Страница 113 - гдз по алгебре 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

649. Решите уравнение:

1) $\frac{4x - 1}{12} - \frac{3x + 1}{8} = x + 1;$

2) $\frac{3x - 2}{9} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{5 - x}{3}.$

1) $\frac{4x - 1}{12} - \frac{3x + 1}{8} = x + 1$

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 12 и 8. НОК(12, 8) = 24.

$24 \cdot \left(\frac{4x - 1}{12} - \frac{3x + 1}{8}\right) = 24 \cdot (x + 1)$

$24 \cdot \frac{4x - 1}{12} - 24 \cdot \frac{3x + 1}{8} = 24(x + 1)$

Сокращаем дроби, умножая числители на получившиеся коэффициенты:

$2(4x - 1) - 3(3x + 1) = 24(x + 1)$

Раскрываем скобки:

$8x - 2 - 9x - 3 = 24x + 24$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(8x - 9x) + (-2 - 3) = 24x + 24$

$-x - 5 = 24x + 24$

Переносим слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую:

$-5 - 24 = 24x + x$

$-29 = 25x$

Находим $x$:

$x = -\frac{29}{25}$

Ответ: $-\frac{29}{25}$.

2) $\frac{3x - 2}{9} - \frac{2x + 1}{6} = \frac{5 - x}{3}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 9, 6 и 3. НОК(9, 6, 3) = 18. Умножим обе части уравнения на 18.

$18 \cdot \left(\frac{3x - 2}{9} - \frac{2x + 1}{6}\right) = 18 \cdot \left(\frac{5 - x}{3}\right)$

$18 \cdot \frac{3x - 2}{9} - 18 \cdot \frac{2x + 1}{6} = 18 \cdot \frac{5 - x}{3}$

Сокращаем дроби, умножая числители на получившиеся коэффициенты:

$2(3x - 2) - 3(2x + 1) = 6(5 - x)$

Раскрываем скобки:

$6x - 4 - 6x - 3 = 30 - 6x$

Приводим подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(6x - 6x) + (-4 - 3) = 30 - 6x$

$-7 = 30 - 6x$

Переносим слагаемое с переменной $x$ в левую часть, а числовое слагаемое — в правую:

$6x = 30 + 7$

$6x = 37$

Находим $x$:

$x = \frac{37}{6}$

Ответ: $\frac{37}{6}$.

650. Представьте данное выражение в виде квадрата одночлена:

1) $x^6$

2) $y^4$

3) $4x^2$

4) $\frac{1}{9}x^4$

5) $a^8b^{10}$

6) $0.36x^2y^{12}$

7) $1.21m^{10}n^{20}$

8) $1\frac{9}{16}a^{14}b^{16}$

1) Чтобы представить выражение $x^6$ в виде квадрата одночлена, необходимо найти такой одночлен, который при возведении во вторую степень даст исходное выражение. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$. Показатель степени искомого одночлена должен быть в 2 раза меньше, чем у исходного выражения. Таким образом, $x^6 = (x^{6/2})^2 = (x^3)^2$.

Ответ: $(x^3)^2$.

2) Аналогично предыдущему пункту, чтобы представить $y^4$ в виде квадрата, разделим его показатель степени на 2. Получим $y^4 = (y^{4/2})^2 = (y^2)^2$.

Ответ: $(y^2)^2$.

3) Выражение $4x^2$ состоит из числового коэффициента 4 и переменной $x^2$. Чтобы представить его в виде квадрата, нужно найти квадратный корень из коэффициента и разделить показатель степени переменной на 2. Квадратный корень из 4 равен 2. Для $x^2$ имеем $x^{2/2} = x^1 = x$. Собирая все вместе, получаем $4x^2 = 2^2 \cdot x^2 = (2x)^2$.

Ответ: $(2x)^2$.

4) Для выражения $\frac{1}{9}x^4$ найдем квадратный корень из коэффициента $\frac{1}{9}$ и разделим показатель степени переменной $x$ на 2. $\sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$. Для $x^4$ имеем $x^{4/2} = x^2$. Объединяя, получаем $\frac{1}{9}x^4 = (\frac{1}{3})^2 \cdot (x^2)^2 = (\frac{1}{3}x^2)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{3}x^2)^2$.

5) Чтобы представить произведение $a^8b^{10}$ в виде квадрата, нужно представить каждый множитель в виде квадрата, разделив его показатель степени на 2. Для $a^8$ получаем $a^{8/2} = a^4$. Для $b^{10}$ получаем $b^{10/2} = b^5$. Тогда $a^8b^{10} = (a^4)^2 \cdot (b^5)^2 = (a^4b^5)^2$.

Ответ: $(a^4b^5)^2$.

6) Представим каждый множитель выражения $0.36x^2y^{12}$ в виде квадрата. Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{0.36} = 0.6$. Делим показатели степеней переменных на 2: для $x^2$ получаем $x^{2/2} = x$, для $y^{12}$ получаем $y^{12/2} = y^6$. Собирая все вместе, получаем $0.36x^2y^{12} = (0.6)^2 \cdot x^2 \cdot (y^6)^2 = (0.6xy^6)^2$.

Ответ: $(0.6xy^6)^2$.

7) Для выражения $1.21m^{10}n^{20}$ действуем аналогично. Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{1.21} = 1.1$. Делим показатели степеней переменных на 2: для $m^{10}$ получаем $m^{10/2} = m^5$, для $n^{20}$ получаем $n^{20/2} = n^{10}$. Таким образом, $1.21m^{10}n^{20} = (1.1m^5n^{10})^2$.

Ответ: $(1.1m^5n^{10})^2$.

8) Сначала преобразуем смешанную дробь в неправильную: $1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$. Теперь нужно представить выражение $\frac{25}{16}a^{14}b^{16}$ в виде квадрата. Находим квадратный корень из коэффициента: $\sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4}$. Делим показатели степеней на 2: для $a^{14}$ получаем $a^{14/2} = a^7$, для $b^{16}$ получаем $b^{16/2} = b^8$. Следовательно, $1\frac{9}{16}a^{14}b^{16} = (\frac{5}{4}a^7b^8)^2$.

Ответ: $(\frac{5}{4}a^7b^8)^2$.