Номер 642, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 642, страница 110.

Условие.

642. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$;

2) $1\ 234\ 567 \cdot 1\ 234\ 569$ и $1\ 234\ 568^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для решения этой задачи мы будем использовать алгебраические преобразования, в частности формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Это позволит нам сравнить значения выражений, не выполняя полного умножения.

1) Сравним значения выражений $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$.

Преобразуем первое произведение. Заметим, что числа 415 и 425 симметричны относительно числа 420. Мы можем представить их как:

$415 = 420 - 5$

$425 = 420 + 5$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$415 \cdot 425 = (420 - 5)(420 + 5) = 420^2 - 5^2 = 420^2 - 25$

Теперь преобразуем второе произведение. Числа 426 и 414 также симметричны относительно числа 420:

$426 = 420 + 6$

$414 = 420 - 6$

Применяя ту же формулу, получаем:

$426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 - 6) = 420^2 - 6^2 = 420^2 - 36$

Теперь нам нужно сравнить два полученных выражения: $420^2 - 25$ и $420^2 - 36$.

Поскольку $25 < 36$, то вычитание меньшего числа (25) из $420^2$ даст больший результат, чем вычитание большего числа (36). Следовательно:

$420^2 - 25 > 420^2 - 36$

Это означает, что $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

Ответ: $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

2) Сравним значения выражений $1 234 567 \cdot 1 234 569$ и $1 234 568^2$.

Для удобства введем переменную. Пусть $a = 1 234 568$.

Тогда первое выражение можно записать через $a$:

$1 234 567 = 1 234 568 - 1 = a - 1$

$1 234 569 = 1 234 568 + 1 = a + 1$

Их произведение равно:

$1 234 567 \cdot 1 234 569 = (a - 1)(a + 1)$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Второе выражение, $1 234 568^2$, в наших обозначениях равно $a^2$.

Теперь сравним $a^2 - 1$ и $a^2$.

Очевидно, что $a^2 - 1$ на единицу меньше, чем $a^2$. Таким образом:

$a^2 - 1 < a^2$

Подставляя обратно числовые значения, получаем:

$1 234 567 \cdot 1 234 569 < 1 234 568^2$

Ответ: $1 234 567 \cdot 1 234 569 < 1 234 568^2$.