Номер 665, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 665, страница 117.

Условие.

665. Представьте в виде произведения выражение:

1) $(x-2)^2-4$;

2) $(b+7)^2-100c^2$;

3) $121-(b+7)^2$;

4) $a^4-(7b-a^2)^2$;

5) $(4x-9)^2-(2x+19)^2$;

6) $(a+b+c)^2-(a-b-c)^2$.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для того чтобы представить выражение в виде произведения, применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим выражение $(x-2)^2-4$ в виде разности квадратов: $(x-2)^2-2^2$.
В данном случае $a = x-2$, а $b = 2$.
$(x-2)^2-2^2 = ((x-2)-2)((x-2)+2) = (x-2-2)(x-2+2) = (x-4)(x)$.
Ответ: $x(x-4)$

2) Для выражения $(b+7)^2 - 100c^2$ также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $100c^2$ как $(10c)^2$. Получим: $(b+7)^2 - (10c)^2$.
Здесь $a = b+7$, а $b = 10c$.
$(b+7)^2 - (10c)^2 = ((b+7)-10c)((b+7)+10c) = (b-10c+7)(b+10c+7)$.
Ответ: $(b-10c+7)(b+10c+7)$

3) Для выражения $121 - (b+7)^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим $121$ как $11^2$. Получим: $11^2 - (b+7)^2$.
Здесь $a = 11$, а $b = b+7$.
$11^2 - (b+7)^2 = (11-(b+7))(11+(b+7)) = (11-b-7)(11+b+7) = (4-b)(18+b)$.
Ответ: $(4-b)(b+18)$

4) Для выражения $a^4 - (7b-a^2)^2$ используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Представим $a^4$ как $(a^2)^2$. Получим: $(a^2)^2 - (7b-a^2)^2$.
Здесь $x = a^2$, а $y = 7b-a^2$.
$(a^2)^2 - (7b-a^2)^2 = (a^2 - (7b-a^2))(a^2 + (7b-a^2)) = (a^2-7b+a^2)(a^2+7b-a^2) = (2a^2-7b)(7b)$.
Ответ: $7b(2a^2-7b)$

5) Для выражения $(4x-9)^2 - (2x+19)^2$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Здесь $a = 4x-9$, а $b = 2x+19$.
$((4x-9)-(2x+19))((4x-9)+(2x+19)) = (4x-9-2x-19)(4x-9+2x+19) = (2x-28)(6x+10)$.
Вынесем общие множители из каждой скобки: $2(x-14) \cdot 2(3x+5) = 4(x-14)(3x+5)$.
Ответ: $4(x-14)(3x+5)$

6) Для выражения $(a+b+c)^2 - (a-b-c)^2$ используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$.
Здесь $x = a+b+c$, а $y = a-b-c$.
$((a+b+c)-(a-b-c))((a+b+c)+(a-b-c)) = (a+b+c-a+b+c)(a+b+c+a-b-c) = (2b+2c)(2a)$.
Вынесем общий множитель 2 из первой скобки: $2(b+c) \cdot 2a = 4a(b+c)$.
Ответ: $4a(b+c)$