Номер 639, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 639, страница 109.

Условие.

639. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения $(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9)$ делится нацело на 7.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что значение выражения делится на 7 при любом натуральном $n$, необходимо упростить данное выражение. Рассмотрим выражение:

$(9n - 4)(9n + 4) - (8n - 2)(4n + 3) + 5(6n + 9)$

Упростим каждую часть выражения по отдельности.

1. Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ к первой части выражения:

$(9n - 4)(9n + 4) = (9n)^2 - 4^2 = 81n^2 - 16$

2. Раскроем скобки во второй части выражения, перемножив многочлены:

$(8n - 2)(4n + 3) = 8n \cdot 4n + 8n \cdot 3 - 2 \cdot 4n - 2 \cdot 3 = 32n^2 + 24n - 8n - 6 = 32n^2 + 16n - 6$

3. Раскроем скобки в третьей части, умножив число на многочлен:

$5(6n + 9) = 5 \cdot 6n + 5 \cdot 9 = 30n + 45$

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и приведем подобные слагаемые:

$(81n^2 - 16) - (32n^2 + 16n - 6) + (30n + 45) = 81n^2 - 16 - 32n^2 - 16n + 6 + 30n + 45$

Сгруппируем слагаемые по степеням $n$:

$(81n^2 - 32n^2) + (-16n + 30n) + (-16 + 6 + 45) = 49n^2 + 14n + 35$

Чтобы доказать, что полученное выражение делится на 7, вынесем общий множитель 7 за скобки:

$49n^2 + 14n + 35 = 7 \cdot 7n^2 + 7 \cdot 2n + 7 \cdot 5 = 7(7n^2 + 2n + 5)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n^2$ также натуральное число. Значение выражения в скобках $(7n^2 + 2n + 5)$ является целым числом при любом натуральном $n$. Поскольку все выражение представляет собой произведение числа 7 и целого числа, оно делится нацело на 7.

Ответ: После упрощения исходное выражение принимает вид $7(7n^2 + 2n + 5)$. Так как один из множителей равен 7, а второй множитель $(7n^2 + 2n + 5)$ является целым числом для любого натурального $n$, то значение всего выражения делится нацело на 7, что и требовалось доказать.