Номер 657, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 657, страница 116.

Условие.

657. Разложите на множители:

1) $16 - b^2$;

2) $c^2 - 49$;

3) $0,04 - a^2$;

4) $x^2 - \frac{4}{9}$;

5) $4x^2 - 25$;

6) $81c^2 - 64d^2$;

7) $0,09x^2 - 0,25y^2$;

8) $a^2b^4 - c^6d^8$;

9) $4a^2c^2 - 9x^2y^2$;

10) $x^{24} - y^{22}$;

11) $-1600 + a^{12}$;

12) $a^{18} - \frac{49}{64}$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Все представленные выражения являются разностью квадратов, для разложения которой на множители используется формула: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Исходное выражение: $16 - b^2$.
Представим 16 в виде квадрата числа: $16 = 4^2$.
Теперь выражение имеет вид $4^2 - b^2$.
Применив формулу разности квадратов, где $a=4$ и $b=b$, получаем: $4^2 - b^2 = (4-b)(4+b)$.
Ответ: $(4-b)(4+b)$

2) Исходное выражение: $c^2 - 49$.
Представим 49 в виде квадрата числа: $49 = 7^2$.
Выражение принимает вид $c^2 - 7^2$.
Применив формулу, где $a=c$ и $b=7$, получаем: $c^2 - 7^2 = (c-7)(c+7)$.
Ответ: $(c-7)(c+7)$

3) Исходное выражение: $0,04 - a^2$.
Представим 0,04 в виде квадрата числа: $0,04 = (0,2)^2$.
Выражение принимает вид $(0,2)^2 - a^2$.
Применив формулу, где $a=0,2$ и $b=a$, получаем: $(0,2)^2 - a^2 = (0,2-a)(0,2+a)$.
Ответ: $(0,2-a)(0,2+a)$

4) Исходное выражение: $x^2 - \frac{4}{9}$.
Представим дробь $\frac{4}{9}$ в виде квадрата: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.
Выражение принимает вид $x^2 - (\frac{2}{3})^2$.
Применив формулу, где $a=x$ и $b=\frac{2}{3}$, получаем: $x^2 - (\frac{2}{3})^2 = (x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})$.
Ответ: $(x-\frac{2}{3})(x+\frac{2}{3})$

5) Исходное выражение: $4x^2 - 25$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $4x^2 = (2x)^2$ и $25 = 5^2$.
Выражение принимает вид $(2x)^2 - 5^2$.
Применив формулу, где $a=2x$ и $b=5$, получаем: $(2x)^2 - 5^2 = (2x-5)(2x+5)$.
Ответ: $(2x-5)(2x+5)$

6) Исходное выражение: $81c^2 - 64d^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $81c^2 = (9c)^2$ и $64d^2 = (8d)^2$.
Выражение принимает вид $(9c)^2 - (8d)^2$.
Применив формулу, где $a=9c$ и $b=8d$, получаем: $(9c)^2 - (8d)^2 = (9c-8d)(9c+8d)$.
Ответ: $(9c-8d)(9c+8d)$

7) Исходное выражение: $0,09x^2 - 0,25y^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $0,09x^2 = (0,3x)^2$ и $0,25y^2 = (0,5y)^2$.
Выражение принимает вид $(0,3x)^2 - (0,5y)^2$.
Применив формулу, где $a=0,3x$ и $b=0,5y$, получаем: $(0,3x)^2 - (0,5y)^2 = (0,3x-0,5y)(0,3x+0,5y)$.
Ответ: $(0,3x-0,5y)(0,3x+0,5y)$

8) Исходное выражение: $a^2b^4 - c^6d^8$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата, используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$:
$a^2b^4 = a^2(b^2)^2 = (ab^2)^2$
$c^6d^8 = (c^3)^2(d^4)^2 = (c^3d^4)^2$
Выражение принимает вид $(ab^2)^2 - (c^3d^4)^2$.
Применив формулу, где $a=ab^2$ и $b=c^3d^4$, получаем: $(ab^2-c^3d^4)(ab^2+c^3d^4)$.
Ответ: $(ab^2 - c^3d^4)(ab^2 + c^3d^4)$

9) Исходное выражение: $4a^2c^2 - 9x^2y^2$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $4a^2c^2 = (2ac)^2$ и $9x^2y^2 = (3xy)^2$.
Выражение принимает вид $(2ac)^2 - (3xy)^2$.
Применив формулу, где $a=2ac$ и $b=3xy$, получаем: $(2ac-3xy)(2ac+3xy)$.
Ответ: $(2ac-3xy)(2ac+3xy)$

10) Исходное выражение: $x^{24} - y^{22}$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $x^{24} = (x^{12})^2$ и $y^{22} = (y^{11})^2$.
Выражение принимает вид $(x^{12})^2 - (y^{11})^2$.
Применив формулу, где $a=x^{12}$ и $b=y^{11}$, получаем: $(x^{12}-y^{11})(x^{12}+y^{11})$.
Ответ: $(x^{12}-y^{11})(x^{12}+y^{11})$

11) Исходное выражение: $-1600 + a^{12}$.
Переставим слагаемые: $a^{12} - 1600$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^{12} = (a^6)^2$ и $1600 = 40^2$.
Выражение принимает вид $(a^6)^2 - 40^2$.
Применив формулу, где $a=a^6$ и $b=40$, получаем: $(a^6-40)(a^6+40)$.
Ответ: $(a^6-40)(a^6+40)$

12) Исходное выражение: $a^{18} - \frac{49}{64}$.
Представим каждый член выражения в виде квадрата: $a^{18} = (a^9)^2$ и $\frac{49}{64} = (\frac{7}{8})^2$.
Выражение принимает вид $(a^9)^2 - (\frac{7}{8})^2$.
Применив формулу, где $a=a^9$ и $b=\frac{7}{8}$, получаем: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$.
Ответ: $(a^9 - \frac{7}{8})(a^9 + \frac{7}{8})$