Номер 1, страница 115 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 1, страница 115.

Условие.

1. Запишите формулу разности квадратов двух выражений.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

1. Формула разности квадратов двух выражений — это одна из ключевых формул сокращённого умножения в алгебре. Она гласит, что разность квадратов двух любых выражений равна произведению их разности на их сумму.

Для двух произвольных выражений, обозначенных как $a$ и $b$, формула записывается следующим образом:

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$

Словесная формулировка: разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму.

Доказательство:
Для проверки истинности формулы достаточно раскрыть скобки в правой части равенства, выполнив умножение многочлена $(a - b)$ на многочлен $(a + b)$:

$(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = a^2 + ab - ba - b^2$

Так как от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$), подобные слагаемые $ab$ и $-ba$ взаимно уничтожаются:

$a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$

В результате мы получаем левую часть исходного равенства, что и доказывает справедливость формулы.

Ответ: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$