Номер 673, страница 117 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 673, страница 117.

Условие.

673. Докажите, что при любом натуральном $n$ значение выражения:

1) $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80;

2) $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36;

3) $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

1) Докажем, что выражение $(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2$ делится нацело на 80 при любом натуральном $n$.

Для упрощения выражения воспользуемся формулой разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

В нашем случае $a = 5n + 4$ и $b = 5n - 4$.

$(5n + 4)^2 - (5n - 4)^2 = ((5n + 4) - (5n - 4)) \cdot ((5n + 4) + (5n - 4))$

Раскроем скобки в каждом множителе:

Первый множитель: $(5n + 4 - 5n + 4) = 8$

Второй множитель: $(5n + 4 + 5n - 4) = 10n$

Перемножим полученные результаты:

$8 \cdot 10n = 80n$

Так как $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$), то выражение $80n$ всегда будет кратно 80. Следовательно, значение исходного выражения делится нацело на 80 при любом натуральном $n$.

Ответ: Доказано.

---

2) Докажем, что выражение $(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2$ делится нацело на 36 при любом натуральном $n$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$, где $a = 9n + 10$ и $b = 9n + 8$.

$(9n + 10)^2 - (9n + 8)^2 = ((9n + 10) - (9n + 8)) \cdot ((9n + 10) + (9n + 8))$

Упростим каждый множитель:

Первый множитель: $(9n + 10 - 9n - 8) = 2$

Второй множитель: $(9n + 10 + 9n + 8) = 18n + 18$

Результат равен произведению этих множителей:

$2 \cdot (18n + 18)$

Вынесем общий множитель 18 из второй скобки:

$2 \cdot 18(n + 1) = 36(n + 1)$

Поскольку $n$ — натуральное число, то $n + 1$ также является натуральным числом (начиная с 2). Выражение $36(n + 1)$ является произведением 36 и натурального числа, а значит, оно всегда делится нацело на 36.

Ответ: Доказано.

---

3) Докажем, что выражение $(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2$ делится нацело на 12 при любом натуральном $n$.

Используем ту же формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Здесь $a = 10n + 2$ и $b = 4n - 10$.

$(10n + 2)^2 - (4n - 10)^2 = ((10n + 2) - (4n - 10)) \cdot ((10n + 2) + (4n - 10))$

Вычислим значения в скобках:

Первый множитель: $(10n + 2 - 4n + 10) = 6n + 12$

Второй множитель: $(10n + 2 + 4n - 10) = 14n - 8$

Получаем произведение: $(6n + 12)(14n - 8)$

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Из первой скобки вынесем 6: $6(n + 2)$

Из второй скобки вынесем 2: $2(7n - 4)$

Перемножим полученные выражения:

$6(n + 2) \cdot 2(7n - 4) = 12(n + 2)(7n - 4)$

Так как $n$ — натуральное число, то $n+2$ и $7n-4$ являются целыми числами. Произведение $12(n + 2)(7n - 4)$ содержит множитель 12, следовательно, оно всегда делится нацело на 12.

Ответ: Доказано.