Номер 680, страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 16. Разность квадратов двух выражений. Глава 1. Алгебраические выражения. Уравнения с одной переменной - номер 680, страница 118.

Условие.

680. При каком значении $a$ уравнение $(a^2 - 25)x = a + 5:$

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Kx = B$, где коэффициент при $x$ равен $K = a^2 - 25$, а свободный член $B = a + 5$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $K$ и $B$.

Разложим коэффициент при $x$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$. Тогда уравнение примет вид: $(a-5)(a+5)x = a+5$.

1) имеет бесконечно много корней;

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения $a^2 - 25 = 0$ следует, что $(a-5)(a+5) = 0$. Значит, $a = 5$ или $a = -5$.

Из второго уравнения $a + 5 = 0$ следует, что $a = -5$.

Оба условия выполняются одновременно только при $a = -5$. При этом значении уравнение принимает вид: $((-5)^2 - 25)x = -5 + 5$ $(25 - 25)x = 0$ $0 \cdot x = 0$ Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: при $a = -5$.

2) не имеет корней;

Линейное уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \ne 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю. Составим систему условий: $ \begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 \ne 0 \end{cases} $

Из первого условия $a^2 - 25 = 0$ следует, что $a = 5$ или $a = -5$.

Из второго условия $a + 5 \ne 0$ следует, что $a \ne -5$.

Оба условия выполняются одновременно только при $a = 5$. При этом значении уравнение принимает вид: $(5^2 - 25)x = 5 + 5$ $(25 - 25)x = 10$ $0 \cdot x = 10$ Это равенство неверно ни при каком значении $x$.

Ответ: при $a = 5$.

3) имеет один корень?

Линейное уравнение имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю. В этом случае корень можно найти по формуле $x = \frac{B}{K}$. Для нашего уравнения это условие выглядит так: $a^2 - 25 \ne 0$

Решим это неравенство: $(a-5)(a+5) \ne 0$ Это означает, что $a-5 \ne 0$ и $a+5 \ne 0$. Следовательно, $a \ne 5$ и $a \ne -5$.

При всех значениях $a$, кроме $5$ и $-5$, уравнение будет иметь единственный корень $x = \frac{a+5}{a^2-25} = \frac{a+5}{(a-5)(a+5)} = \frac{1}{a-5}$.

Ответ: при $a \ne 5$ и $a \ne -5$.