Номер 648, страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Произведение разности и суммы двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 648, страница 110.

Условие.

648. Семья Савельевых поехала из Москвы на новогодние праздники к родственникам в город Новокузнецк. Домой из Новокузнецка в Москву 8 января. Поезд двигался по расписанию.

В таблице представлен график движения поезда Новокузнецк — Москва через ряд городов, расположенных по маршруту следования поезда.

1) Определите время отправления поезда из Новокузнецка по местному времени.

2) Сколько минут длилась стоянка поезда в Новосибирске?

3) Определите время прибытия поезда в Омск:

а) по московскому времени;

б) по местному времени.

Станция	Прибытие, время московское	Стоянка, мин	Отправление, время московское	Часовой пояс, ч	Расстояние от Новокузнецка, км	Время в пути
Новокузнецк			18:05	+4	0
Новосибирск-Главный	01:07		02:03	+4	447
Омск		27	11:15	+3	1074	16 ч 43 мин
Тюмень	19:07	20	19:27	+2	1646	1 сутки 1 ч 2 мин
Екатеринбург Пасс.	01:04	54	01:58	+2	1972	1 сутки 6 ч 59 мин
Сарапул	10:23	2	10:25	+1	2487	1 сутки 16 ч 18 мин
Казань-2	16:25	10	16:35	0	2837	1 сутки 22 ч 20 мин
Арзамас-2	23:09	3	23:12	0	3219	2 суток 5 ч 4 мин
Москва Казанская	05:20				3629

4) За какое время поезд преодолел путь:

а) от Омска до Тюмени;

б) от Новокузнецка до станции Новосибирск-Главный?

5) Каково расстояние по железной дороге между станциями Тюмень и Арзамас-2?

6) Между какими из приведённых станций находится середина железнодорожного маршрута Новокузнецк — Москва?

7) Укажите верное утверждение:

«Прибыв в Сарапул, поезд преодолел:

А) меньше $\frac{1}{2}$ длины маршрута;

Б) меньше $\frac{2}{3}$ длины маршрута;

В) больше $80\%$ длины маршрута.»

8) Сколько времени занимает поездка этим поездом из Новокузнецка в Москву? Ответ дайте в сутках, часах и минутах.

9) Определите дату прибытия семьи Савельевых в Москву.

10) С какой средней скоростью поезд преодолел расстояние между станциями:

а) Екатеринбург Пасс. и Казань-2;

б) Новокузнецк и Москва Казанская?

Ответ округлите до единиц.

В семье Савельевых отец, мать, бабушка и четверо детей: Инна (возраст 2 года), Катя (8 лет), Антон (4 года) и Максим (12 лет). Билеты на поезд были приобретены в плацкартный вагон. Стоимость одного взрослого билета составила 5580 р. Проезд детей до 5 лет, если они не занимают отдельного места, бесплатный. Для детей, возрастом до 5 лет, можно купить отдельное место, чтобы он (она) спал на своей полке. В этом случае цена детского билета составит 40% от цены взрослого билета (детский тариф). Для детей, возрастом от 5 до 10 лет, необходимо покупать отдельный билет по детскому тарифу. На детей старше 10 лет необходимо покупать взрослый билет по полной стоимости; однако для российских школьников действует сезонная скидка 50% с 1 января по 31 мая и с 1 сентября по 31 декабря. Скидка распространяется на плацкартные, общие и сидячие вагоны скорых и пассажирских поездов. На купейные и спальные вагоны скидка не распространяется. Савельевы приобрели билеты для Антона, Кати и Максима.

11) Сколько рублей стоил билет для Кати?

12) Сколько рублей Савельевы заплатили за все билеты?

13) Взрослый билет в купейный вагон данного поезда стоит 12 400 р. Сколько стоило бы Савельевы за поездку в купейном вагоне, купив билеты только для двух детей — Кати и Максима?

Семья Савельевых сдала в специализированное купе одно место багажа и велосипед. Фрагмент таблицы стоимости провоза багажа и дополнительных мест ручной клади приведён ниже.

Расстояние, км	1 место багажа в специализированном купе, р.	Велосипеды, р.
2501 — 2700	318,6	159,3
2701 — 2900	335,9	168,0
2901 — 3100	352,9	176,4
3101 — 3300	370,3	185,1
3301 — 3500	387,6	193,8
3501 — 3700	404,6	202,3
3701 — 4000	426,1	213,1
4001 — 4300	452,1	226,1

14) Сколько рублей заплатила семья Савельевых за провоз одного места багажа и велосипеда?

15) Верно ли утверждение: стоимость провоза багажа прямо пропорциональна расстоянию, на которое он перевозится?

Решение 1.

Решение 5.

1)
Согласно таблице, время отправления поезда из Новокузнецка по московскому времени — 18:05. Часовой пояс Новокузнецка — +4 часа к московскому времени. Чтобы найти местное время, нужно прибавить эту разницу.
Местное время = Московское время + 4 часа.
$18:05 + 4 \text{ ч} = 22:05$
Ответ: 22:05.

2)
Найдем в таблице станцию «Новосибирск-Главный». Время прибытия по московскому времени — 01:07. Время отправления по московскому времени — 02:03. Чтобы найти продолжительность стоянки, вычтем из времени отправления время прибытия.
$02 \text{ ч } 03 \text{ мин} - 01 \text{ ч } 07 \text{ мин} = (1 \text{ ч } + 63 \text{ мин}) - 1 \text{ ч } 07 \text{ мин} = 56 \text{ минут}$
Ответ: 56 минут.

3)
а) по московскому времени:
Чтобы найти время прибытия в Омск, нужно к времени отправления из Новокузнецка (18:05) прибавить время в пути до Омска (16 ч 43 мин).
$18 \text{ ч } 05 \text{ мин} + 16 \text{ ч } 43 \text{ мин} = 34 \text{ ч } 48 \text{ мин}$
Поскольку в сутках 24 часа, $34 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 24 \text{ ч} + 10 \text{ ч } 48 \text{ мин}$. Это означает, что поезд прибывает на следующий день в 10:48 по московскому времени.
б) по местному времени:
Часовой пояс Омска — +3 часа к московскому времени. Чтобы найти местное время прибытия, прибавим эту разницу к московскому времени прибытия.
$10:48 + 3 \text{ ч} = 13:48$
Ответ: а) 10:48; б) 13:48.

4)
а) от Омска до Тюмени:
Время отправления из Омска — 11:15 (мск). Время прибытия в Тюмень — 19:07 (мск).
$19 \text{ ч } 07 \text{ мин} - 11 \text{ ч } 15 \text{ мин} = (18 \text{ ч } + 67 \text{ мин}) - 11 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 52 \text{ мин}$
б) от Новокузнецка до станции Новосибирск-Главный:
Время отправления из Новокузнецка — 18:05 (мск). Время прибытия в Новосибирск — 01:07 (мск) на следующие сутки.
Время в пути = $(24:00 - 18:05) + 01:07 = 5 \text{ ч } 55 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 07 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 62 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 2 \text{ мин}$
Ответ: а) 7 ч 52 мин; б) 7 ч 2 мин.

5)
Найдем в таблице расстояние от Новокузнецка до Тюмени и до Арзамаса-2.
Расстояние до Тюмени: 1646 км.
Расстояние до Арзамаса-2: 3219 км.
Чтобы найти расстояние между ними, вычтем меньшее значение из большего.
$3219 \text{ км} - 1646 \text{ км} = 1573 \text{ км}$
Ответ: 1573 км.

6)
Общая длина маршрута от Новокузнецка до Москвы составляет 3629 км. Середина маршрута находится на расстоянии:
$3629 \text{ км} \div 2 = 1814.5 \text{ км}$ от Новокузнецка.
Посмотрим на расстояния до станций в таблице:
- Тюмень: 1646 км
- Екатеринбург Пасс.: 1972 км
Так как $1646 < 1814.5 < 1972$, середина маршрута находится между станциями Тюмень и Екатеринбург Пасс.
Ответ: Между станциями Тюмень и Екатеринбург Пасс.

7)
Общая длина маршрута — 3629 км. Расстояние до Сарапула — 2487 км. Проверим каждое утверждение.
А) Меньше $\frac{1}{2}$ длины маршрута: $\frac{1}{2} \times 3629 = 1814.5$. Утверждение $2487 < 1814.5$ ложно.
Б) Меньше $\frac{2}{3}$ длины маршрута: $\frac{2}{3} \times 3629 \approx 2419.3$. Утверждение $2487 < 2419.3$ ложно.
В) Больше 80% длины маршрута: $0.8 \times 3629 = 2903.2$. Утверждение $2487 > 2903.2$ ложно.
Г) Меньше 75% длины маршрута: $0.75 \times 3629 = 2721.75$. Утверждение $2487 < 2721.75$ истинно.
Ответ: Г.

8)
Чтобы найти общее время в пути, можно сложить время в пути до предпоследней станции (Арзамас-2) и время в пути от Арзамаса-2 до Москвы.
Время в пути до Арзамаса-2: 2 суток 5 ч 4 мин.
Время отправления из Арзамаса-2: 23:12 (мск). Время прибытия в Москву: 05:20 (мск) на следующие сутки.
Время в пути от Арзамаса-2 до Москвы: $(24:00 - 23:12) + 05:20 = 0 \text{ ч } 48 \text{ мин} + 5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 8 \text{ мин}$.
Общее время в пути: $(2 \text{ суток } 5 \text{ ч } 4 \text{ мин}) + (6 \text{ ч } 8 \text{ мин}) = 2 \text{ суток } 11 \text{ ч } 12 \text{ мин}$.
Ответ: 2 суток 11 ч 12 мин.

9)
Семья выехала из Новокузнецка 8 января. Поездка длится 2 суток 11 ч 12 мин.
Прибавим к дате отправления 2 полных суток: $8 \text{ января} + 2 \text{ суток} = 10 \text{ января}$.
Поезд прибывает в Арзамас-2 10 января в 23:09, а отправляется в 23:12. Прибытие в Москву в 05:20, что раньше времени отправления из Арзамаса-2, следовательно, это уже следующие сутки.
Таким образом, семья прибудет в Москву 11 января.
Ответ: 11 января.

10)
Средняя скорость вычисляется по формуле $V = \frac{S}{t}$.
а) Екатеринбург Пасс. и Казань-2:
Расстояние: $S = 2837 \text{ км} - 1972 \text{ км} = 865 \text{ км}$.
Время в пути (включая стоянки) от отправления из Екатеринбурга (01:58) до прибытия в Казань-2 (16:25):
$t = 16 \text{ ч } 25 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 58 \text{ мин} = 14 \text{ ч } 27 \text{ мин} = 14 + \frac{27}{60} = 14.45 \text{ ч}$.
Средняя скорость: $V = \frac{865}{14.45} \approx 59.86 \text{ км/ч}$. Округляем до единиц: 60 км/ч.
б) Новокузнецк и Москва Казанская:
Расстояние: $S = 3629 \text{ км}$.
Время в пути (из п. 8): $t = 2 \text{ суток } 11 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 2 \times 24 + 11 + \frac{12}{60} = 48 + 11 + 0.2 = 59.2 \text{ ч}$.
Средняя скорость: $V = \frac{3629}{59.2} \approx 61.3 \text{ км/ч}$. Округляем до единиц: 61 км/ч.
Ответ: а) 60 км/ч; б) 61 км/ч.

11)
Кате 8 лет, она является школьницей. Поездка совершается в январе, поэтому на неё распространяется сезонная скидка для школьников в размере 50% от стоимости взрослого билета в плацкартный вагон.
Стоимость взрослого билета: 5580 р.
Стоимость билета для Кати: $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
Ответ: 2790 рублей.

12)
Рассчитаем стоимость билетов для всех членов семьи, для которых они были куплены.
- 3 взрослых (отец, мать, бабушка): $3 \times 5580 \text{ р.} = 16740 \text{ р.}$
- Антон (4 года): билет по детскому тарифу (40% от взрослого): $5580 \text{ р.} \times 0.4 = 2232 \text{ р.}$
- Катя (8 лет): билет со скидкой для школьников (50%): $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
- Максим (12 лет): билет со скидкой для школьников (50%): $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
- Инна (2 года): проезд бесплатный.
Общая стоимость: $16740 + 2232 + 2790 + 2790 = 24552 \text{ р.}$
Ответ: 24552 рубля.

13)
Рассчитаем стоимость билетов в купейный вагон для Кати и Максима. Скидка для школьников на купейные вагоны не распространяется.
- Максим (12 лет): старше 10 лет, покупается взрослый билет. Стоимость: 12 400 р.
- Катя (8 лет): от 5 до 10 лет, билет по детскому тарифу. Согласно условию, для детей до 5 лет детский тариф составляет 40% от цены взрослого билета. Будем использовать этот тариф, так как других данных о детском тарифе в задаче нет. Стоимость: $12400 \text{ р.} \times 0.4 = 4960 \text{ р.}$
Общая стоимость: $12400 \text{ р.} + 4960 \text{ р.} = 17360 \text{ р.}$
Ответ: 17360 рублей.

14)
Семья едет по всему маршруту, расстояние которого 3629 км. Найдём в таблице стоимости провоза багажа строку, соответствующую этому расстоянию. Это строка «3501 – 3700».
- Стоимость провоза одного места багажа: 404,6 р.
- Стоимость провоза велосипеда: 202,3 р.
Общая стоимость: $404.6 \text{ р.} + 202.3 \text{ р.} = 606.9 \text{ р.}$
Ответ: 606,9 рублей.

15)
Прямая пропорциональность означает, что отношение стоимости провоза к расстоянию должно быть постоянной величиной ($k = \frac{C}{S}$). Проверим это, используя данные из таблицы. Возьмём для расчёта максимальное расстояние в интервале.
- Для интервала 2501–2700 км: стоимость $C_1 = 318.6$ р. Отношение: $k_1 = \frac{318.6}{2700} \approx 0.118$.
- Для интервала 2701–2900 км: стоимость $C_2 = 335.9$ р. Отношение: $k_2 = \frac{335.9}{2900} \approx 0.116$.
Так как $k_1 \ne k_2$, отношение стоимости к расстоянию не является постоянным. Следовательно, стоимость провоза багажа не прямо пропорциональна расстоянию.
Ответ: Нет, утверждение неверно.