Номер 660, страница 116 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 660, страница 116.

Условие.

660. Решите уравнение:

1) $x^2 - 49 = 0;$

2) $\frac{1}{4} - z^2 = 0;$

3) $x^2 + 36 = 0;$

4) $x^2 - 0,01 = 0;$

5) $9x^2 - 4 = 0;$

6) $0,04x^2 - 1 = 0.$

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) $x^2 - 49 = 0$
Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2 + c = 0$.
Перенесем свободный член (-49) в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$x^2 = 49$
Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Следует помнить, что существует два корня: положительный и отрицательный.
$x = \pm\sqrt{49}$
$x_1 = 7$ и $x_2 = -7$.
Другой способ решения — использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2 - 7^2 = 0$
$(x - 7)(x + 7) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x - 7 = 0$ или $x + 7 = 0$
$x = 7$ или $x = -7$.
Ответ: $-7; 7$.

2) $\frac{1}{4} - z^2 = 0$
Перенесем $-z^2$ в правую часть уравнения:
$\frac{1}{4} = z^2$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$z = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$
$z_1 = \frac{1}{2}$ и $z_2 = -\frac{1}{2}$.
В десятичной форме это $0,5$ и $-0,5$.
Ответ: $-0,5; 0,5$.

3) $x^2 + 36 = 0$
Перенесем свободный член (36) в правую часть уравнения:
$x^2 = -36$
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом. Поскольку в левой части уравнения стоит $x^2$ (которое всегда $\ge 0$ для действительных $x$), а в правой — отрицательное число ($-36$), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

4) $x^2 - 0,01 = 0$
Перенесем $-0,01$ в правую часть уравнения:
$x^2 = 0,01$
Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:
$x = \pm\sqrt{0,01}$
Так как $0,1^2 = 0,01$, получаем:
$x_1 = 0,1$ и $x_2 = -0,1$.
Ответ: $-0,1; 0,1$.

5) $9x^2 - 4 = 0$
Перенесем $-4$ в правую часть:
$9x^2 = 4$
Разделим обе части уравнения на коэффициент при $x^2$, то есть на 9:
$x^2 = \frac{4}{9}$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{\frac{4}{9}}$
$x_1 = \frac{2}{3}$ и $x_2 = -\frac{2}{3}$.
Ответ: $-\frac{2}{3}; \frac{2}{3}$.

6) $0,04x^2 - 1 = 0$
Перенесем $-1$ в правую часть уравнения:
$0,04x^2 = 1$
Разделим обе части на $0,04$:
$x^2 = \frac{1}{0,04}$
Чтобы упростить дробь, можно умножить числитель и знаменатель на 100:
$x^2 = \frac{1 \cdot 100}{0,04 \cdot 100} = \frac{100}{4}$
$x^2 = 25$
Извлечем квадратный корень из обеих частей:
$x = \pm\sqrt{25}$
$x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Ответ: $-5; 5$.