Номер 668, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

668. Представьте в виде произведения трёх множителей выражение:

1) $m^4 - 625$;

2) $x^{16} - 81$;

3) $2^{4n} - 16$,

где $n$ – натуральное число.

Для разложения этих выражений на множители мы будем последовательно применять формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) Представим выражение как разность квадратов $m^4 = (m^2)^2$ и $625 = 25^2$:
$m^4 - 625 = (m^2)^2 - 25^2 = (m^2 - 25)(m^2 + 25)$
Теперь разложим первую скобку еще раз, так как $25 = 5^2$:
$(m^2 - 5^2)(m^2 + 25) = (m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$
Ответ: $(m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$

2) Аналогично представим $x^{16}$ как $(x^8)^2$, а $81$ как $9^2$:
$x^{16} - 81 = (x^8)^2 - 9^2 = (x^8 - 9)(x^8 + 9)$
Разложим первую скобку, так как $x^8 = (x^4)^2$ и $9 = 3^2$:
$((x^4)^2 - 3^2)(x^8 + 9) = (x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$
Ответ: $(x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$

3) Используем свойства степеней: $2^{4n} = (2^{2n})^2$, а $16 = 4^2$:
$2^{4n} - 16 = (2^{2n})^2 - 4^2 = (2^{2n} - 4)(2^{2n} + 4)$
Разложим первую скобку дальше, учитывая, что $2^{2n} = (2^n)^2$ и $4 = 2^2$:
$((2^n)^2 - 2^2)(2^{2n} + 4) = (2^n - 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4)$
Ответ: $(2^n - 2)(2^n + 2)(2^{2n} + 4)$