Страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Запишите формулу разности квадратов двух выражений.

1. Формула разности квадратов двух выражений — это одна из ключевых формул сокращённого умножения в алгебре. Она гласит, что разность квадратов двух любых выражений равна произведению их разности на их сумму.

Для двух произвольных выражений, обозначенных как $a$ и $b$, формула записывается следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Словесная формулировка: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Доказательство:
Для проверки истинности формулы достаточно раскрыть скобки в правой части равенства, выполнив умножение многочлена $(a - b)$ на многочлен $(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2$

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), подобные слагаемые $ab$ и $-ba$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

В результате мы получаем левую часть исходного равенства, что и доказывает справедливость формулы.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

2. Сформулируйте правило разложения на множители разности квадратов двух выражений.

Правило разложения на множители разности квадратов двух выражений формулируется следующим образом: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Это тождество является одной из формул сокращенного умножения. В общем виде оно записывается так:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

где a и b — это любые числа, переменные или алгебраические выражения.

Чтобы применить это правило, необходимо:

1. Убедиться, что выражение представляет собой разность (действие вычитания).
2. Представить и уменьшаемое (первое выражение), и вычитаемое (второе выражение) в виде квадратов.
3. Записать произведение двух скобок: в первой скобке — разность оснований этих квадратов, а во второй — их сумма.

Пример:

Разложим на множители выражение $36x^2 - 81y^6$.

1. Представим каждый член выражения в виде квадрата:

$36x^2 = (6x)^2$

$81y^6 = (9y^3)^2$

2. Теперь у нас есть разность квадратов, где $a = 6x$ и $b = 9y^3$.

3. Применяем формулу $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$(6x)^2 - (9y^3)^2 = (6x - 9y^3)(6x + 9y^3)$

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму. Формула: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

653. Каким из данных произведений многочленов тождественно равен многочлен $a^2 - 144$:

1) $(a - 12)^2$;

2) $(a - 12)(a + 12)$;

3) $(12 - a)(12 + a)$;

4) $(12 - a)(-12 - a)$?

Чтобы найти, какому из данных произведений тождественно равен многочлен $a^2 - 144$, воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$.

В нашем случае многочлен $a^2 - 144$ можно представить как $a^2 - 12^2$. Применив формулу, получаем:

$a^2 - 144 = a^2 - 12^2 = (a - 12)(a + 12)$.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов.

1) $(a - 12)^2$

Это формула квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Раскрыв скобки, получим: $(a - 12)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 12 + 12^2 = a^2 - 24a + 144$. Результат не совпадает с $a^2 - 144$.

Ответ: не равен.

2) $(a - 12)(a + 12)$

Это произведение в точности соответствует разложению многочлена $a^2 - 144$ по формуле разности квадратов. $(a - 12)(a + 12) = a^2 - 12^2 = a^2 - 144$.

Ответ: равен.

3) $(12 - a)(12 + a)$

Это также формула разности квадратов, но для слагаемых $12$ и $a$. $(12 - a)(12 + a) = 12^2 - a^2 = 144 - a^2$. Результат $144 - a^2$ не равен $a^2 - 144$.

Ответ: не равен.

4) $(12 - a)(-12 - a)$

Раскроем скобки в данном произведении. Для этого можно вынести $-1$ за скобки в каждом из множителей: $(12 - a) = -(a - 12)$ $(-12 - a) = -(12 + a)$ Перемножив их, получим: $(-(a - 12)) \cdot (-(a + 12)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (a - 12)(a + 12) = 1 \cdot (a^2 - 144) = a^2 - 144$.

Ответ: равен.

Таким образом, многочлену $a^2 - 144$ тождественно равны произведения, указанные в пунктах 2 и 4.