Номер 640, страница 109 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 640, страница 109.

Условие.

640. Найдите значение выражения:

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2);$

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34}.$

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3);$

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64}.$

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $3^{20} \cdot 6^{20} - (18^{10} - 2)(18^{10} + 2)$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами степеней и формулой разности квадратов.

1. Упростим первую часть выражения, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$3^{20} \cdot 6^{20} = (3 \cdot 6)^{20} = 18^{20}$.

2. Упростим вторую часть, применив формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 18^{10}$ и $b = 2$:

$(18^{10} - 2)(18^{10} + 2) = (18^{10})^2 - 2^2$.

3. Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для дальнейшего упрощения:

$(18^{10})^2 = 18^{10 \cdot 2} = 18^{20}$.

Таким образом, вторая часть выражения равна $18^{20} - 4$.

4. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение и выполним вычитание:

$18^{20} - (18^{20} - 4) = 18^{20} - 18^{20} + 4 = 4$.

Ответ: 4

2) $(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) + 14^{34} \cdot 2^{34}$

Для решения этого выражения также применим формулу разности квадратов и свойства степеней.

1. Упростим первую часть, используя формулу $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=5$ и $b=28^{17}$:

$(5 + 28^{17})(5 - 28^{17}) = 5^2 - (28^{17})^2 = 25 - 28^{17 \cdot 2} = 25 - 28^{34}$.

2. Упростим вторую часть, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$14^{34} \cdot 2^{34} = (14 \cdot 2)^{34} = 28^{34}$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение и выполним сложение:

$(25 - 28^{34}) + 28^{34} = 25 - 28^{34} + 28^{34} = 25$.

Ответ: 25

3) $7^{36} \cdot 8^{12} - (14^{18} + 3)(14^{18} - 3)$

Решение основано на приведении степеней к одному показателю и использовании формулы разности квадратов.

1. Преобразуем первую часть выражения. Представим $8$ как $2^3$:

$8^{12} = (2^3)^{12} = 2^{3 \cdot 12} = 2^{36}$.

Теперь первая часть выглядит так: $7^{36} \cdot 2^{36}$. Применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$7^{36} \cdot 2^{36} = (7 \cdot 2)^{36} = 14^{36}$.

2. Упростим вторую часть, используя формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=14^{18}$ и $b=3$:

$(14^{18} + 3)(14^{18} - 3) = (14^{18})^2 - 3^2 = 14^{18 \cdot 2} - 9 = 14^{36} - 9$.

3. Подставим упрощенные части в исходное выражение:

$14^{36} - (14^{36} - 9) = 14^{36} - 14^{36} + 9 = 9$.

Ответ: 9

4) $(3^2 - 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^{16} + 1)(3^{32} + 1) - 3^{64}$

В этом выражении мы можем последовательно применять формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

1. Начнем с первых двух множителей: $(3^2 - 1)(3^2 + 1) = (3^2)^2 - 1^2 = 3^4 - 1$.

2. Теперь умножим результат на следующий множитель: $(3^4 - 1)(3^4 + 1) = (3^4)^2 - 1^2 = 3^8 - 1$.

3. Продолжим этот процесс:

$(3^8 - 1)(3^8 + 1) = (3^8)^2 - 1^2 = 3^{16} - 1$.

$(3^{16} - 1)(3^{16} + 1) = (3^{16})^2 - 1^2 = 3^{32} - 1$.

$(3^{32} - 1)(3^{32} + 1) = (3^{32})^2 - 1^2 = 3^{64} - 1$.

4. Таким образом, все произведение равно $3^{64} - 1$. Подставим это в исходное выражение:

$(3^{64} - 1) - 3^{64} = 3^{64} - 1 - 3^{64} = -1$.

Ответ: -1

5) $(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) - 2^{32}$

Это выражение похоже на предыдущее. Чтобы использовать формулу разности квадратов, нам не хватает множителя $(2-1)$.

1. Так как $(2-1) = 1$, мы можем домножить на него произведение, не изменив его значения:

$(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1) - 2^{32}$.

2. Теперь, как и в предыдущем задании, последовательно сворачиваем произведение:

$(2-1)(2+1) = 2^2 - 1$.

$(2^2-1)(2^2+1) = 2^4 - 1$.

$(2^4-1)(2^4+1) = 2^8 - 1$.

$(2^8-1)(2^8+1) = 2^{16} - 1$.

$(2^{16}-1)(2^{16}+1) = 2^{32} - 1$.

3. Произведение скобок равно $2^{32} - 1$. Подставим это значение в выражение:

$(2^{32} - 1) - 2^{32} = 2^{32} - 1 - 2^{32} = -1$.

Ответ: -1