x)^2 - 2^2) = 0,5x \cdot 8 - 0,5x \cdot 0,5x$

Выполним возведение в степень и умножение:

$(1,44x^2 - 16) - (1,69x^2 - 4) = 4x - 0,25x^2$

Раскроем скобки в левой части, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$1,44x^2 - 16 - 1,69x^2 + 4 = 4x - 0,25x^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(1,44 - 1,69)x^2 + (-16 + 4) = 4x - 0,25x^2$

$-0,25x^2 - 12 = 4x - 0,25x^2$

Перенесем слагаемое с $x^2$ в левую часть. Оно сократится.

$-0,25x^2 + 0,25x^2 - 12 = 4x$

$-12 = 4x$

Найдем $x$:

$x = \frac{-12}{4}$

$x = -3$

Ответ: -3

636. Докажите, что значение выражения не зависит от значения переменной (переменных):

1) $(x - 9)(x + 9) - (x + 19)(x - 19);$

2) $(2a - b)(2a + b) + (b - c)(b + c) + (c - 2a)(c + 2a).$

1) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменной, его необходимо упростить. Оба произведения в выражении представляют собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждому произведению отдельно:

$(x - 9)(x + 9) = x^2 - 9^2 = x^2 - 81$

$(x + 19)(x - 19) = x^2 - 19^2 = x^2 - 361$

Теперь подставим упрощенные части в исходное выражение:

$(x^2 - 81) - (x^2 - 361)$

Раскроем скобки. Так как перед второй скобкой стоит знак минус, знаки внутри нее меняются на противоположные:

$x^2 - 81 - x^2 + 361$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(x^2 - x^2) + (361 - 81) = 0 + 280 = 280$

Результатом упрощения является число 280. Оно не содержит переменную $x$, следовательно, значение исходного выражения является константой и не зависит от значения $x$.

Ответ: 280.

2) Чтобы доказать, что значение выражения не зависит от переменных, его необходимо упростить. Все три слагаемых в выражении представляют собой формулу разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу к каждому слагаемому:

$(2a - b)(2a + b) = (2a)^2 - b^2 = 4a^2 - b^2$

$(b - c)(b + c) = b^2 - c^2$

$(c - 2a)(c + 2a) = c^2 - (2a)^2 = c^2 - 4a^2$

Теперь сложим полученные выражения:

$(4a^2 - b^2) + (b^2 - c^2) + (c^2 - 4a^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - 4a^2$

Сгруппируем подобные члены, чтобы увидеть, как они сокращаются:

$(4a^2 - 4a^2) + (-b^2 + b^2) + (-c^2 + c^2) = 0 + 0 + 0 = 0$

Результатом упрощения является число 0. Оно не содержит переменных $a, b, c$, следовательно, значение исходного выражения является константой и не зависит от значений этих переменных.

Ответ: 0.

637. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $ (7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10) $ делится нацело на 12.

Для доказательства того, что значение выражения $(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$, необходимо упростить это выражение.

Мы можем применить формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к обеим частям выражения.

Для первой части, $(7n + 8)(7n - 8)$, получаем:
$(7n + 8)(7n - 8) = (7n)^2 - 8^2 = 49n^2 - 64$.

Для второй части, $(5n + 10)(5n - 10)$, получаем:
$(5n + 10)(5n - 10) = (5n)^2 - 10^2 = 25n^2 - 100$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:
$(49n^2 - 64) - (25n^2 - 100) = 49n^2 - 64 - 25n^2 + 100$.

Приведем подобные слагаемые:
$(49n^2 - 25n^2) + (100 - 64) = 24n^2 + 36$.

Чтобы показать, что полученное выражение $24n^2 + 36$ делится на 12, вынесем общий множитель 12 за скобки:
$24n^2 + 36 = 12 \cdot 2n^2 + 12 \cdot 3 = 12(2n^2 + 3)$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $n^2$ также является натуральным числом. Это означает, что выражение в скобках, $2n^2 + 3$, всегда будет целым числом. Так как исходное выражение можно представить в виде произведения, где один из множителей равен 12, то всё выражение делится нацело на 12.

Ответ: Выражение $(7n + 8)(7n - 8) - (5n + 10)(5n - 10)$ тождественно равно $12(2n^2 + 3)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2n^2 + 3)$ — целое число. Следовательно, произведение $12(2n^2 + 3)$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.

638. Докажите, что не существует такого натурального числа $n$, при котором значение выражения $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$ делится нацело на 8.

Доказательство

Чтобы доказать утверждение, сперва упростим данное алгебраическое выражение. Для этого раскроем все скобки и приведем подобные слагаемые.

Исходное выражение: $(4n + 3)(9n - 4) - (6n - 5)(6n + 5) - 3(n - 2)$.

1. Раскроем произведение первых двух скобок:
$(4n + 3)(9n - 4) = 4n \cdot 9n + 4n \cdot (-4) + 3 \cdot 9n + 3 \cdot (-4) = 36n^2 - 16n + 27n - 12 = 36n^2 + 11n - 12$.

2. Второе слагаемое представляет собой произведение вида $(a-b)(a+b)$, которое раскроем по формуле разности квадратов $a^2 - b^2$:
$(6n - 5)(6n + 5) = (6n)^2 - 5^2 = 36n^2 - 25$.

3. Раскроем скобки в последнем члене:
$-3(n - 2) = -3n + 6$.

4. Теперь объединим все части и выполним упрощение:
$(36n^2 + 11n - 12) - (36n^2 - 25) + (-3n + 6) = 36n^2 + 11n - 12 - 36n^2 + 25 - 3n + 6$.

Сгруппируем и приведем подобные члены:
$(36n^2 - 36n^2) + (11n - 3n) + (-12 + 25 + 6) = 0 \cdot n^2 + 8n + 19 = 8n + 19$.

Итак, значение исходного выражения для любого натурального $n$ равно значению выражения $8n + 19$.

Теперь необходимо проверить, делится ли выражение $8n + 19$ на 8.

Выражение $8n + 19$ можно представить в виде $8n + 16 + 3$. Вынесем общий множитель 8 за скобки у первых двух слагаемых:
$8n + 16 + 3 = 8(n + 2) + 3$.

Поскольку $n$ по условию является натуральным числом, то $(n+2)$ также является натуральным числом. Это означает, что слагаемое $8(n+2)$ всегда делится на 8 без остатка.

Следовательно, остаток от деления всего выражения $8(n+2) + 3$ на 8 определяется остатком от деления числа 3 на 8. Этот остаток равен 3.

Поскольку остаток от деления значения выражения на 8 всегда равен 3, а не 0, то данное выражение не делится на 8 нацело ни при каком натуральном значении $n$.

Ответ: Утверждение доказано. После упрощения выражение принимает вид $8n + 19$. Это число можно представить как $8(n+2) + 3$. Так как $n$ — натуральное число, $8(n+2)$ делится на 8 нацело, а значит, все выражение при делении на 8 дает остаток 3. Следовательно, оно не может делиться на 8 нацело.

639. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9)$ делится нацело на 7.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится на 7 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Рассмотрим выражение:

$(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9)$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.

1. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первой части выражения:

$(9n - 4)(9n + 4) = (9n)^2 - 4^2 = 81n^2 - 16$

2. Раскроем скобки во второй части выражения, перемножив многочлены:

$(8n - 2)(4n + 3) = 8n \cdot 4n + 8n \cdot 3 - 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3 = 32n^2 + 24n - 8n - 6 = 32n^2 + 16n - 6$

3. Раскроем скобки в третьей части, умножив число на многочлен:

$5(6n + 9) = 5 \cdot 6n + 5 \cdot 9 = 30n + 45$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(81n^2 - 16) - (32n^2 + 16n - 6) + (30n + 45) = 81n^2 - 16 - 32n^2 - 16n + 6 + 30n + 45$

Сгруппируем слагаемые по степеням $n$:

$(81n^2 - 32n^2) + (-16n + 30n) + (-16 + 6 + 45) = 49n^2 + 14n + 35$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится на 7, вынесем общий множитель 7 за скобки:

$49n^2 + 14n + 35 = 7 \cdot 7n^2 + 7 \cdot 2n + 7 \cdot 5 = 7(7n^2 + 2n + 5)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ также натуральное число. Значение выражения в скобках $(7n^2 + 2n + 5)$ является целым числом при любом натуральном $n$. Поскольку все выражение представляет собой произведение числа 7 и целого числа, оно делится нацело на 7.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $7(7n^2 + 2n + 5)$. Так как один из множителей равен 7, а второй множитель $(7n^2 + 2n + 5)$ является целым числом для любого натурального $n$, то значение всего выражения делится нацело на 7, что и требовалось доказать.

640. Найдите значение выражения:

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2);$

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34}.$

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3);$

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64}.$

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}.$

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2)$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и формулой разности квадратов.

1. Упростим первую часть выражения, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$3^{20} \cdot 6^{20} = (3 \cdot 6)^{20} = 18^{20}$.

2. Упростим вторую часть, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 18^{10}$ и $b = 2$:

$(18^{10} - 2)(18^{10} + 2) = (18^{10})^2 - 2^2$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для дальнейшего упрощения:

$(18^{10})^2 = 18^{10 \cdot 2} = 18^{20}$.

Таким образом, вторая часть выражения равна $18^{20} - 4$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$18^{20} - (18^{20} - 4) = 18^{20} - 18^{20} + 4 = 4$.

Ответ: 4

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34}$

Для решения этого выражения также применим формулу разности квадратов и свойства степеней.

1. Упростим первую часть, используя формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=5$ и $b=28^{17}$:

$(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) = 5^2 - (28^{17})^2 = 25 - 28^{17 \cdot 2} = 25 - 28^{34}$.

2. Упростим вторую часть, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$14^{34} \cdot 2^{34} = (14 \cdot 2)^{34} = 28^{34}$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение и выполним сложение:

$(25 - 28^{34}) + 28^{34} = 25 - 28^{34} + 28^{34} = 25$.

Ответ: 25

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3)$

Решение основано на приведении степеней к одному показателю и использовании формулы разности квадратов.

1. Преобразуем первую часть выражения. Представим $8$ как $2^3$:

$8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}$.

Теперь первая часть выглядит так: $7^{36} \cdot 2^{36}$. Применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$7^{36} \cdot 2^{36} = (7 \cdot 2)^{36} = 14^{36}$.

2. Упростим вторую часть, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=14^{18}$ и $b=3$:

$(14^{18} + 3)(14^{18} - 3) = (14^{18})^2 - 3^2 = 14^{18 \cdot 2} - 9 = 14^{36} - 9$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$14^{36} - (14^{36} - 9) = 14^{36} - 14^{36} + 9 = 9$.

Ответ: 9

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64}$

В этом выражении мы можем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. Начнем с первых двух множителей: $(3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1$.

2. Теперь умножим результат на следующий множитель: $(3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1$.

3. Продолжим этот процесс:

$(3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16} - 1$.

$(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) = (3^{16})^2 - 1^2 = 3^{32} - 1$.

$(3^{32} - 1)(3^{32} + 1) = (3^{32})^2 - 1^2 = 3^{64} - 1$.

4. Таким образом, все произведение равно $3^{64} - 1$. Подставим это в исходное выражение:

$(3^{64} - 1) - 3^{64} = 3^{64} - 1 - 3^{64} = -1$.

Ответ: -1

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$

Это выражение похоже на предыдущее. Чтобы использовать формулу разности квадратов, нам не хватает множителя $(2-1)$.

1. Так как $(2-1) = 1$, мы можем домножить на него произведение, не изменив его значения:

$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) - 2^{32}$.

2. Теперь, как и в предыдущем задании, последовательно сворачиваем произведение:

$(2-1)(2+1) = 2^2 - 1$.

$(2^2-1)(2^2+1) = 2^4 - 1$.

$(2^4-1)(2^4+1) = 2^8 - 1$.

$(2^8-1)(2^8+1) = 2^{16} - 1$.

$(2^{16}-1)(2^{16}+1) = 2^{32} - 1$.

3. Произведение скобок равно $2^{32} - 1$. Подставим это значение в выражение:

$(2^{32} - 1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1$.

Ответ: -1