Страница 110 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

641. Чему равно значение выражения:

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$;

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$?

1) $81^{15} \cdot 8^{20} - (6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$

Для упрощения данного выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Применим эту формулу ко второй части выражения: $(6^{30} + 1)(6^{30} - 1)$.

Здесь $a = 6^{30}$ и $b = 1$.

$(6^{30} + 1)(6^{30} - 1) = (6^{30})^2 - 1^2 = 6^{30 \cdot 2} - 1 = 6^{60} - 1$.

Теперь преобразуем первую часть выражения: $81^{15} \cdot 8^{20}$.

Представим основания степеней 81 и 8 в виде степеней простых чисел:

$81 = 3^4$

$8 = 2^3$

Подставим эти значения в выражение:

$81^{15} \cdot 8^{20} = (3^4)^{15} \cdot (2^3)^{20}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем:

$(3^4)^{15} = 3^{4 \cdot 15} = 3^{60}$

$(2^3)^{20} = 2^{3 \cdot 20} = 2^{60}$

Таким образом, $81^{15} \cdot 8^{20} = 3^{60} \cdot 2^{60}$.

По свойству степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$ имеем:

$3^{60} \cdot 2^{60} = (3 \cdot 2)^{60} = 6^{60}$.

Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение:

$6^{60} - (6^{60} - 1) = 6^{60} - 6^{60} + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) $5^{24} - (5^3 - 2)(5^3 + 2)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$

Для упрощения произведения в скобках будем последовательно применять формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Шаг 1. Умножим первые две скобки:

$(5^3 - 2)(5^3 + 2) = (5^3)^2 - 2^2 = 5^6 - 4$.

Шаг 2. Подставим результат в выражение и умножим следующие две скобки:

$(5^6 - 4)(5^6 + 4)(5^{12} + 16)$

$(5^6 - 4)(5^6 + 4) = (5^6)^2 - 4^2 = 5^{12} - 16$.

Шаг 3. Подставим результат и умножим оставшиеся скобки:

$(5^{12} - 16)(5^{12} + 16)$

$(5^{12} - 16)(5^{12} + 16) = (5^{12})^2 - 16^2 = 5^{24} - 256$.

Шаг 4. Теперь подставим результат всего произведения в исходное выражение:

$5^{24} - (5^{24} - 256)$

Раскроем скобки:

$5^{24} - 5^{24} + 256 = 256$.

Ответ: 256

642. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$;

2) $1\ 234\ 567 \cdot 1\ 234\ 569$ и $1\ 234\ 568^2$.

Для решения этой задачи мы будем использовать алгебраические преобразования, в частности формулу разности квадратов: $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Это позволит нам сравнить значения выражений, не выполняя полного умножения.

1) Сравним значения выражений $415 \cdot 425$ и $426 \cdot 414$.

Преобразуем первое произведение. Заметим, что числа 415 и 425 симметричны относительно числа 420. Мы можем представить их как:

$415 = 420 - 5$

$425 = 420 + 5$

Используя формулу разности квадратов, получаем:

$415 \cdot 425 = (420 - 5)(420 + 5) = 420^2 - 5^2 = 420^2 - 25$

Теперь преобразуем второе произведение. Числа 426 и 414 также симметричны относительно числа 420:

$426 = 420 + 6$

$414 = 420 - 6$

Применяя ту же формулу, получаем:

$426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 - 6) = 420^2 - 6^2 = 420^2 - 36$

Теперь нам нужно сравнить два полученных выражения: $420^2 - 25$ и $420^2 - 36$.

Поскольку $25 < 36$, то вычитание меньшего числа (25) из $420^2$ даст больший результат, чем вычитание большего числа (36). Следовательно:

$420^2 - 25 > 420^2 - 36$

Это означает, что $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

Ответ: $415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$.

2) Сравним значения выражений $1 234 567 \cdot 1 234 569$ и $1 234 568^2$.

Для удобства введем переменную. Пусть $a = 1 234 568$.

Тогда первое выражение можно записать через $a$:

$1 234 567 = 1 234 568 - 1 = a - 1$

$1 234 569 = 1 234 568 + 1 = a + 1$

Их произведение равно:

$1 234 567 \cdot 1 234 569 = (a - 1)(a + 1)$

Применяя формулу разности квадратов, получаем:

$(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1^2 = a^2 - 1$

Второе выражение, $1 234 568^2$, в наших обозначениях равно $a^2$.

Теперь сравним $a^2 - 1$ и $a^2$.

Очевидно, что $a^2 - 1$ на единицу меньше, чем $a^2$. Таким образом:

$a^2 - 1 < a^2$

Подставляя обратно числовые значения, получаем:

$1 234 567 \cdot 1 234 569 < 1 234 568^2$

Ответ: $1 234 567 \cdot 1 234 569 < 1 234 568^2$.

643. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

1) $253 \cdot 259$ и $252 \cdot 260;

2) $987654^2$ и $987646 \cdot 987662.

1) Сравним значения выражений $258 \cdot 259$ и $252 \cdot 260$.

Для того чтобы сравнить значения выражений, не прибегая к прямым вычислениям, можно представить множители в каждом выражении относительно некоторого общего числа. Заметим, что числа во втором выражении, 252 и 260, симметричны относительно числа 256, так как $252 = 256 - 4$ и $260 = 256 + 4$.

Преобразуем второе выражение, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$252 \cdot 260 = (256 - 4)(256 + 4) = 256^2 - 4^2 = 256^2 - 16$.

Теперь преобразуем первое выражение, представив его множители также через число 256:

$258 = 256 + 2$

$259 = 256 + 3$

Тогда произведение равно:

$258 \cdot 259 = (256 + 2)(256 + 3) = 256^2 + 3 \cdot 256 + 2 \cdot 256 + 2 \cdot 3 = 256^2 + 5 \cdot 256 + 6$.

Теперь сравним полученные результаты:

$256^2 + 5 \cdot 256 + 6$ и $256^2 - 16$.

Поскольку $5 \cdot 256 + 6$ является положительным числом, а $-16$ — отрицательным, очевидно, что к $256^2$ в первом случае прибавляется положительное число, а во втором — из него вычитается. Следовательно:

$256^2 + 5 \cdot 256 + 6 > 256^2 - 16$

Таким образом, $258 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

Ответ: $258 \cdot 259 > 252 \cdot 260$.

2) Сравним значения выражений $987654^2$ и $987646 \cdot 987662$.

Обозначим $a = 987654$. Тогда первое выражение равно $a^2$.

Представим множители второго выражения через $a$:

$987646 = 987654 - 8 = a - 8$

$987662 = 987654 + 8 = a + 8$

Теперь преобразуем второе выражение, используя формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$:

$987646 \cdot 987662 = (a - 8)(a + 8) = a^2 - 8^2 = a^2 - 64$.

Теперь нам нужно сравнить два выражения: $a^2$ и $a^2 - 64$.

Поскольку из величины $a^2$ вычитается положительное число 64, полученный результат будет меньше, чем исходная величина $a^2$.

$a^2 > a^2 - 64$

Следовательно, $987654^2 > 987646 \cdot 987662$.

Ответ: $987654^2 > 987646 \cdot 987662$.

644. От села до станции Вася может доехать на велосипеде за 3 ч, а дойти пешком – за 7 ч. Скорость пешком на 8 км/ч меньше, чем скорость движения на велосипеде. С какой скоростью ездит Вася на велосипеде? На каком расстоянии находится село от станции?

С какой скоростью ездит Вася на велосипеде?

Для решения задачи обозначим искомую скорость Васи на велосипеде через $v_{в}$ (в км/ч). Тогда скорость пешком, которая на 8 км/ч меньше, будет равна $v_{п} = v_{в} - 8$ (км/ч).

Расстояние от села до станции постоянно. Обозначим его $S$. Мы можем выразить это расстояние двумя способами, используя формулу $S = v \cdot t$, где $v$ – скорость, а $t$ – время.

1. На велосипеде Вася проезжает это расстояние за 3 часа. Значит, $S = v_{в} \cdot 3$.
2. Пешком Вася проходит это же расстояние за 7 часов. Значит, $S = v_{п} \cdot 7 = (v_{в} - 8) \cdot 7$.

Поскольку расстояние в обоих случаях одно и то же, мы можем приравнять правые части этих двух выражений:
$3 \cdot v_{в} = 7 \cdot (v_{в} - 8)$

Теперь решим это уравнение относительно $v_{в}$:
$3v_{в} = 7v_{в} - 56$
Перенесем слагаемые с $v_{в}$ в одну сторону, а числовые значения – в другую:
$56 = 7v_{в} - 3v_{в}$
$56 = 4v_{в}$
$v_{в} = \frac{56}{4}$
$v_{в} = 14$

Таким образом, скорость Васи на велосипеде составляет 14 км/ч.

Ответ: 14 км/ч.

На каком расстоянии находится село от станции?

Зная скорость Васи на велосипеде ($v_{в} = 14$ км/ч) и время, за которое он преодолевает расстояние от села до станции на велосипеде ($t_{в} = 3$ ч), мы можем найти это расстояние:
$S = v_{в} \cdot t_{в} = 14 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 42 \text{ км}$.

Для проверки мы можем рассчитать расстояние, используя данные о движении пешком. Скорость пешком: $v_{п} = 14 - 8 = 6$ км/ч. Время в пути пешком: $t_{п} = 7$ ч.
$S = v_{п} \cdot t_{п} = 6 \text{ км/ч} \cdot 7 \text{ ч} = 42 \text{ км}$.

Оба расчета дают одинаковый результат, значит, расстояние найдено верно.

Ответ: 42 км.

645. В одном мешке было 60 кг сахара, а в другом – 100 кг. Когда из второго мешка взяли в 4 раза больше сахара, чем из первого, то в первом осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором. Сколько килограммов сахара взяли из каждого мешка?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это количество сахара, которое взяли из первого мешка. По условию, из второго мешка взяли в 4 раза больше сахара, чем из первого, следовательно, из второго мешка взяли $4x$ кг сахара.

После того как из мешков взяли сахар, определим, сколько в них осталось:

• В первом мешке, где было 60 кг, осталось: $(60 - x)$ кг.
• Во втором мешке, где было 100 кг, осталось: $(100 - 4x)$ кг.

В условии сказано, что в первом мешке осталось в 2 раза больше сахара, чем во втором. На основе этого составим и решим уравнение:

$60 - x = 2 \cdot (100 - 4x)$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$60 - x = 200 - 8x$

Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в левую часть уравнения, а числовые значения — в правую. При переносе слагаемых их знаки меняются на противоположные:

$8x - x = 200 - 60$

Выполним вычисления в обеих частях уравнения:

$7x = 140$

Найдем значение $x$, разделив обе части уравнения на 7:

$x = \frac{140}{7}$

$x = 20$

Таким образом, из первого мешка взяли 20 кг сахара.

Теперь вычислим, сколько сахара взяли из второго мешка:

$4x = 4 \cdot 20 = 80$ кг.

Проверим правильность решения. В первом мешке осталось $60 - 20 = 40$ кг, а во втором — $100 - 80 = 20$ кг. Количество сахара в первом мешке ($40$ кг) действительно в 2 раза больше, чем во втором ($20$ кг), что соответствует условию задачи.

Ответ: из первого мешка взяли 20 кг сахара, а из второго — 80 кг.

646. Один автомобиль может перевезти собранный с поля урожай за 10 ч, другой — за 12 ч, а третий — за 15 ч. За сколько часов они смогут перевезти урожай, работая вместе?

Это задача на совместную работу. Чтобы её решить, мы сначала определим, какую часть работы выполняет каждый автомобиль за один час, затем найдем их общую производительность и, наконец, вычислим общее время.

Примем весь урожай, который нужно перевезти, за 1 (единицу).

1. Вычислим производительность каждого автомобиля.

Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. В данном случае — какая часть урожая перевозится за 1 час.

• Первый автомобиль перевозит весь урожай за 10 часов, значит его производительность составляет $ \frac{1}{10} $ урожая в час.
• Второй автомобиль перевозит весь урожай за 12 часов, его производительность — $ \frac{1}{12} $ урожая в час.
• Третий автомобиль перевозит весь урожай за 15 часов, его производительность — $ \frac{1}{15} $ урожая в час.

2. Найдем общую производительность.

Когда автомобили работают вместе, их производительности складываются. Найдем сумму производительностей:

$ P_{общая} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} + \frac{1}{15} $

Для сложения этих дробей нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 10, 12 и 15 является 60.

$ \frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 6}{60} = \frac{6}{60} $

$ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{60} = \frac{5}{60} $

$ \frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 4}{60} = \frac{4}{60} $

Теперь сложим дроби:

$ P_{общая} = \frac{6}{60} + \frac{5}{60} + \frac{4}{60} = \frac{6 + 5 + 4}{60} = \frac{15}{60} $

Сократим полученную дробь:

$ P_{общая} = \frac{15}{60} = \frac{1}{4} $

Это означает, что работая вместе, три автомобиля перевозят $ \frac{1}{4} $ часть урожая за 1 час.

3. Вычислим время для перевозки всего урожая.

Чтобы найти общее время ($T$), нужно всю работу (которую мы приняли за 1) разделить на общую производительность ($P_{общая}$):

$ T = \frac{1}{P_{общая}} = \frac{1}{\frac{1}{4}} = 1 \cdot 4 = 4 $ часа.

Ответ: работая вместе, автомобили смогут перевезти урожай за 4 часа.

647. (Старинная египетская задача) У каждого из 7 человек есть по 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышей, каждая мышь за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Масса одной горсти равна 80 г. Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам? Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых.

Сколько горстей зерна ежегодно спасают благодаря кошкам?

Чтобы найти ответ на этот вопрос, нужно провести последовательные вычисления, двигаясь по цепочке от людей к зерну.

1. Сначала вычислим общее количество кошек. У 7 человек по 7 кошек у каждого:

$7 \text{ человек} \times 7 \text{ кошек} = 49 \text{ кошек}$

2. Теперь узнаем, сколько мышей съедают все эти кошки. Каждая из 49 кошек съедает 7 мышей:

$49 \text{ кошек} \times 7 \text{ мышей} = 343 \text{ мыши}$

3. Съеденные мыши не смогут уничтожить ячменные колоски. Рассчитаем, сколько колосков они бы уничтожили. Каждая из 343 мышей уничтожила бы 7 колосков:

$343 \text{ мыши} \times 7 \text{ колосков} = 2401 \text{ колосок}$

4. Наконец, определим, сколько горстей зерна можно вырастить из спасенных колосков. Из зерен каждого колоска вырастает 7 горстей:

$2401 \text{ колосок} \times 7 \text{ горстей} = 16807 \text{ горстей}$

Таким образом, благодаря кошкам ежегодно спасают 16807 горстей зерна.

Ответ: 16807 горстей.

Сколько это составляет тонн зерна? Ответ округлите до сотых.

Теперь переведем полученное количество горстей в тонны.

1. Сначала найдем общую массу спасенного зерна в граммах. Масса одной горсти — 80 г:

$16807 \text{ горстей} \times 80 \text{ г} = 1344560 \text{ г}$

2. Затем переведем массу из граммов в тонны. Вспомним, что $1 \text{ тонна} = 1000 \text{ килограммов}$, а $1 \text{ килограмм} = 1000 \text{ граммов}$. Следовательно, $1 \text{ тонна} = 1000 \times 1000 = 1000000 \text{ граммов}$.

$1344560 \text{ г} \div 1000000 \frac{\text{г}}{\text{т}} = 1.34456 \text{ т}$

3. Согласно условию, результат нужно округлить до сотых. Для этого смотрим на третью цифру после запятой (разряд тысячных). Эта цифра — 4. Поскольку $4 < 5$, мы не увеличиваем цифру в разряде сотых.

$1.34456 \text{ т} \approx 1.34 \text{ т}$

Ответ: 1.34 т.

648. Семья Савельевых поехала из Москвы на новогодние праздники к родственникам в город Новокузнецк. Домой из Новокузнецка в Москву 8 января. Поезд двигался по расписанию.

В таблице представлен график движения поезда Новокузнецк — Москва через ряд городов, расположенных по маршруту следования поезда.

1) Определите время отправления поезда из Новокузнецка по местному времени.

2) Сколько минут длилась стоянка поезда в Новосибирске?

3) Определите время прибытия поезда в Омск:

а) по московскому времени;

б) по местному времени.

4) За какое время поезд преодолел путь:

а) от Омска до Тюмени;

б) от Новокузнецка до станции Новосибирск-Главный?

5) Каково расстояние по железной дороге между станциями Тюмень и Арзамас-2?

6) Между какими из приведённых станций находится середина железнодорожного маршрута Новокузнецк — Москва?

7) Укажите верное утверждение:

«Прибыв в Сарапул, поезд преодолел:

А) меньше $\frac{1}{2}$ длины маршрута;

Б) меньше $\frac{2}{3}$ длины маршрута;

В) больше $80\%$ длины маршрута.»

8) Сколько времени занимает поездка этим поездом из Новокузнецка в Москву? Ответ дайте в сутках, часах и минутах.

9) Определите дату прибытия семьи Савельевых в Москву.

10) С какой средней скоростью поезд преодолел расстояние между станциями:

а) Екатеринбург Пасс. и Казань-2;

б) Новокузнецк и Москва Казанская?

Ответ округлите до единиц.

В семье Савельевых отец, мать, бабушка и четверо детей: Инна (возраст 2 года), Катя (8 лет), Антон (4 года) и Максим (12 лет). Билеты на поезд были приобретены в плацкартный вагон. Стоимость одного взрослого билета составила 5580 р. Проезд детей до 5 лет, если они не занимают отдельного места, бесплатный. Для детей, возрастом до 5 лет, можно купить отдельное место, чтобы он (она) спал на своей полке. В этом случае цена детского билета составит 40% от цены взрослого билета (детский тариф). Для детей, возрастом от 5 до 10 лет, необходимо покупать отдельный билет по детскому тарифу. На детей старше 10 лет необходимо покупать взрослый билет по полной стоимости; однако для российских школьников действует сезонная скидка 50% с 1 января по 31 мая и с 1 сентября по 31 декабря. Скидка распространяется на плацкартные, общие и сидячие вагоны скорых и пассажирских поездов. На купейные и спальные вагоны скидка не распространяется. Савельевы приобрели билеты для Антона, Кати и Максима.

11) Сколько рублей стоил билет для Кати?

12) Сколько рублей Савельевы заплатили за все билеты?

13) Взрослый билет в купейный вагон данного поезда стоит 12 400 р. Сколько стоило бы Савельевы за поездку в купейном вагоне, купив билеты только для двух детей — Кати и Максима?

Семья Савельевых сдала в специализированное купе одно место багажа и велосипед. Фрагмент таблицы стоимости провоза багажа и дополнительных мест ручной клади приведён ниже.

14) Сколько рублей заплатила семья Савельевых за провоз одного места багажа и велосипеда?

15) Верно ли утверждение: стоимость провоза багажа прямо пропорциональна расстоянию, на которое он перевозится?

1)
Согласно таблице, время отправления поезда из Новокузнецка по московскому времени — 18:05. Часовой пояс Новокузнецка — +4 часа к московскому времени. Чтобы найти местное время, нужно прибавить эту разницу.
Местное время = Московское время + 4 часа.
$18:05 + 4 \text{ ч} = 22:05$
Ответ: 22:05.

2)
Найдем в таблице станцию «Новосибирск-Главный». Время прибытия по московскому времени — 01:07. Время отправления по московскому времени — 02:03. Чтобы найти продолжительность стоянки, вычтем из времени отправления время прибытия.
$02 \text{ ч } 03 \text{ мин} - 01 \text{ ч } 07 \text{ мин} = (1 \text{ ч } + 63 \text{ мин}) - 1 \text{ ч } 07 \text{ мин} = 56 \text{ минут}$
Ответ: 56 минут.

3)
а) по московскому времени:
Чтобы найти время прибытия в Омск, нужно к времени отправления из Новокузнецка (18:05) прибавить время в пути до Омска (16 ч 43 мин).
$18 \text{ ч } 05 \text{ мин} + 16 \text{ ч } 43 \text{ мин} = 34 \text{ ч } 48 \text{ мин}$
Поскольку в сутках 24 часа, $34 \text{ ч } 48 \text{ мин} = 24 \text{ ч} + 10 \text{ ч } 48 \text{ мин}$. Это означает, что поезд прибывает на следующий день в 10:48 по московскому времени.
б) по местному времени:
Часовой пояс Омска — +3 часа к московскому времени. Чтобы найти местное время прибытия, прибавим эту разницу к московскому времени прибытия.
$10:48 + 3 \text{ ч} = 13:48$
Ответ: а) 10:48; б) 13:48.

4)
а) от Омска до Тюмени:
Время отправления из Омска — 11:15 (мск). Время прибытия в Тюмень — 19:07 (мск).
$19 \text{ ч } 07 \text{ мин} - 11 \text{ ч } 15 \text{ мин} = (18 \text{ ч } + 67 \text{ мин}) - 11 \text{ ч } 15 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 52 \text{ мин}$
б) от Новокузнецка до станции Новосибирск-Главный:
Время отправления из Новокузнецка — 18:05 (мск). Время прибытия в Новосибирск — 01:07 (мск) на следующие сутки.
Время в пути = $(24:00 - 18:05) + 01:07 = 5 \text{ ч } 55 \text{ мин} + 1 \text{ ч } 07 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 62 \text{ мин} = 7 \text{ ч } 2 \text{ мин}$
Ответ: а) 7 ч 52 мин; б) 7 ч 2 мин.

5)
Найдем в таблице расстояние от Новокузнецка до Тюмени и до Арзамаса-2.
Расстояние до Тюмени: 1646 км.
Расстояние до Арзамаса-2: 3219 км.
Чтобы найти расстояние между ними, вычтем меньшее значение из большего.
$3219 \text{ км} - 1646 \text{ км} = 1573 \text{ км}$
Ответ: 1573 км.

6)
Общая длина маршрута от Новокузнецка до Москвы составляет 3629 км. Середина маршрута находится на расстоянии:
$3629 \text{ км} \div 2 = 1814.5 \text{ км}$ от Новокузнецка.
Посмотрим на расстояния до станций в таблице:
- Тюмень: 1646 км
- Екатеринбург Пасс.: 1972 км
Так как $1646 < 1814.5 < 1972$, середина маршрута находится между станциями Тюмень и Екатеринбург Пасс.
Ответ: Между станциями Тюмень и Екатеринбург Пасс.

7)
Общая длина маршрута — 3629 км. Расстояние до Сарапула — 2487 км. Проверим каждое утверждение.
А) Меньше $\frac{1}{2}$ длины маршрута: $\frac{1}{2} \times 3629 = 1814.5$. Утверждение $2487 < 1814.5$ ложно.
Б) Меньше $\frac{2}{3}$ длины маршрута: $\frac{2}{3} \times 3629 \approx 2419.3$. Утверждение $2487 < 2419.3$ ложно.
В) Больше 80% длины маршрута: $0.8 \times 3629 = 2903.2$. Утверждение $2487 > 2903.2$ ложно.
Г) Меньше 75% длины маршрута: $0.75 \times 3629 = 2721.75$. Утверждение $2487 < 2721.75$ истинно.
Ответ: Г.

8)
Чтобы найти общее время в пути, можно сложить время в пути до предпоследней станции (Арзамас-2) и время в пути от Арзамаса-2 до Москвы.
Время в пути до Арзамаса-2: 2 суток 5 ч 4 мин.
Время отправления из Арзамаса-2: 23:12 (мск). Время прибытия в Москву: 05:20 (мск) на следующие сутки.
Время в пути от Арзамаса-2 до Москвы: $(24:00 - 23:12) + 05:20 = 0 \text{ ч } 48 \text{ мин} + 5 \text{ ч } 20 \text{ мин} = 6 \text{ ч } 8 \text{ мин}$.
Общее время в пути: $(2 \text{ суток } 5 \text{ ч } 4 \text{ мин}) + (6 \text{ ч } 8 \text{ мин}) = 2 \text{ суток } 11 \text{ ч } 12 \text{ мин}$.
Ответ: 2 суток 11 ч 12 мин.

9)
Семья выехала из Новокузнецка 8 января. Поездка длится 2 суток 11 ч 12 мин.
Прибавим к дате отправления 2 полных суток: $8 \text{ января} + 2 \text{ суток} = 10 \text{ января}$.
Поезд прибывает в Арзамас-2 10 января в 23:09, а отправляется в 23:12. Прибытие в Москву в 05:20, что раньше времени отправления из Арзамаса-2, следовательно, это уже следующие сутки.
Таким образом, семья прибудет в Москву 11 января.
Ответ: 11 января.

10)
Средняя скорость вычисляется по формуле $V = \frac{S}{t}$.
а) Екатеринбург Пасс. и Казань-2:
Расстояние: $S = 2837 \text{ км} - 1972 \text{ км} = 865 \text{ км}$.
Время в пути (включая стоянки) от отправления из Екатеринбурга (01:58) до прибытия в Казань-2 (16:25):
$t = 16 \text{ ч } 25 \text{ мин} - 1 \text{ ч } 58 \text{ мин} = 14 \text{ ч } 27 \text{ мин} = 14 + \frac{27}{60} = 14.45 \text{ ч}$.
Средняя скорость: $V = \frac{865}{14.45} \approx 59.86 \text{ км/ч}$. Округляем до единиц: 60 км/ч.
б) Новокузнецк и Москва Казанская:
Расстояние: $S = 3629 \text{ км}$.
Время в пути (из п. 8): $t = 2 \text{ суток } 11 \text{ ч } 12 \text{ мин} = 2 \times 24 + 11 + \frac{12}{60} = 48 + 11 + 0.2 = 59.2 \text{ ч}$.
Средняя скорость: $V = \frac{3629}{59.2} \approx 61.3 \text{ км/ч}$. Округляем до единиц: 61 км/ч.
Ответ: а) 60 км/ч; б) 61 км/ч.

11)
Кате 8 лет, она является школьницей. Поездка совершается в январе, поэтому на неё распространяется сезонная скидка для школьников в размере 50% от стоимости взрослого билета в плацкартный вагон.
Стоимость взрослого билета: 5580 р.
Стоимость билета для Кати: $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
Ответ: 2790 рублей.

12)
Рассчитаем стоимость билетов для всех членов семьи, для которых они были куплены.
- 3 взрослых (отец, мать, бабушка): $3 \times 5580 \text{ р.} = 16740 \text{ р.}$
- Антон (4 года): билет по детскому тарифу (40% от взрослого): $5580 \text{ р.} \times 0.4 = 2232 \text{ р.}$
- Катя (8 лет): билет со скидкой для школьников (50%): $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
- Максим (12 лет): билет со скидкой для школьников (50%): $5580 \text{ р.} \times 0.5 = 2790 \text{ р.}$
- Инна (2 года): проезд бесплатный.
Общая стоимость: $16740 + 2232 + 2790 + 2790 = 24552 \text{ р.}$
Ответ: 24552 рубля.

13)
Рассчитаем стоимость билетов в купейный вагон для Кати и Максима. Скидка для школьников на купейные вагоны не распространяется.
- Максим (12 лет): старше 10 лет, покупается взрослый билет. Стоимость: 12 400 р.
- Катя (8 лет): от 5 до 10 лет, билет по детскому тарифу. Согласно условию, для детей до 5 лет детский тариф составляет 40% от цены взрослого билета. Будем использовать этот тариф, так как других данных о детском тарифе в задаче нет. Стоимость: $12400 \text{ р.} \times 0.4 = 4960 \text{ р.}$
Общая стоимость: $12400 \text{ р.} + 4960 \text{ р.} = 17360 \text{ р.}$
Ответ: 17360 рублей.

14)
Семья едет по всему маршруту, расстояние которого 3629 км. Найдём в таблице стоимости провоза багажа строку, соответствующую этому расстоянию. Это строка «3501 – 3700».
- Стоимость провоза одного места багажа: 404,6 р.
- Стоимость провоза велосипеда: 202,3 р.
Общая стоимость: $404.6 \text{ р.} + 202.3 \text{ р.} = 606.9 \text{ р.}$
Ответ: 606,9 рублей.

15)
Прямая пропорциональность означает, что отношение стоимости провоза к расстоянию должно быть постоянной величиной ($k = \frac{C}{S}$). Проверим это, используя данные из таблицы. Возьмём для расчёта максимальное расстояние в интервале.
- Для интервала 2501–2700 км: стоимость $C_1 = 318.6$ р. Отношение: $k_1 = \frac{318.6}{2700} \approx 0.118$.
- Для интервала 2701–2900 км: стоимость $C_2 = 335.9$ р. Отношение: $k_2 = \frac{335.9}{2900} \approx 0.116$.
Так как $k_1 \ne k_2$, отношение стоимости к расстоянию не является постоянным. Следовательно, стоимость провоза багажа не прямо пропорциональна расстоянию.
Ответ: Нет, утверждение неверно.