Номер 668, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 668, страница 117.

Условие.

668. Представьте в виде произведения трёх множителей выражение:

1) $m^4 - 625$;

2) $x^{16} - 81$;

3) $2^{4n} - 16$,

где $n$ – натуральное число.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Для разложения выражения $m^4 - 625$ на множители будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала представим исходное выражение в виде разности квадратов. Заметим, что $m^4 = (m^2)^2$ и $625 = 25^2$.

Применим формулу, где $a = m^2$ и $b = 25$:

$m^4 - 625 = (m^2)^2 - 25^2 = (m^2 - 25)(m^2 + 25)$.

Мы получили произведение двух множителей. Теперь необходимо разложить один из них, чтобы получить три множителя. Множитель $(m^2 - 25)$ также является разностью квадратов, так как $m^2 = (m)^2$ и $25 = 5^2$.

Применим формулу разности квадратов ещё раз:

$m^2 - 25 = (m - 5)(m + 5)$.

Теперь подставим это разложение в наше выражение:

$(m^2 - 25)(m^2 + 25) = (m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$.

Таким образом, мы представили исходное выражение в виде произведения трёх множителей. Множитель $(m^2 + 25)$ является суммой квадратов и далее не раскладывается на множители с действительными коэффициентами.

Ответ: $(m - 5)(m + 5)(m^2 + 25)$.

2) Разложим на множители выражение $x^{16} - 81$, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Представим выражение в виде разности квадратов: $x^{16} = (x^8)^2$ и $81 = 9^2$.

Применим формулу, где $a = x^8$ и $b = 9$:

$x^{16} - 81 = (x^8)^2 - 9^2 = (x^8 - 9)(x^8 + 9)$.

Теперь разложим на множители выражение $(x^8 - 9)$, которое также является разностью квадратов, поскольку $x^8 = (x^4)^2$ и $9 = 3^2$.

Применим формулу ещё раз, где $a = x^4$ и $b = 3$:

$x^8 - 9 = (x^4)^2 - 3^2 = (x^4 - 3)(x^4 + 3)$.

Подставим полученное разложение в наше выражение:

$(x^8 - 9)(x^8 + 9) = (x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$.

Выражение представлено в виде произведения трёх множителей.

Ответ: $(x^4 - 3)(x^4 + 3)(x^8 + 9)$.

3) Разложим на множители выражение $2^{4n} - 16$, где $n$ — натуральное число. Будем использовать формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Сначала преобразуем выражение, используя свойства степеней: $2^{4n} = (2^{2n})^2$ и $16 = 4^2$.

Применим формулу разности квадратов, где $a = 2^{2n}$ и $b = 4$:

$2^{4n} - 16 = (2^{2n})^2 - 4^2 = (2^{2n} - 4)(2^{2n}