Страница 118 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

674. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел делится нацело на 4.

1) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел равна сумме этих чисел.

Пусть даны два последовательных натуральных числа: $n$ и $n+1$, где $n \in \mathbb{N}$.

Сумма этих чисел равна: $n + (n+1) = 2n + 1$.

Разность квадратов этих чисел (из квадрата большего числа вычитаем квадрат меньшего) равна: $(n+1)^2 - n^2$.

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n) \cdot ((n+1) + n) = 1 \cdot (2n+1) = 2n+1$.

Сравнивая полученные выражения, видим, что разность квадратов $(2n+1)$ равна сумме этих чисел $(2n+1)$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2) Докажем, что разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел делится нацело на 4.

Любое чётное натуральное число можно представить в виде $2n$, где $n \in \mathbb{N}$.

Тогда два последовательных натуральных чётных числа можно записать как $2n$ и $2n+2$.

Рассмотрим разность их квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2$.

Снова применим формулу разности квадратов:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2) - 2n) \cdot ((2n+2) + 2n) = 2 \cdot (4n+2)$.

Раскроем скобки и вынесем общий множитель 4:

$2 \cdot (4n+2) = 8n + 4 = 4(2n+1)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, то выражение $2n+1$ является целым числом. Следовательно, произведение $4(2n+1)$ всегда делится на 4 без остатка.

Ответ: Утверждение доказано.

675. Докажите, что:

1) разность квадратов двух последовательных натуральных чётных чисел равна удвоенной сумме этих чисел;

2) разность квадратов двух последовательных натуральных нечётных чисел делится нацело на 8.

1)

Пусть даны два последовательных натуральных чётных числа. Любое чётное число можно представить в виде $2n$, где $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Тогда два последовательных чётных числа будут $2n$ и $2n+2$.

Найдём разность их квадратов. По правилу, мы вычитаем квадрат меньшего числа из квадрата большего:

$(2n+2)^2 - (2n)^2$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2n+2)^2 - (2n)^2 = ((2n+2) - 2n)((2n+2) + 2n) = (2)(4n+4) = 8n+8$

Теперь найдём сумму этих чисел:

$2n + (2n+2) = 4n+4$

Найдём удвоенную сумму этих чисел:

$2 \cdot (4n+4) = 8n+8$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что разность квадратов ($8n+8$) равна удвоенной сумме ($8n+8$). Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

2)

Пусть даны два последовательных натуральных нечётных числа. Любое нечётное число можно представить в виде $2k+1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k \in \{0, 1, 2, ...\}$). Тогда два последовательных нечётных числа будут $2k+1$ и $2k+3$.

Найдём разность их квадратов:

$(2k+3)^2 - (2k+1)^2$

Снова применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$(2k+3)^2 - (2k+1)^2 = ((2k+3) - (2k+1))((2k+3) + (2k+1))$

Упростим выражение в каждой скобке:

$(2k+3-2k-1)(2k+3+2k+1) = (2)(4k+4)$

Вынесем общий множитель 4 из второй скобки:

$2 \cdot 4(k+1) = 8(k+1)$

Полученное выражение $8(k+1)$ содержит множитель 8. Так как $k$ — целое неотрицательное число, то $k+1$ также является натуральным числом. Следовательно, выражение $8(k+1)$ всегда делится нацело на 8. Утверждение доказано.

Ответ: утверждение доказано.

676. Докажите тождество: $(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6.$

Для доказательства тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой части.

Исходное выражение в левой части:

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2$

Шаг 1: Упростим произведение первых двух сомножителей. Воспользуемся свойством степеней $a^k \cdot b^k = (a \cdot b)^k$.

$(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 = ((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))^2$

Шаг 2: Применим формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках, где $a = m^3$ и $b = n^3$.

$(m^3 - n^3)(m^3 + n^3) = (m^3)^2 - (n^3)^2 = m^{3 \cdot 2} - n^{3 \cdot 2} = m^6 - n^6$

Шаг 3: Подставим результат обратно в выражение из Шага 1.

$((m^3 - n^3)(m^3 + n^3))^2 = (m^6 - n^6)^2$

Шаг 4: Теперь все выражение примет вид:

$(m^6 - n^6)^2 - (m^6 + n^6)^2$

Шаг 5: Мы получили выражение, которое представляет собой разность квадратов. Снова применим формулу $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, где $x = m^6 - n^6$ и $y = m^6 + n^6$.

$(m^6 - n^6)^2 - (m^6 + n^6)^2 = ((m^6 - n^6) - (m^6 + n^6)) \cdot ((m^6 - n^6) + (m^6 + n^6))$

Шаг 6: Упростим каждое из выражений в скобках.

Первая скобка: $(m^6 - n^6 - m^6 - n^6) = -2n^6$

Вторая скобка: $(m^6 - n^6 + m^6 + n^6) = 2m^6$

Шаг 7: Перемножим полученные результаты.

$(-2n^6) \cdot (2m^6) = -4m^6n^6$

В результате преобразования левой части тождества мы получили выражение, равное правой части: $-4m^6n^6 = -4m^6n^6$. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(m^3 - n^3)^2 (m^3 + n^3)^2 - (m^6 + n^6)^2 = -4m^6n^6$ доказано путем тождественных преобразований его левой части.

677. Разность квадратов двух двузначных чисел, записанных одними и теми же цифрами, равна 693. Найдите эти числа.

Пусть искомые двузначные числа состоят из цифр $a$ (количество десятков) и $b$ (количество единиц). Тогда первое число можно представить как $10a + b$, а второе, записанное теми же цифрами в обратном порядке, — как $10b + a$.

Поскольку оба числа являются двузначными, цифры $a$ и $b$ не могут быть нулем. Кроме того, цифры должны быть разными ($a \neq b$), иначе числа были бы одинаковыми, и разность их квадратов равнялась бы нулю, а не 693.

Согласно условию задачи, разность квадратов этих чисел равна 693. Запишем это в виде уравнения. Предположим, что $10a + b > 10b + a$, что эквивалентно $a > b$.

$(10a + b)^2 - (10b + a)^2 = 693$

Применим формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$:

$((10a + b) - (10b + a)) \cdot ((10a + b) + (10b + a)) = 693$

Упростим каждое выражение в скобках:

$x - y = (10a + b) - (10b + a) = 10a + b - 10b - a = 9a - 9b = 9(a - b)$

$x + y = (10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b = 11(a + b)$

Подставим полученные выражения обратно в уравнение:

$9(a - b) \cdot 11(a + b) = 693$

$99(a - b)(a + b) = 693$

Теперь найдем произведение $(a - b)(a + b)$, разделив обе части уравнения на 99:

$(a - b)(a + b) = \frac{693}{99} = 7$

Так как $a$ и $b$ — это целые цифры от 1 до 9, то выражения $(a - b)$ и $(a + b)$ также являются целыми числами. Число 7 является простым, поэтому его можно представить в виде произведения двух целых положительных чисел только одним способом: $1 \cdot 7$. Мы рассматриваем только положительные множители, так как сумма двух положительных цифр $a+b$ всегда положительна.

Таким образом, мы получаем систему из двух уравнений:

$\begin{cases} a - b = 1 \\ a + b = 7 \end{cases}$

Решим эту систему. Сложим первое и второе уравнения:

$(a - b) + (a + b) = 1 + 7$

$2a = 8$

$a = 4$

Теперь подставим значение $a=4$ во второе уравнение системы, чтобы найти $b$:

$4 + b = 7$

$b = 3$

Итак, мы нашли цифры: $a = 4$ и $b = 3$. Они удовлетворяют всем условиям: это различные ненулевые цифры.

Искомые числа:

Первое число: $10a + b = 10 \cdot 4 + 3 = 43$.

Второе число: $10b + a = 10 \cdot 3 + 4 = 34$.

Проверим полученный результат: $43^2 - 34^2 = 1849 - 1156 = 693$.

Ответ: 43 и 34.

678. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7.

Пусть первое натуральное число будет a, а второе — b.

Согласно условию задачи, остаток от деления числа a на 7 равен 4. Это означает, что число a можно представить в виде: $a = 7k + 4$, где k — некоторое целое неотрицательное число (неполное частное).

Аналогично, остаток от деления числа b на 7 равен 3. Это можно записать как: $b = 7m + 3$, где m — некоторое целое неотрицательное число.

Требуется доказать, что разность квадратов этих чисел, то есть выражение $a^2 - b^2$, кратна 7 (делится на 7 без остатка).

Для доказательства воспользуемся формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Теперь найдем значения для каждого из множителей $(a - b)$ и $(a + b)$, подставив в них выражения для a и b.

1. Найдем сумму чисел $a + b$: $a + b = (7k + 4) + (7m + 3) = 7k + 7m + 4 + 3 = 7k + 7m + 7$. Вынесем общий множитель 7 за скобки: $a + b = 7(k + m + 1)$. Поскольку k и m являются целыми числами, их сумма $k + m + 1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $a+b$ представляет собой произведение числа 7 на целое число, а это означает, что сумма $a+b$ кратна 7.

2. Найдем разность чисел $a - b$: $a - b = (7k + 4) - (7m + 3) = 7k - 7m + 4 - 3 = 7(k - m) + 1$.

Теперь подставим полученные выражения для суммы и разности обратно в формулу разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = (7(k + m + 1)) \cdot (7(k - m) + 1)$.

В полученном произведении один из множителей, а именно $(a+b) = 7(k + m + 1)$, делится нацело на 7. Согласно свойству делимости, если в произведении хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

Таким образом, мы доказали, что разность квадратов $a^2 - b^2$ всегда будет кратна 7.

Ответ: Утверждение доказано. Разность квадратов $a^2-b^2$ представляется в виде произведения $(a+b)(a-b)$. Сумма чисел $a+b = (7k+4)+(7m+3)=7(k+m+1)$ всегда кратна 7. Так как один из множителей произведения кратен 7, то и все произведение кратно 7.

679. При каком значении b уравнение $(b^2 - 4) x = b - 2$:

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Ax = B$, где коэффициент при $x$ и свободный член зависят от параметра $b$.

В нашем случае $A = b^2 - 4$ и $B = b - 2$.

Проанализируем количество корней уравнения в зависимости от значений $A$ и $B$.

1) имеет бесконечно много корней

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю.

Составим и решим систему уравнений: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения сразу получаем $b = 2$.

Проверим, удовлетворяет ли это значение первому уравнению: $2^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.

Поскольку при $b = 2$ оба условия выполняются, уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$ и имеет бесконечно много корней.

Ответ: при $b = 2$.

2) не имеет корней

Линейное уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \ne 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю.

Составим систему условий: $ \begin{cases} b^2 - 4 = 0 \\ b - 2 \ne 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение: $b^2 - 4 = 0 \Rightarrow (b-2)(b+2) = 0$. Корнями являются $b_1 = 2$ и $b_2 = -2$.

Согласно второму условию, $b \ne 2$.

Из двух найденных значений $b=2$ и $b=-2$ нам подходит только $b = -2$. При этом значении $b$ уравнение принимает вид $((-2)^2 - 4)x = -2 - 2$, то есть $0 \cdot x = -4$, что неверно ни при каком $x$.

Ответ: при $b = -2$.

3) имеет один корень

Линейное уравнение имеет ровно один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю ($A \ne 0$). В этом случае корень можно найти по формуле $x = \frac{B}{A}$.

Нам нужно найти значения $b$, при которых $b^2 - 4 \ne 0$.

Мы уже знаем, что выражение $b^2 - 4$ обращается в ноль при $b = 2$ и $b = -2$.

Следовательно, для всех остальных значений $b$ коэффициент при $x$ будет отличен от нуля, и уравнение будет иметь единственный корень.

Ответ: при $b \ne 2$ и $b \ne -2$.

680. При каком значении $a$ уравнение $(a^2 - 25)x = a + 5:$

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

Данное уравнение является линейным уравнением вида $Kx = B$, где коэффициент при $x$ равен $K = a^2 - 25$, а свободный член $B = a + 5$. Количество корней такого уравнения зависит от значений коэффициентов $K$ и $B$.

Разложим коэффициент при $x$ на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 25 = (a-5)(a+5)$. Тогда уравнение примет вид: $(a-5)(a+5)x = a+5$.

1) имеет бесконечно много корней;

Линейное уравнение имеет бесконечно много корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ и свободный член одновременно равны нулю. Составим систему уравнений: $ \begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения $a^2 - 25 = 0$ следует, что $(a-5)(a+5) = 0$. Значит, $a = 5$ или $a = -5$.

Из второго уравнения $a + 5 = 0$ следует, что $a = -5$.

Оба условия выполняются одновременно только при $a = -5$. При этом значении уравнение принимает вид: $((-5)^2 - 25)x = -5 + 5$ $(25 - 25)x = 0$ $0 \cdot x = 0$ Это равенство верно для любого значения $x$.

Ответ: при $a = -5$.

2) не имеет корней;

Линейное уравнение не имеет корней, если оно принимает вид $0 \cdot x = B$, где $B \ne 0$. Это происходит, когда коэффициент при $x$ равен нулю, а свободный член не равен нулю. Составим систему условий: $ \begin{cases} a^2 - 25 = 0 \\ a + 5 \ne 0 \end{cases} $

Из первого условия $a^2 - 25 = 0$ следует, что $a = 5$ или $a = -5$.

Из второго условия $a + 5 \ne 0$ следует, что $a \ne -5$.

Оба условия выполняются одновременно только при $a = 5$. При этом значении уравнение принимает вид: $(5^2 - 25)x = 5 + 5$ $(25 - 25)x = 10$ $0 \cdot x = 10$ Это равенство неверно ни при каком значении $x$.

Ответ: при $a = 5$.

3) имеет один корень?

Линейное уравнение имеет один корень, если коэффициент при $x$ не равен нулю. В этом случае корень можно найти по формуле $x = \frac{B}{K}$. Для нашего уравнения это условие выглядит так: $a^2 - 25 \ne 0$

Решим это неравенство: $(a-5)(a+5) \ne 0$ Это означает, что $a-5 \ne 0$ и $a+5 \ne 0$. Следовательно, $a \ne 5$ и $a \ne -5$.

При всех значениях $a$, кроме $5$ и $-5$, уравнение будет иметь единственный корень $x = \frac{a+5}{a^2-25} = \frac{a+5}{(a-5)(a+5)} = \frac{1}{a-5}$.

Ответ: при $a \ne 5$ и $a \ne -5$.

681. Лодка двигалась $2,4 \text{ ч}$ по течению реки и $3,6 \text{ ч}$ против течения. Расстояние, пройденное лодкой по течению, на $5,4 \text{ км}$ больше расстояния, пройденного против течения. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения составляет $2,5 \text{ км/ч}$.

Для решения задачи введем переменную. Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $x$ км/ч.

Скорость течения реки дана в условии и составляет $2,5$ км/ч.

Когда лодка движется по течению, ее скорость складывается из собственной скорости и скорости течения: $v_{по} = (x + 2,5)$ км/ч.

Когда лодка движется против течения, ее скорость равна разности собственной скорости и скорости течения: $v_{пр} = (x - 2,5)$ км/ч.

Расстояние вычисляется по формуле $S = v \cdot t$.

Лодка двигалась по течению в течение $t_{по} = 2,4$ часа. За это время она прошла расстояние:

$S_{по} = (x + 2,5) \cdot 2,4$ км.

Против течения лодка двигалась в течение $t_{пр} = 3,6$ часа. Пройденное расстояние составляет:

$S_{пр} = (x - 2,5) \cdot 3,6$ км.

По условию задачи, расстояние, пройденное по течению, на $5,4$ км больше, чем расстояние, пройденное против течения. Это можно выразить уравнением:

$S_{по} = S_{пр} + 5,4$

Подставим в это уравнение выражения для $S_{по}$ и $S_{пр}$, чтобы получить уравнение с одной переменной $x$:

$(x + 2,5) \cdot 2,4 = (x - 2,5) \cdot 3,6 + 5,4$

Теперь решим полученное уравнение. Для начала раскроем скобки:

$2,4x + 2,5 \cdot 2,4 = 3,6x - 2,5 \cdot 3,6 + 5,4$

$2,4x + 6 = 3,6x - 9 + 5,4$

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$2,4x + 6 = 3,6x - 3,6$

Перенесем все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:

$6 + 3,6 = 3,6x - 2,4x$

$9,6 = 1,2x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на $1,2$:

$x = \frac{9,6}{1,2}$

Для удобства вычисления можно умножить числитель и знаменатель на 10:

$x = \frac{96}{12}$

$x = 8$

Таким образом, мы нашли, что собственная скорость лодки составляет $8$ км/ч.

Выполним проверку, чтобы убедиться в правильности решения:

1. Скорость по течению: $8 + 2,5 = 10,5$ км/ч. Расстояние за $2,4$ ч: $10,5 \text{ км/ч} \cdot 2,4 \text{ ч} = 25,2$ км.

2. Скорость против течения: $8 - 2,5 = 5,5$ км/ч. Расстояние за $3,6$ ч: $5,5 \text{ км/ч} \cdot 3,6 \text{ ч} = 19,8$ км.

3. Найдем разницу расстояний: $25,2 \text{ км} - 19,8 \text{ км} = 5,4$ км.

Полученная разница совпадает с условием задачи, следовательно, решение найдено верно.

Ответ: 8 км/ч.

682. За три дня продали 130 кг апельсинов. Во второй день продали $\frac{4}{9}$ того, что продали в первый день, а в третий — столько, сколько в первые два дня вместе. Сколько килограммов апельсинов продали в первый день?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество килограммов апельсинов, проданных в первый день.

Исходя из условий задачи, выразим количество апельсинов, проданных во второй и третий дни, через $x$:

• В первый день продали: $x$ кг.
• Во второй день продали $\frac{4}{9}$ от того, что продали в первый день, то есть: $\frac{4}{9}x$ кг.
• В третий день продали столько, сколько в первые два дня вместе, то есть: $x + \frac{4}{9}x$ кг.

Общее количество апельсинов, проданных за три дня, составляет 130 кг. Мы можем составить уравнение, сложив продажи за каждый день:

$(\text{День 1}) + (\text{День 2}) + (\text{День 3}) = 130$

$x + \frac{4}{9}x + (x + \frac{4}{9}x) = 130$

Теперь решим это уравнение. Сначала упростим левую часть, сгруппировав подобные слагаемые:

$2x + \frac{8}{9}x = 130$

Чтобы сложить $2x$ и $\frac{8}{9}x$, приведем $2x$ к общему знаменателю 9. Так как $2 = \frac{18}{9}$, получаем:

$\frac{18}{9}x + \frac{8}{9}x = 130$

Складываем дроби:

$\frac{26}{9}x = 130$

Чтобы найти $x$, нужно 130 разделить на $\frac{26}{9}$ (или умножить на обратную дробь $\frac{9}{26}$):

$x = 130 \cdot \frac{9}{26}$

Мы можем сократить 130 и 26, так как $130 \div 26 = 5$:

$x = 5 \cdot 9$

$x = 45$

Следовательно, в первый день продали 45 кг апельсинов.

Ответ: в первый день продали 45 кг апельсинов.

683. В последовательности $..., a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ каждое число равно сумме двух предыдущих. Чему равно число $a$?

В условии задачи указано, что в последовательности $..., a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...$ каждое число равно сумме двух предыдущих. Это означает, что для любого члена последовательности $x_n$ выполняется соотношение $x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$.

Чтобы найти значение числа $a$, необходимо двигаться по последовательности в обратном порядке, вычисляя предыдущие члены на основе последующих. Из основного соотношения можно выразить предыдущий член через два последующих: $x_{n-2} = x_n - x_{n-1}$.

Рассмотрим тройку членов $d, 0, 1$. Согласно правилу, сумма первых двух равна третьему: $d + 0 = 1$. Отсюда находим $d = 1$.

Теперь рассмотрим тройку $c, d, 0$. Подставив найденное значение $d=1$, получаем $c, 1, 0$. Согласно правилу, $c + d = 0$, то есть $c + 1 = 0$. Отсюда находим $c = -1$.

Далее рассмотрим тройку $b, c, d$. Подставив найденные значения $c=-1$ и $d=1$, получаем $b, -1, 1$. Согласно правилу, $b + c = d$, то есть $b + (-1) = 1$. Отсюда находим $b = 1 - (-1) = 2$.

Наконец, рассмотрим тройку $a, b, c$. Подставив найденные значения $b=2$ и $c=-1$, получаем $a, 2, -1$. Согласно правилу, $a + b = c$, то есть $a + 2 = -1$. Отсюда находим $a = -1 - 2 = -3$.

Проверим полученные результаты, восстановив часть последовательности: $..., -3, 2, -1, 1, 0, 1, ...$
$-3 + 2 = -1$ (верно)
$2 + (-1) = 1$ (верно)
$-1 + 1 = 0$ (верно)
$1 + 0 = 1$ (верно)
Все вычисления верны.

Ответ: -3

684. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 1}{8} - \frac{x + 2}{4} = x; $

2) $ 3(2x + 3) - 2(3x + 5) = -1. $

1)

Исходное уравнение:

$\frac{2x-1}{8} - \frac{x+2}{4} = x$

Для того чтобы избавиться от знаменателей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель дробей, который равен 8.

$8 \cdot \left(\frac{2x-1}{8}\right) - 8 \cdot \left(\frac{x+2}{4}\right) = 8 \cdot x$

Сокращаем дроби:

$(2x-1) - 2 \cdot (x+2) = 8x$

Теперь раскроем скобки. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой.

$2x - 1 - 2x - 4 = 8x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(2x - 2x) + (-1 - 4) = 8x$

$-5 = 8x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 8:

$x = -\frac{5}{8}$

Ответ: $x = -\frac{5}{8}$.

2)

Исходное уравнение:

$3(2x + 3) - 2(3x + 5) = -1$

Раскроем скобки в левой части уравнения, применяя распределительный закон умножения:

$(3 \cdot 2x + 3 \cdot 3) - (2 \cdot 3x + 2 \cdot 5) = -1$

$6x + 9 - (6x + 10) = -1$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки всех слагаемых внутри на противоположные, так как перед скобкой стоит знак минус:

$6x + 9 - 6x - 10 = -1$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$(6x - 6x) + (9 - 10) = -1$

$0 \cdot x - 1 = -1$

$-1 = -1$

В результате преобразований мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от значения переменной $x$. Это означает, что исходное уравнение является тождеством, и оно справедливо для любого значения $x$.

Ответ: $x$ - любое число.